книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

Здесь нет смысла рассматривать предельный случай M = O, так что величина Ila^ представляется наиболее под­ ходящей в качестве характерного времени. Почти по тем же соображениям, вероятно, более логичным было бы при­ нять за характерное давление величину статического давле­ ния, а не скоростной напор, однако, в силу сложившейся практики, последний оставлен здесь в качестве параметра отнесения. Кроме того, по тем же причинам удобно отнести

Пользуясь выбранными выше характерными величинами, волновое уравнение, граничные условия на крыле и безраз­ мерный перепад давления на крыле можно представить в виде (ср. C (1.1.12), (1.2.35Ь) и (1.1.13))

Характеристиками волнового уравнения (3.2.2) в гипер­ пространстве (Т, X, у, z) являются конусы (здесь термин конус употреблен в обобщенном смысле, см. Адамар 1®^], стр. 39). Типичным уравнением такого конуса с вершиной, совпадающей с началом координат, является

В физическом пространстве (X, у, г) этот конус представ­ ляет собой фронт сферической волны

(3.2.6)

В гиперпространстве (t, х, у, z) характеристическая поверхность с вершиной в начале координат определяется уравнением

X, у, Z) = 2 Ш х - - X-- у ^ -Z^ = O. (3.3.9)

В физическом пространстве (х, у, z) она представляет собой фронт сферической волны

имеющей радиус t идвижущейся вниз по потоку со скоростью М, в соответствии с преобразованием Галилея. Пересечение волнового фронта (3.3.10) с плоскостью 2 = 0 показано на рис. 3.1.

Позднее (см. § 3.10) мы рассмотрим задачи, в которых будет предположено, что установилась гармоническая зависимость параметров от времени — ехр [ikt). Уравнение (3.3.4) при этом принимает вид

Характеристики этого уравнения имеют форму

и называются конусами Маха (при отсутствии иных указа­ ний под термином конус Маха здесь и далее подразумевает­ ся конус C вершиной в начале координат типа, заданного

уравнением (3.3.12)). Нас будут особенно интересовать линии Маха, задаваемые уравнениями

и образуемые пересечением поверхности (3.3.12) с плос­ костью г = о, как показано на рис. 3.1.

переменными t' и х '. Часто выгоднее переписать уравнен в нормальной гиперболической форме

Д'<р = ф..,, _ _ ф,, = ф,,,,, (3.4.4)

где Д' назовем гиперболическим оператором Лапласа, а урав­ нение (3.4.4) — гиперболическим волновым уравнением

(более правильным было бы назвать это уравнение волно­ вым уравнением в гиперболическом пространстве, поскольку классическое волновое уравнение уже является гиперболи­ ческим). При таком представлении уравнения его решение может быть получено, из рассмотрения классического волно­ вого уравнения в пространстве (д;', iy, iz), подобно тому как Батеман ([^‘Ч, стр. 384) получал решения классического волнового уравнения по аналогии с уравнением Лапласа в четырехмерном пространстве {х, у, г, it); (см. § 3.8).

Применяя преобразование (3.4.1) к выражениям для распределения подъемной силы и граничным условиям, получим

в связи C условием (3.4.6) часто желательно бывает выра­ зить V как явную функцию переменных \х', t'), для чего напишем

v'{x', у, n = v{x, у, t)==v\^x', у, р - 1 (М х '-Г )]- (3.4.9)

Главным недостатком видоизмененного преобразования Лоренца является то, что величине t' недостает прямого физического смысла. Чтобы разобраться в этом вопросе глубже, пользуясь (3.4.1) и (3.3.1), для установления связи между {х, i) и {х', t'), получим

Таким образом, для наблюдателя, связанного с поверх­ ностью S, часы, измеряющие время t\ будут не только идти C другой скоростью и в иной фазе, но и в обратном направ­ лении. Это последнее обстоятельство можно было бы обойти путем изменения знака, по такое изменение нарушит подо­ бие между (3.3.5) и (3.4.5).

Несмотря на трудности, связанные с непосредственной физической интерпретацией величины t\ мы будем считать уравнение (3.4.4) канонической формой линеаризирован­ ного уравнения для потенциала сверхзвукового течения ^) и стремиться формулировать задачу об обтекании крыла

ввиде (3.4.4—8).

