книги / Математическая статистика в технологии машиностроения
..pdfпри п < 30
Г2 — ir l________
где ft — частота наблюденного значения хс, п — число всех наблюдений;
т — число значений xt.
Дисперсия имеет размерность, представляющую собой квадрат размерности самой случайной величины. На практике это неудобно. Поэтому в технике чаще пользуются не самой дисперсией, а кор
нем квадратным из нее, |
взятым |
со знаком плюс |
и называемым |
|
средним |
квадратическим |
отклонением: |
|
|
|
|
а = + |
VD x |
(10) |
или для |
эмпирических |
распределений |
|
|
|
|
|
(xi-X P ft |
|
|
а = + |
|
п |
( “ ) |
|
|
|
||
Размерность а совпадает с размерностью самой случайной величины х.
Размахом, или широтой распределения пользуются как мерой рассеивания в эмпирических распределениях при малом числе наблюдений, когда п < 10. Размахом называется разность между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями случай ной величины:
R = Л-max ^mln• |
(12) |
Основные свойства дисперсий и средних квадратических от клонений. Дисперсии и средние квадратические отклонения обла дают рядом свойств, вытекающих из теорем о дисперсиях. Приво дим эти свойства без доказательств.
1. Дисперсия постоянной величины с равна нулю:
Dc = 0. |
(13) |
2. Дисперсия произведения постоянной величины с на случай ную величину х равна произведению квадрата постоянной вели чины с на дисперсию случайной величины х:
Dcx = сЮх. |
(14) |
3. Дисперсия суммы постояной с ислучайной величины х равна дисперсии случайной величины х:
D (с + х) = Dx. |
(15) |
4. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных вели чин x lt x 2l. ., хп равна сумме дисперсий этих величин;
1 |
= |
££>*«• |
(16) |
|
/=1 |
|
Аналогично для средних квадратических отклонений
а П |
(17) |
Е*
5.Дисперсия распределения, полученного от сложения не скольких распределений с одной и той же случайной переменной х,
равна средней из дисперсий этих распределений Dxi, сложенной
с дисперсией Dxt |
частных средних Xf около общей |
средней |
X: |
||||||
|
|
|
|
Dx = Dxt + Dxi |
|
|
|
||
или |
|
|
|
_ |
_ |
|
_ |
|
|
|
tn |
|
tn |
m |
|
|
|||
|
S v ; |
И м * ,--* )* |
^ |
|
|
|
|||
a2 = |
—--------------------------- = a2 + —---------------- , |
’ |
(18) |
||||||
|
/г |
|
|
n |
|
n |
|
v 7 |
|
где |
rii — число членов i-го распределения; |
|
|
|
|||||
|
m — число распределений; |
|
|
|
|||||
|
a? — дисперсия t-ro распределения; |
|
|
|
|||||
|
— средняя арифметическая i-го распределения; |
|
|||||||
|
X — общая |
средняя, |
определяемая из |
равенства |
|||||
т |
|
А = |
4п |
Ех Xtnr, |
|
|
|
|
|
п = S |
ni — общее число членов во всех распределениях. |
||||||||
Из свойства |
(5) вытекает, |
что |
если все частные средние X,- |
||||||
и tit равны между собой, то X,- = |
X и второй член равенства (18) |
||||||||
обращается |
в нуль. Тогда |
|
|
|
|
|
|||
Из этого же свойства (5) следует, что
а — |
о2 ---- S ni (X,- —X)2 |
(19) |
При Xt = X
a = a.
Пример 5. На автомате № 1 обработано 100 деталей, а на автомате № 2 обра ботано 50 таких же деталей. После измерения размеров деталей установлено, что
для nt = 100 X JL— 8,0 мм\ о\ = 4 л*кл*2, а для п2 ~ 50 X2 = 8,10 лм*;
о\ — 5 мкм2. Определить Л и |
сг, |
которые |
получаются после смешения этих |
|||
двух партий: |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
/*1 + |
п2 |
|
100-8 + |
50.8,1 = 8,03 мм\ |
|
|
|
100 + 50 |
|||
О2 |
100-4 + 50-5 |
100 (8 — 8,03)2 + 50 (8,1 — 8,03)2 |
||||
|
150 |
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
4,333 + |
0,002 = |
4,335 мкм*\ |
|
4,335 = 2,08.
6. ПОНЯТИЕ 0 МОМЕНТАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для более полного исследования распределений случайных величин в математической статистике пользуются моментами. Моменты представляют собой систему численных характеристик распределения, включающую среднюю арифметическую и диспер сию, которая позволяет наиболее полно описывать различные свой ства совокупностей случайных величин. Понятие момента взято из механики [9]. В механике моментом силы относительно не которой точки называется произведение величины силы на длину плеча, т. е. на величину перпендикуляра, опущенного из данной точки на линию действия силы. Если имеется система сил, то момент системы этих сил относительно некоторой точки будет равен сумме их моментов относительно данной точки.
