книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

женил для кинетической энергии оболочки), что величинами та­ кого же порядка, как и отмеченная выше группа инерционных чле­

следование эффектов, связанных с учетом инерции вращения, бу­ дет проведено на основе модели типа Тимошенко (см. 3.4). Там же будут специально исследованы эффекты, обусловленные учетом

=си-лГ+С12\ ^ Г + R 1

+{ а»>,С«(СпС22-С,22) +-|т-сис22в2г+а^.Р"2.[(С||С22_

—С122- 2Ci2C66)D22+4С22С6бА>б] - 2am4pn2[С66(CiiD22C22Dn) +

+(3CiiC22-3Ci22-4Ci2C66)£)66+ (СцС22- Ci22-C12C66)Dl2]-

-2pn6C66C22D222am2pn4[(ClIC22 - C12_ 2С12С6в)D22+

+С22С6б(/)12+4/)бб)] —2am6C12C66Dn JJ .

Исследуем далее формулу (3.14) в некоторых предельных случаях.

1.Пусть ccmCj, что соответствует малым значениям m и

Для изотропного материала с модулем упругости Е из (3.15) на­ ходим

, ат«Я*£ Сй,„12='----;----.

Данная величина в два раза превышает квадрат частоты изгибных колебаний балки с кольцевым поперечным сечением. То, что асимптотическая формула (3.15) не позволяет осуществить при

X {"7р“ С«о(СпСа —С«г) +р„«( рп2- А ) смс«оа+ +am2pn6[(С11С22—С122 2С12Сбб)^22+2С22Сбб (^12"Ь2£бб)] j- .

(3.20)

Выражения (3.19) и (3.20), как видно, различаются на достаточно малую величину, и это различие уменьшается с ростом я.

В диапазоне малых значений я« I 12/?2V1/8 доминирующим

является «мембранное» слагаемое, и из формул (3.12), (3.14) получаем одно и то же выражение:

достаточно больших я результаты расчета частот собственных ко­ лебаний по технической теории и по теории Флюгге должны мало различаться между собой. Определенную погрешность (в сторону завышения частоты) техническая теория дает в среднем диапазоне значений я, когда «мембранная» и «изгибная» составляющие в формуле для частоты близки по величине.

для коротких оболочек либо для оболочек средней длины при вы­ соких осевых формах волнообразования. Он представляет, следо­ вательно, особый интерес для задач продольного удара. Как пока­ зывает анализ выражения (3.14), все дополнительные члены к

формуле (3.12) для любых значений я дают поправку порядка h2

Обратимся далее к результатам численных расчетов. В каче­ стве примера рассмотрим оболочки из двух материалов: стали, для

которой

и однонаправленно-армированного углепластика Т 300/5208, име­ ющего характеристики [259]:

:(ось 1 ориентирована вдоль армирующих волокон). Ниже рас­ сматриваются два варианта укладки слоев: а) ось 1 материала совпадает с осью х оболочки (продольное армирование) н б) ось 1

материала совпадает с осью у оболочки (окружное армирование). Во всех расчетных вариантах принято /?=1 м.

Обозначим через wmnT, <omnF, comnAчастоты собственных коле­ баний оболочки, рассчитанные по формулам (3.12), (3.14), (3.20)

соответственно. В дальнейшем будут рассматриваться следующие величины относительных разностей значений частот:

На рис. 3.1 приведены зависимости Дти от п для углепластико­ вых оболочек с продольным и окружным армированием и оболочки из стали. Наиболее интересная особенность этих зависимостей — наличие максимума при определенном значении п. Этот максимум смещается к меньшим п при увеличении L/R и h]R. Как и ожида­

лось, исходя из проведенного качественного анализа расчетных формул, погрешность технической теории при расчете собственных

частот для оболочек средней длины мала как для низких, так и для достаточно высоких окружных гармоник.

Известно, что зависимость частоты собственных колебаний от номера окружной гармоники для оболочек средней длины имеет минимум, положение которого, как впервые было показано в ра­

боте [285], определяется из условия равенства двух составляющих энергии деформации: мембранной и изгибной. Значение п, кото­ рому соответствует максимум погрешности, также отвечает усло­

вию близости величин «мембранного» и «изгибного» слагаемых в формуле для û)mn2Вследствие сказанного можно предположить, что минимум частоты собственных колебаний и максимум погреш­ ности ее расчета по технической теории для оболочек средней длины соответствует одному и тому же значению п (или, по край­ ней мере, очень близким значениям). Это полностью подтвержда­ ется сопоставлением результатов (см. рис. 3.1) с расчетными зна­ чениями частот (рис. 3.2).

Таким образом, можно сформулировать вывод: относительная погрешность расчета частот собственных колебаний по уравнениям технической теории для цилиндрических оболочек средней длины максимальна в случае расчета, низших частот.

Анализ приведенных на рис. 3.1 данных показывает также, что максимум относительной погрешности возрастает с увеличением LjR. Наглядную иллюстрацию этому дает рис. 3.3 (следует иметь в виду, что параметры LjR и m входят в решение только в комбн-

lunR

нации - ^ , так что уменьшение m соответствует пропорциональ­

ному увеличению LjR). Результаты, представленные в табл. 3.1, отражают следующую интересную особенность эффекта измене­ ния LjR: для каждого фиксированного п, кроме п= 1, можно найти такую величину L=L0, что при L>L0 погрешность расчета частот

остается постоянной. При этом «предельная» погрешность умень­ шается с ростом п. Что касается «балочной» формы колебаний п=1, то для нее погрешность резко возрастает с увеличением

длины оболочки.

Зависимости относительной погрешности расчета частот от Rlh, как видно из рис. 3.4, для рассмотренной достаточно длинной оболочки качественно различаются при п= 1и при п^А. Если для л= 1 погрешность резко возрастает с увеличением толщины, то

для более высоких, «изгибных» форм колебаний от величины Rift она практически не зависит.

На рис. 3.5 приведена погрешность расчета частот по прибли­ женной формуле (3.20). Как видно, при 5 она дает вполне приемлемые для практических целей результаты во всех рассмот­ ренных расчетных случаях. Точность ее возрастает с увеличением /г, что соответствует условию, при котором она была получена.

Остановимся далее на вопросе о влиянии характеристик мате­ риала на величины рассматриваемых погрешностей. При переходе от продольного армирования к окружному отношение жесткостей углепластиковой оболочки в осевом и кольцевом направлениях изменяется приблизительно от 14 до 1/14. Стальная оболочка, для которой это отношение равно 1, занимает промежуточное положе­ ние. Как следует из сравнения результатов, приведенных на рис. 3.1, а также на рис. 3.5, погрешность расчета собственных час­ тот для стальной оболочки во всех случаях заключена между со­ ответствующими погрешностями для двух углепластиковых оболо­ чек. При этом следует подчеркнуть, что «вилка» погрешностей до­ статочно велика. Так, например, погрешность технической теории для m=l, L/R =2, RUi=200 составляет 0,8% при продольном и 2,8% при окружном армировании, а для Rlh=50—1,8 и 5,7%; при /72=1, LIR —20, R/h=50 эта погрешность соответственно равна 0,34 и 35,1%.

Из приведенных результатов следует вывод, что пределы при­ менимости технической теории для расчета собственных колебаний анизотропных конструкций существенно меняются в зависимости от степени анизотропии материала при фиксированных геометри­ ческих параметрах и формах колебаний.

Завершая рассмотрение вопроса о точности результатов рас­ чета собственных частот, укажем, что в наиболее неблагоприят­

6-15'Н