книги / Математические методы моделирования в геологии

блюдаемым результатам, то есть средняя изменчивость их отклоне­

тренда удовлетворительно решается с применением ортогональных полиномов первой степени. В случаях, когда доля случайной из­ менчивости остается все же достаточно большой после аппрокси­ мации линейными функциями, для выявления закономерной изменчивости более высокого порядка применяются полиномы второй, третьей и реже - более высоких степеней.

Поверхность тренда второго порядка будет описываться урав­ нением и = Р0 +р,х + р2у + Р3х2 +Р4у 2 +Ps*y, а число неизвестных полиномиальных коэффициентов увеличится до пяти. Для перехода к уравнению следующего, более высокого порядка каждая геогра­ фическая координата возводится в заданную степень и добавляются соответствующие смешанные произведения.

Выбор степени аппроксимирующего полинома и оценка значи­ мости выявленных закономерностей могут осуществляться с помо­ щью дисперсионного анализа. Для этого подсчитываются средние квадраты отклонений эмпирических значений исследуемого при­ знака в точках замера от среднего арифметического и от аппрокси­ мирующих поверхностей разного порядка, а также средние квадра­ ты отклонений от среднего арифметического самих аппроксими­ рующих поверхностей. Значимость закономерностей, описываемых полиномами определенного порядка, проверяется с помощью кри­ терия Фишера.

Высокие значения критерия Фишера для линейной и квадра­ тичной модели указывают на реальность описываемых ими законо­ мерностей.

Вто же время для кубической поверхности F= 0,15, что свиде­ тельствует о несущественном влиянии компоненты третьего по­ рядка.

Вгеологической практике региональные закономерности

обычно удовлетворительно описываются полиномами не выше третьей степени.

Аппроксимация тригонометрическими полиномами позволяет описывать закономерные периодические колебания свойств геоло­ гических объектов.

Из всех возможных аппроксимирующих функций выбирается та, которая точнее описывает имеющиеся данные и содержит наи­ меньшее число параметров. Однако вид такой функции нельзя предсказать заранее, что существенно затрудняет практическое ис­ пользование данных моделей. Аппроксимирующие функции коор­ динат пространства как модели геологических объектов имеют и некоторые другие недостатки:

-допускают существование нереальных значений изучаемых переменных, например отрицательных значений содержания хими­ ческих элементов в породах или мощностей рудных тел;

- не учитывают резких, скачкообразных изменений значений изучаемого свойства по геологическим границам, вследствие чего при моделировании рудных тел высокие содержания полезного компонента иногда распространяются на заведомо безрудные поро­ ды, например, на пострудные дайки;

-непригодны к использованию для описания прерывистых объектов (например, рудных тел с прерывистым характером оруде­ нения), так как происходит сглаживание исходных данных и иска­ жается представление о степени прерывистости (увеличивается ко­ эффициент рудоносности).

Выделение аномальных значений изучаемого свойства имеет в геологии большое практическое значение, так как с «аномалиями» часто связаны тела полезных ископаемых и другие наиболее инте­ ресные геологические объекты.

Задача отделения аномальных значений от фоновых не имеет строгого математического решения. В каждом конкретном случае используются различные эмпирические подходы, основанные на опыте изучения аналогичных объектов. Существенную помощь при выявлении аномалий и установлении их геологической природы могут оказать карты «остатков» от тренда, которые строятся путем вычитания вычисленных значений тренда из наблюдаемых значений поля в каждой точке. Карты могут быть построены и для случайной составляющей после сглаживания исходных данных скользящим ок­ ном или с помощью преобразования какого-либо другого вида.

4.13. Трансформация геологических

пространственных переменных

При изучении изменчивости непрерывных геологических по­ лей часто возникают задачи описания их структур с учетом не толь­ ко тренда, но также влияния всей совокупности аномалий. В конеч­ ном итоге они сводятся к описанию статистических свойств ло­ кальных отклонений от фона с использованием частотных и амплитудных статистических характеристик. Конкретные харак­ теристики степени изменчивости полей выбираются в зависимости от целей и задач исследований.