Полную аналогию с системой сил, приложенных к твердому телу, имеет и ряд распределения случайной величины х:
Х\» Х2, Х3, . . . , хт
fl |
f 2 |
/3 |
ftn |
п ’ |
п 9 |
п 9 |
*** п 9 |
где x lf х2,. |
хт — наблюденные значения случайной вели |
|
чины х; |
— , — |
, — — частости этих значений. |
п 1 п |
9 п |
Каждую частость можно рассматривать как силу, приложен |
|
ную к точке, соответствующей данному значению х. Поэтому, взяв какое-либо значение х = а за начало, можно составить мо мент частостей для каждого значения случайной величины х отно сительно этого начального значения аналогично понятию момента системы сил относительно некоторой точки. При этом в качестве плеча берется отклонение каждого значения xt от выбранного начального значения х = а, т. е. плечо будет равно (х* — а).
С целью придания понятию момента общности будем брать отклонения х* от а в некоторой степени h = 0, 1, 2, 3 и т. д. В этом случае моменту распределения можно дать следующее определе ние.
Моментом ряда распределения (или просто моментом) относи тельно начального значения х = а называется сумма произведе ний отклонений значений Xi от а в данной степени h на соответ ствующую частость:
mh= |
п |
Ц fi {xt — a)h. |
(20) |
|
L |
|
|
Давая показателю h различные значения h = 0, |
1, 2, 3 и т. д., |
||
получим моменты нулевого, первого, второго и т. д. порядка отно сительно начала а.
Различают начальные и центральные моменты Л-го порядка.
Если а = 0, |
то момент называется начальным. Обозначим началь |
|
ный момент |
h-го порядка через |
vh, тогда |
|
= |
(21) |
Если а = X, то момент называется центральным. Обозначим его через ц, тогда центральный момент h-го порядка
Ид = 4 - ? М * ‘ - * > Л- |
(22) |
Для практических целей достаточно ограничиться вычисле нием моментов не выше четвертого порядка. При этом начальные моменты сами по себе не имеют прикладного значения, кроме начального момента первого порядка. Они обычно используются для вычисления центральных моментов, так как вычисление по следних по формуле (22) является более трудоемким процессом, чем вычисление начальных моментов по формуле (21).
Сравнивая формулы (5) и (21), нетрудно убедиться, что сред нее арифметическое значение представляет собой не что иное, как начальный момент первого порядка случайной величины х:
Х = ^ = |
(23) |
п i
Вычисление центральных моментов при помощи начальных мо ментов производится на основании следующих соотношений,
которые легко выводятся из формулы (22) путем замены X = |
и |
||
придания показателю h значений |
0, 1, |
2, 3, 4: |
|
Ио = |
1; |
|
(24) |
Их = |
0; |
|
(25) |
И2 = V2 |
— V?; |
(26) |
|
Из = V3 — 3v2vi + |
2v?; |
(27) |
|
р.4 = v4 — 4v3vi -)- 6v2v? — 3vJ. |
(28) |
Из этих формул можно вывести формулы Для проверки вычис ленных центральных моментов:
Цз = v3 — 3p'2vi — v?; |
(29) |
р4 = v4 —4vip3 — 6p2v? — v}. |
(30) |
При правильных вычислениях центральных моментов формулы (27) — (30) должны дать одинаковые значения для р3 и р,4.
Из сравнения формул (9) и (22) следует, что центральный мо мент второго порядка представляет собой не что иное, как диспер сию случайной величины х:
°2 = Р2 = п i |
(31) |
До сих пор мы говорили о моментах для эмпирических распре делений. Для теоретических распределений формулы вычисления моментов имеют аналогичный характер, только вместо частости используются вероятности для дискретных случайных величин и плотности вероятностей для непрерывных случайных величин.
Для распределений дискретных случайных величин:
v* = |
Е р to )* ? ; |
(32) |
|
/'=1 |
|
На = S |
P(xi){xi— X)h. |
(33) |
/=1 |
|
|
Для распределения случайных величин непрерывного типа:
Vft= |
Jооxh(f (х) dx] |
(34) |
Нл = j |
(х —Х)Лф(x)dx. |
(35) |
--00 |
|
|
При этом необходимо заметить, что начальный момент первого порядка является математическим ожиданием Мх, а централь ный момент второго порядка |л2 — дисперсией Dx случайной величины х дискретного или непрерывного типа.