1)В случае трансзвукового течения (при р —> 0) это уравнение непригодно, поскольку теряет смысл преобразование (3 .4 .1 ), поэтому следует пользоваться уравнением (3 .3 .4 ) (см. случай Лз из таблицы 1).

Характеристики уравнения (3.4.4) в гиперпростраистве (х', у, Zy t') имеют вид

Н{х'у IJy Zy t') = x ' ^ - Z ^ - T - = O. (3.4.11)

В физическом пространстве (х , //, г) это будут двухполостные гиперболоиды типа, заданного уравнением

Соответствующие линии Маха показаны на рис. 3.2.

§ 3.5. Преобразование Лоренца

Одним из многих достоинств представления уравнения для потенциала в форме (3.4.4) является инвариантность этой формы по отношению к истинному преобразованию Лоренца любой пары переменных (х, у), (х , z) или (л', t‘). Наиболее полезной из всех указанных возможностей при решении антисимметричной задачи о крыле является первая, для которой можно записать ^)

Многими авторами преобразование Лоренца применяется к за­ дачам об установившихся сверхзвуковых течениях (см ., например, работу Лагерстрома Впервые в опубликованной литературе это преобразование было применено к нестационарным задачам в ра­ боте Гарднера [ ’Ц, хотя Лагерстром и рассматривал такую возмож­ ность в своих лекциях, читанных в 1948 г. в Калифорнийском тех­ нологическом институте (Пасадена).

Полученная система координат для положительных зна­ чений т показана па рис. 3.3. Конечно при этом подразу­ мевается, что IWj < I.

Рис. 3 .3. Косоугольная система координат, пая преобразованием (3.5 .1).

Свойства преобразования Лоренца рассмотрены в целом ряде монографий (например, в книге Куранта и Гильберта [•” ]), поэтому мы остановимся здесь лишь на некоторых из них.

Многие свойства преобразования Лоренца могут быть установлены, если рассматривать его как поворот в гипер­ болическом пространстве, определенном дифференциальной

Гиперболический радиус в этом пространстве определяется уравнением

г' = if (3.5.4)

и остается инвариантным к преобразованию (3.5.1). Кроме того, если рассматривать % как гиперболический угол, то

преобразование (3.5.1) может быть представлено в виде

Форма (3.5.5) подчеркивает групповое свойство преобра­ зования Лоренца, а именно:

(3.5.7а)

/Пз = (1 + т^Шг)-! (mi + Шг) = th (Xi + Хг). (3.5.7Ь)

откуда следует, что любые два последовательные преобразо­ вания Лоренца образуют третье, в котором параметр т под­ чиняется правилу сложения гиперболических тангенсов. Иными словами, соотношения (3.5.5) и (3.5.6) могут быть получены из (3.5.7). Из сказанного вытекает соотношение (см. Хейс {88J)

+Ч т + ”].'

откуда видно, что преобразование (3.5.1) является томогра­ фическим преобразованием, оставляющим инвариантными линии Маха х '/у = ± 1 (ср. рис. 3.2 с рис. 3.3). Этот по­ следний результат является лишь частным следствием инва­ риантности характеристик при преобразовании Лоренца.

§ 3.6. Другие инвариантные преобразования

Общие вопросы преобразований, оставляющих инва­ риантным классическое волновое уравнение, рассматри­ ваются в ряде статей Батемана [^°1 — [^^1. По аналогии могут быть найдены соответствующие преобразования гипер­ болического волнового уравнения (3.4.4) (см. Майлс

§ 3.7. Характеристические координаты

Существуют преобразования, не оставляющие инвариант­ ным гиперболическое волновое уравнение, и тем не менее представляющие большой практический интерес. В качестве

Рис. S-d. Характеристические коор­ динаты, определенные преобразова­ нием (3.7.1).

(3.7.1а)

(3.7.1Ь)

(3.7.2)

Новые оси координат показаны на рис. 3.4. Гиперболи­ ческая метрика в этом пространстве определяется соотно­ шением