Они служат основой для построения новых трансформирован­ ных геологических переменных, наиболее ярко и наглядно отра­ жающих особенности структуры, характер изменчивости или ани­ зотропию изучаемых геологических полей.

Например, когда размеры аномалий близки к размерам ячейки сети наблюдений, а их количество велико, исследуются обычно не отдельные аномалии, а их совокупность, определяющая характер изменчивости изучаемого поля пространственной переменной. Для описания изменчивости предложен ряд произвольных характери­ стик. Для оценки степени «изрезанности» поля используют коэф­ фициент «аномалийности», который определяется по относитель­ ной разнице между длиной графика изучаемого свойства на участке профиля постоянной длины и длиной этого участка.

При прослеживании геологических границ по геофизическим данным применяются горизонтальные градиенты или энтропия поля.

Горизонтальные градиенты определяются по числу изолиний поля, попадающих на единичный отрезок, перпендикулярный к преобладающему в пределах этого отрезка направлению изоли­ ний. Для расчета энтропии с помощью палетки подсчитываются доли каждого интервала между изолиниями, попадающими в пре­ делы элементарной площадки трансформации.

4.14.Области применения горно метрических моделей

итренд анализа в геологии

Большинство геологических задач относятся к числу простран­ ственных исследований и имеет цель выявить особенности разме­ щения изучаемых геологических объектов в структурах земной ко­ ры или элементов ее строения. Поэтому методы количественного описания и математического моделирования пространственных геологических закономерностей являются ведущими во всех отрас­ лях геологических наук.

В геологической практике издавна исключительно широко рас­ пространены методы горно-геометрического моделирования геоло­ гических тел и свойств горных пород и полезных ископаемых.

Графические модели различных свойств природных геологиче­ ских тел широко используются в структурной геологии, геологии полезных ископаемых, рудничной геологии и методике поисков и разведки полезных ископаемых. Методы горно-геометрического моделирования изучаются в курсе геометризации недр. На принци­ пах П. К. Соболевского были разработаны различные аналитиче­ ские методы описания изменчивости, использующие для этих целей первые или вторые последовательные разности значений показате­ лей изменчивости по смежным пунктам наблюдений.

С помощью горно-геометрических моделей можно выразить особенности пространственной изменчивости свойств геологиче­ ских образований, установить значение изучаемого свойства в лю­ бой точке исследуемого объекта, получить представление о его морфологии и внутреннем строении.

Однако требование непрерывности и плавности изменения изучаемого свойства ограничивает область их практического при­ менения объектами с весьма выдержанными в пространстве свойст­

вами. К таким объектам относятся пласты осадочных пород, грани­ цы интрузивных образований, рудные тела с простой морфологией

иотносительно равномерным характером оруденения и т. п.

Всвязи с бурным внедрением вычислительной техники и ЭВМ, в последние десятилетия все шире и многообразнее становится ис­ пользование в геологической практике методов тренд-анализа ис­ ходных данных, в числе которых особенно широкое развитие полу­ чили методы сглаживания и аппроксимации поверхностей тренда. Исключительное разнообразие предложенных методов тренданализа объясняется стремлением их создателей подобрать в каж­

дом конкретном случае такую модель аппроксимации, которая не только обладала бы минимальными отклонениями наблюдаемых значений признаков от поверхности тренда, но и, по возможности, не смещала бы их выявленные экстремальные значения. Однако здесь не учитывается тот факт, что при достаточно сложном харак­ тере природной изменчивости признака, ограниченности числа на­ блюдений и редкой их сети высокая степень приближения аппрок­ симирующей поверхности ко всей совокупности наблюдений явля­ ется иллюзорной.