Глава II
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
При наличии определенных условий распределения случайных величин могут подчиняться .вполне определенным законам. За коны распределения случайных величин изучаются в теории ве роятностей. Из этих законов наибольшее практическое значение
25
6 машиностроении имеют следующие: закон биномиального рас пределения и закон редких событий для дискретных случайных величин; закон равной вероятности, закон нормального распреде ления, закон эксцентриситета и закон распределения модуля раз ности для непрерывных случайных величин.
1. ЗАКОН БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть производится серия последовательных независимых ис пытаний, каждое из которых заканчивается одним из двух несов местимых между собой результатов: или событие А наступает, или оно не наступает. Вероятность появления события А в каждом испытании равна р, а вероятность непоявления события А равна <7=1 — р. Так как испытания независимы, то вероятность по явления или непоявления события А не зависит от результатов предыдущих испытаний. При такой схеме испытаний вероятность появления события А заданное число раз подчиняется закону биномиального распределения, который можно сформулировать так: если вероятность события А постоянна в серии последова тельных независимых испытаний и равна р, то вероятность по явления события А ровно k раз в п испытаниях будет равна
P {n ,k)= C npkqn- k. |
(36) |
Это уравнение определяет собой распределение вероятностей случайного числа k , которое называется биномиальным.
В формуле (36) символ Скп обозначает число сочетаний из п элементов по А, т. е. биномиальный коэффициент. Биномиальный коэффициент можно проще записать так:
pk __ |
п\ |
|
k\{n — k) 1 ’ |
где символ п\ обозначает факториал и выражает произведение натуральных чисел 1, 2, 3,. ., п. При этом 0! = 1. С учетом из ложенного формула (36) примет более простой вид:
Р ("■*>= |
P V -». |
(37) |
Математическое ожидание Mk и дисперсия о\ биномиального распределения равны:
Mk = пр\
а\ = npk.
Пример 6. В партии деталей имеется брак, доля которого составляет 0,1. Производится последовательное извлечение 10 деталей. После каждого извлече ния и обследования детали она вновь возвращается в партию, которая затем тщательно перемешивается, т. е. испытания носят независимый характер* Какова вероятность того, что при извлечении по такой схеме 10 деталей среди них по явится одна бракованная?
26
= |
Очевидно, что вероятность извлечения бракованной детали составляет р = |
||
0,1, вероятность противоположного события — извлечение годной детали q = |
|||
= |
1 — р = 1—0,1 = 0,9. Число |
испытаний п = |
10 и k = 1: |
|
Р (10,1) = |
-0,1 -0,9» = |
0,387. |
Полученный результат можно отнести и к тому случаю, когда извлекается подряд 10 деталей без возврата их обратно в партию, но объем партии достаточно велик. При достаточно большой партии, например 1000 шт., вероятность извле чения годной или негодной детали после каждого из 10 извлечений деталей изме нится ничтожно мало. Поэтому при таких условиях извлечение бракованной де тали можно рассматривать как событие, не зависящее от результатов предше ствующих испытаний.
Пример 7. На участке имеется несколько одинаковых станков, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. Какова вероятность того, что в середине смены при нормальном ходе производства из пяти таких станков будет
работать только два, а три не работать? Здесь р = |
0,8; q = 0,2; |
п = 5 и k = 2: |
|
Р (5,2) = |
0,82 • 0,23 = |
0,051. |
|
2. ЗАКОН РЕДКИХ СОБЫТИЙ (ПУАССОНА) |
|
||
Если вероятность р события А очень мала (р |
0,1), а число |
||
испытаний велико, то вероятность того, что событие А наступит к раз в п испытаниях, будет равна
Р(п,к) = ^ - - е - ° , |
(38) |
где а = пр = Mk — математическое ожидание числа k. Уравнение (38) определяет собой распределение редких собы
тий, или распределение Пуассона.
Когда число испытаний п велико, а р мало, то закон бино миального распределения и закон редких событий практически совпадают. Это имеет место тогда, когда р 0,1 и рп < 4. При этих условиях вместо формулы (37) можно применить формулу (38), т. е.
f |
(39) |
Принимая во внимание, что а = пр, формула (39)'примет вид
р(п, к) = е-"р. (40)
Пример 8. В партии деталей имеется 1% брака. Какова вероятность того, что при взятии из партии выборки объемом 50 шт. в ней будет находиться 0, 1,
2, 3, 4 дефектных Детали. Здесь р = |
0,01; п = 50; пр = |
50-0,01 = |
0,5: |
||
Р (50,0) = |
-^5 1 е~ 0-5 = |
0,607; |
Р (50,1) = |
е~0-5 = |
0,303; |
Р (50,2) = |
-9 ^1 е- ° ’5 = |
0,075; |
Р (50,3) = - ^ 1 |
е-«.5 = |
о,012; |
|
|
|
оI |
|
|
Р (50,4) = |
<Г0'5 = 0,001. |
Распределение Пуассона имеет только один параметр а = пр =
— Mk. Для этого распределения дисперсия численно равна мате матическому ожиданию: = Mk. Поэтому, когда в распределе
нии дискретной случайной величины X и о2 мало отличаются друг от друга по своим численным значениям, то можно уверенно счи тать, что данное распределение подчиняется закону редких собы тий.
