книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

Сформулируем граничные условия, обеспечивающие непрерыв­ ность теплового потока между слоями:

Таким образом, задача анализа температурного поля конст­ рукции микросборки сводится к решению основного уравнения теплопроводности (4.22) методом конечных элементов с гранич­ ными условиями (4.23)— (4.27).

Уравнение (4.21) вместе с граничными условиями (4-22) — (4.27) однозначно определяет задачу. Однако в этом случае возможна и вариационная формулировка задачи. Согласно теореме Эйлера

принимал минимальное значение, необходимо и достаточно, если неизвестная функция ф(х, у, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(4.29)

Хдх* Уду* *dz* v

в той же области, учитывая, что <р в обоих случаях удовлетворяет одинаковым граничным условиям.

Поэтому решение уравнения (4.22) с граничными условиями (4.22) — (4.27) эквивалентно отысканию минимального значения функционала

по всей области при тех же граничных условиях для TW. Минимизацию функционала (4.30) необходимо осуществить на

множестве узловых значений {Т}. Пусть анализируемая структура (область) разделена на более мелкие объемные части (подобла­ сти), которые называем элементами (рис. 4.5).

Предположим, что неизвестная функция TW определена для каждого элемента в форме

где Nc — интерполяционная функция, или функция формы; Те} • узловые значения температуры произвольного элемента, е = 1 , 2, .

Для рассматриваемого случая функцию формы запишем в виде

Для минимизации функционала (4.30) разобьем общий интег­ рал на частные с учетом определения функции TW для каждого элемента, т. е. PJK

формы. В этом случае функционал (4.36) с учетом выражения

где Q, T0, a — известные коэффициенты, внесенные под знак ин­ теграла, так как могут изменяться внутри элемента. Осуществим

133

операцию дифференцирования выражения (4.40) по {T leJ)}. Тогда вклад отдельного элемента дНЩ д{Т^>} в общую сумму дИ 1д{Т </>}

Выражение (4.41) целесообразно переписать в более компакт­ ной форме

Выражение (4.43) определяет матрицу теплопроводности эле­ мента [Ке\, а равенство (4.44) — вектор нагрузки элементов {fe}• Окончательный вид системы уравнений, решение которой позволяет найти распределение температурного поля в объеме конструкции, получаем после подстановки (4.42) в выражение (4.37):

Уравнение (4.46) является исходным для определения числен­ ных значений температуры в структуре микросборки. Для вычис­ ления матриц (интегралов), входящих в исходное уравнение (4.46), необходимо сделать два преобразования. Во-первых, поскольку Wp в (4.32) заданы в локальных координатах, то глобальные про­ изводные, входящие в матрицу теплопроводности (4.43), необхо­ димо выразить через локальные производные. Во-вторых, элемен­ тарный объем (или поверхность), по которым необходимо произ­ водить интегрирование, нужно представить в локальных коорди­ натах и соответствующим образом изменить предел интегриро­ вания.

134

Рассмотрим систему локальных е, т), ср и соответствующую си­ стему глобальных координат х, у, z. Используя правило частного дифференцирования, запишем производные по локальным коорди­ натам е, г), <р в матричном виде:

В выражении (4.47) матрица [/] называется матрицей Якоби преобразования координат. Глобальные координаты для выраже­ ния (4.43) находим путем обращения матрицы Якоби, т. е.

Используя в качестве узловых параметров координаты узлов, формулу преобразования координат можно записать, применяя функции формы (4.31):

Для преобразования переменных и области интегрирования ис­ пользуем определитель матрицы Якоби. Тогда элементарный объем преобразуется как

Объемные интегралы в выражениях (4.43) и (4.44) можно при­ вести к виду

135

Хотя пределы интегрирования в (4.53) простые, выражение для [/(...)] в явном виде довольно сложное. Поэтому интегрирование целесообразно проводить численным методом, например методом квадратуры Гаусса—Лежандра.

Порядок квадратурных формул, используемых для вычисления данного интеграла, зависит от порядка полиномов в произведении [Be] T[De\[Ве] или [Ne] T.Порядок интегрирования выражения (4.53) следующий: сначала вычисляют внутренний интеграл в предпо­ ложении, что переменные ц и <р постоянные, используя формулу

где п — порядок квадратуры; Я* — весовой коэффициент квадра­ туры. Затем находят второй интеграл в предположении, что ср — постоянная, т. е.

1

При этом предполагается, что число точек интегрирования в каж­ дом направлении одинаково.

136:

Для окончательного формирования матриц теплопроводности

мент (см. рис. 4.4), ограниченный прямолинейными сторонами, и значения (4.57) проще искать аналитическим методом.

Рассмотрим линейный элемент, на верхней грани которого

137

Следовательно, решая выражения (4.56), (4.63) и (4.64), можно получить численное значение температуры в соответствующих узлах аппроксимированной области тепловой модели.