Ранее уже упоминалось, что с помощью любой модели тренданализа можно выявить кажущиеся «закономерные» составляющие изменчивости даже в совокупностях заведомо случайных данных (например, подобранных по таблицам случайных чисел). Поэтому выявление истинных закономерностей пространственной изменчи­ вости сложно построенных геологических объектов возможно толь­ ко путем последовательного сгущения сети наблюдений. По редкой их сети выявление многочисленных высокочастотных колебаний значений признака невозможно, и никакая, даже самая сложная мо­ дель аппроксимации здесь не поможет.

С позиций системного подхода значительно важнее сначала обеспечить густоту сети наблюдений, достаточную для выявления заданных высокочастотных колебаний признака, а затем выбрать оптимальные размеры сглаживающего окна, ориентируясь на уве­ ренную геометризацию элементов неоднородности заданного ие­ рархического уровня строения изучаемого объекта. Нельзя забы­ вать, что достоверные значения «скользящей средней» будут обеспечены лишь при достаточном числе наблюдений в окне

(в большинстве случаев более девяти, а в оптимальных вариантах около 25). При малом же числе точек доверительные вероятности значений «скользящих средних» увеличиваются настолько, что их уже нельзя рассматривать как детерминированные величины, а сле­ довательно, и как закономерные составляющие изменчивости. С этой точки зрения мало эффективны и результаты использования сложных полиномов «взвешенного сглаживания». Разные долевые участия значений признака приводят к искажениям оценок его ис­ тинных средних значений в окне, а лучшая аппроксимация эмпири­ ческих поверхностей оказывается фактически иллюзорной. Приме­ нительно к решению многих геологических задач сравнительные результаты моделирования с использованием различных моделей тренд-анализа свидетельствуют в пользу невзвешенного сглажива­ ния, но с тщательным и объективным подбором размеров скользя­ щего окна и числа наблюдений в нем, обеспечивающих выявление структуры изучаемого геологического объекта на заданном иерар­ хическом уровне его строения.

4.15. Моделирование дискретных случайных полей

Дискретные случайные поля используются для изучения осо­ бенностей расположения объектов в пространстве. Наиболее часто в геологической практике возникает задача выявления закономер­ ностей в расположении точечных объектов на плоскости или отно­ сительно линий и объектов произвольной формы, имеющих конеч­ ные площади. Точечным считается объект, размеры которого очень малы по сравнению с исследуемой территорией.

Выделяют общую задачу, когда проверяется гипотеза о слу­ чайном расположении исследуемых объектов, и локальную, когда требуется определить области относительного сгущения и разреже­ ния точечных объектов.

Для решения общей задачи при изучении распределения точеч­ ных объектов на плоскости исследуемая территория разбивается на квадратные ячейки постоянного размера. При этом часть ячеек (р) будет содержать хотя бы один точечный объект, а остальные (1 - р ) окажутся пустыми. После этого исходные ячейки группиру­ ются в новые квадраты по N исходных ячеек в каждом. При случай­

ного сгущения или разрежения, значимо отличные от областей со случайным расположением точечных объектов.

Были установлены и оконтурены участки сгущения аномалий, значимо отличающиеся от площадей со случайным расположением точечных объектов при доверительной вероятности 0,95. Площади с избыточной плотностью радиометрических аномалий приурочены к ландшафтам крутых склонов и в виде локальных участков к ланд­ шафтам водоразделов. В то же время ландшафты склонов средней крутизны, и особенно аккумулятивные и аллювиальные ландшаф­ ты, характеризуются отрицательными значениями v. Это дает осно­ вание заключить, что частота выявления радиометрических анома­ лий на данной территории существенно зависит от природных ус­ ловий ведения поисковых работ.

О зависимости расположения п точечных объектов относи­ тельно объектов с конечной суммарной площадью, составляющей часть р от всей исследуемой площади, можно судить по нарушению

равенства — = /?, где т - количество точечных объектов, попа-

п

дающих на площадные объекты.