Программная реализация задачи. Первым шагом решения урав­ нения теплопроводности (4.22) с граничными условиями (4.23) — (4.27) является дискретизация тепловой модели, под которой по­ нимаем представление анализируемой области (тепловой модели) набором конечных элементов, связанных в узлах. При этом необ­ ходимо поступать следующим образом: на тепловой модели фикси­ руют конечное число точек-узлов. Количество узлов, с одной сто­ роны, определяет необходимую точность результатов, с другой — увеличение числа узлов в значительной степени увеличивает про­ цессорное время расчета. Соединение узлов позволяет получить призму — конечный элемент, определенная совокупность которых аппроксимирует тепловую модель.

Второй важный шаг — нумерация узлов. Она в значительной степени определяет эффективность вычислений.

При разумной нумерации узлов вместо полной получают гло­ бальную матрицу теплопроводности ленточного типа. Это является достоинством метода конечных элементов, так как позволяет та­ кую систему уравнений решать прямым или итерационным мето­ дами. Известно, что в ленточной матрице все ее ненулевые коэф­ фициенты располагаются вблизи главной диагонали, а все коэф­

где R — максимальная по элементам величина наибольшей раз­ ности между номерами узлов в отдельном элементе; Q — число неизвестных в каждом узле. Поэтому для минимизации ширины полосы матрицы (4.65) необходимо минимизировать R, что осу­ ществляется последовательной нумерацией узлов при движении

всторону наименьшего размера аппроксимируемой области. Следует отметить еще два свойства матрицы — симметричность

иположительную определенность. В случае симметричной поло­ жительно определенной матрицы ленточного типа почти наполо­ вину сокращаются объемы памяти и вычислений, необходимые для получения решения системы уравнений.

Разработанная программа вычислений предусматривает пре­ вращение матрицы теплопроводности в прямоугольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина массива соответствует числу узлов, зафиксированных на тепловой модели. Это в значительной степени сокращает объем вычислений, и к тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления.

138

Рнс. 4.6. Блок-схема программы HEAT CONDUCTION.

Поскольку неверно составленные исходные данные для элемен­ тов являются основным источником ошибок в процессе программ­ ной реализации метода конечных элементов, то для их исключения разработана программа, которая автоматически формирует массив

139

исходных данных элементов. Общая схема реализации задачи ана­ лиза стационарной тепловой физико-математической модели конст­ рукции гибридной интегральной микросборки методом конечных элементов представлена на рис. 4.6.

4.4. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТЕПЛОЭЛЕКТРИЧЕСКОИ СОВМЕСТИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ ИМС

Составной частью теплофизического конструирования ИМС является синтез конструктивных решений, т. е. обеспечение теплоэлектрической совместимости функциональных и конструк­ тивных параметров элементов. Совершенно очевидно, что синтез конструктивных решений гораздо сложнее процесса анализа, одна­ ко решения, получаемые при синтезе, могут значительно сокра­ тить время разработки изделия, и поэтому имеют существенную практическую ценность. Поскольку рассматриваемый класс отно­ сится к задачам принятия оптимальных решений, то ставится за­ дача разработки или выбора математического метода поиска оп­ тимального решения, что накладывает определенные трудности на весь процесс решения. Наряду с этим в процессе теплофизического проектирования следует учитывать многоуровневый характер поиска решения, который однозначно определяется конструктор­ ской иерархией микроэлектронной аппаратуры. Предположим, ста­ вится задача обеспечения необходимого теплового режима (задача синтеза) микроэлектронного устройства (МЭУ), конструктивно выполненного в виде стойки. Тепловое поле, порождаемое рассеи­ ваемой мощностью составляющих устройства и температурой окружающей среды, зависит от местоположения блоков аппаратуры. Поэтому для определения требуемого температурного поля уст­ ройства необходимо осуществить формализацию задачи оптималь­ ного размещения блоков устройства в объеме стойки. Кроме того, каждый блок характеризуется допустимыми условиями эксплуа­ тации, которые в значительной мере определяются значениями температурного поля в некоторых критических точках или обла­ стях. Поэтому при синтезе конструкции блока возникает анало­ гичная задача для конструктивных единиц низшего уровня иерар­ хии — узлов, которые также являются источниками теплового поля. В свою очередь, если под микроэлектронными узлами пони­ мать гибридную интегральную микросборку или полупроводнико­ вую ИМС с тепловыделяющими элементами, то на этом уровне также следует решать задачу синтеза конструктивных решений, т. е. задачу обеспечения тепловой совместимости параметров эле­ ментов ИМС.

Таким образом, общим для каждого уровня конструкторской иерархии МЭУ является решение совокупности идентичных задач принятия конструктивных решений по обеспечению тепловой сов­ местимости параметров микроэлектронного узла, блока, устрой­ ства и т. д. Такую совокупность задач целесообразно представить в виде многоуровневой схемы принятия решения (рис. 4.7), кото-

140