Пример. В одном из районов Южного Урала медно-колче­ данные месторождения и рудопроявления приурочены к площадям развития кислых вулканитов. Эта тенденция настолько очевидна, что не нуждается в статистической проверке. Однако на некото­ рых участках развития благоприятных пород рудопроявления от­ сутствуют. Было высказано предположение, что в пределах пло­ щадей развития кислых вулканитов размещение проявлений медно­ колчеданной минерализации определяется локальными аномалиями тектонической напряженности. Тектоническая напряженность оценивалась по произведению количества трещин на их суммарную длину в пределах скользящего окна площадью 4 км2 Для проверки этой гипотезы примем за исследуемую площадь развития кислых вулканитов, а в качестве площадных объектов —участки аномалий тектонической напряженности в пределах этих пород. Отношение суммарной площади аномалий в пределах кислых вулканитов к об­ щей площади этих пород р составляет 0,46, а отношение количе­ ства рудопроявлений и месторождений в кислых вулканитах в пре­ делах аномалий т к общему их числу в данных породах п равно

т

п

Таким образом, концентрация проявлений минерализации

впределах аномалий несколько выше, чем по кислым вулканитам

вцелом. Однако разница между величинами р и — невелика. Веро-

п

ятность такого расхождения при случайном расположении точек минерализации относительно аномалий составляет 0,36. Это не позволяет считать связь медно-колчеданных рудопроявлений и ме­ сторождений с доказанной аномалиями тектонической напряжен­ ности.

Аналогичным образом проверяется гипотеза о зависимости расположения точечных объектов относительно линейных. Под линейными в данном случае понимаются объекты, шириной кото­ рых можно пренебречь: тектонические нарушения, контакты по­ род и т. п. Вдоль линейных объектов строятся полосы различной ширины, которые можно рассматривать как объекты с конечной площадью и применять к ним методы, рассмотренные выше.

Более полно проблема математического моделирования про­ странственных геологических переменных рассмотрена в работах Н. Н. Боровко, У. Крамбейна и Ф. Грейбила. Способы проверки ги­ потез о наличии тренда подробно описаны в книге Р. Миллера и Д. Кана.

Контрольные вопросы

1.Какие геологические задачи решаются с помощью тренданализа?

2.Какие важнейшие статистические гипотезы проверки нали­ чия тренда и условия их применения вам известны?

3.В чем заключается метод аппроксимации поверхностей тренда полиномами? Для решения каких геологических задач ис­ пользуется этот метод?

4.Какие важнейшие области применения горно-геометри­ ческих моделей и тренд-анализа в геологии вам известны?

5.МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

СПОМОЩЬЮ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

5.1.Принципы моделирования свойств геологических объектов

При решении многих геологических задач возникает необхо­ димость количественной оценки пространственной изменчивости свойств геологических объектов. Методы статистики случайных величин для этих целей малопригодны, так как все статистические модели не учитывают пространственного расположения точек на­ блюдений. Для оценки пространственной изменчивости геологиче­ ских признаков может быть использован математический аппарат теории случайных функций, широко применяемый в различных об­ ластях науки и техники.

Случайной называется такая функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, причем какой именно, заранее неизвестно. Аргументами при этом могут быть время (случайные процессы) или координаты пространства (слу­ чайные поля или последовательности). Случайные процессы ис­ пользуются в качестве моделей прибрежно-морских гидродинами­ ческих процессов, для описания сезонных колебаний уровней грун­ товых вод, при изучении гидродинамических свойств пород, при опытных откачках из скважин и т. п. Гораздо чаще геологу прихо­ дится иметь дело с моделями случайных полей и последовательно­ стей, описывающих пространственную изменчивость самых раз­ личных геологических признаков в одномерном, двумерном или трехмерном пространствах.

Конкретный вид, который принимает функция в результате опыта, называется ее реализацией. Так, например, каротажная диа­ грамма по скважине может рассматриваться как реализация случай­ ной функции, описывающей изменение изучаемого физического свойства пород на пробуренном интервале. Совокупность несколь­ ких контрольных каротажных диаграмм образует семейство или ансамбль реализаций случайной функции. Каждая реализация от­ ражает общие тенденции в изменении изучаемого свойства, но они