Закон редких событий имеет практическое применение в маши ностроении для выборочного контроля готовой продукции, когда по техническим условиям в принимаемой партии продукции до пускается некоторый процент брака (обычно небольшой) и поэтому всегда р ^ 0,1, а объем выборки п берут таким, чтобы было пр <
< 4 .
При помощи закона редких событий можно вычислить вероят ность того, что в выборке из п шт. будет содержаться: 0, 1, 2, 3 и т. д. бракованных деталей, т. е. заданное число k раз. Можно также вычислить вероятность появления в такой выборке k штук дефектных деталей и более. Эта вероятность на основании правила сложения вероятностей будет^равна
|
|
|
|
1-1 |
i-i |
|
P (n ,k |
и более) = 1 — ^ |
Р(п, k) = 1 —e~nk |
(41) |
|||
|
|
|
|
k^O |
k^O |
|
где k = |
0, |
1, |
2. |
/. |
некоторого значения |
k окажется |
Если |
эта |
вероятность для |
||||
очень малой (например, меньше 0,05), то на основании принципа практической невозможности маловероятных событии можно счи тать, что появление в выборке из п штук деталей k или более дефектных несовместимо с нашим исходным допущением, что во всей партии имеется не более ЮОр % брака, и, следовательно,
вдействительности во всей партии имеется брак более чем 100 р %,
иона не может быть принята.
Пример 9. Допустимый процент брака во всей партии составляет 1%, т. е. р = 0,01. Объем выборки п = 50. Определить вероятность того, что в выборке окажется 1, 2, 3 и более дефектных деталей.
Определим сначала |
вероятности того, |
что в выборке окажется 0, 1, 2, 3 и |
т. д. дефектных детали. Из предыдущего примера имеем: |
||
Р (50,0) = |
0,607; Р (50,1) = |
0,303; Р (50,2) = 0,075; |
Р (50,3) = 0,012; Р.(50,4) = 0,001.
Отсюда
Р (50,1 или более) = 1—0,607 = 0,393;
Р (50,'2 илтг более)'= 0,393—0,303 = 0,09;
Р (50,3 или более) = 0,090—0,075 = 0,015;
Р (60,4 или более) = 0,015—0,012 = 0,003.
Следовательно, если в зыборке обнаружится 3 или более дефектные детали, то в силу малой вероятности такого явления (Р = 0,015) надо считать, что во всей партии в действительности доля брака более чем 0,01.
Можно заранее вычислить вероятность Р (п, k или более) для различных значений k и пр по формуле (41) и составить табл. 4
их |
значений, |
которой |
и |
следует |
пользоваться |
при контроле. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
Вероятность |
наличия |
в выборке k и более дефектных объектов |
|
||||||||||
Значения |
|
|
Значения пр |
|
Значения |
|
Значения пр |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
k |
0,2 |
|
0,6 |
1,0 |
2,0 |
|
|
k |
0,2 |
0,6 |
1,0 |
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 и более |
0,181 |
|
0,451 |
0,632 |
0,865 |
5 |
и более |
_ |
_ |
0,004 |
0,052 |
||||
2 |
» |
» |
0,017 |
0,122 |
0,264 |
0,594 |
6 |
» |
» |
0,001 |
0,016 |
||||
3 |
» |
» |
0,001 |
|
0,023 |
0,080 |
0,323 |
7 |
» |
» |
_ |
_ |
— |
0,014 |
|
4 |
» |
» |
|
|
0,003 |
0,019 |
0,142 |
8 |
» |
» |
— |
— |
0,001 |
||
|
Например, |
объем |
выборки установлен |
п — 100, |
допустимый |
||||||||||
процент брака в партии 1%, т. е. р = |
0,01. Следовательно, пр = |
||||||||||||||
= |
1. |
Согласно |
табл. 4 |
партия |
должна быть забракована, |
если |
|||||||||
в выборке окажется 3 или более дефектных детали, так как ве роятность этого события очень мала и равна р = 0,08.
3. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Закон нормального распределения находит большое примене ние в различных отраслях техники. Этому закону подчиняются, многие непрерывные случайные величины, встречающиеся в тех нике, например ошибки измерения, высота микронеровностей на обработанной поверхности и многие другие. Широкое примене ние закона нормального распределения в технике находит свое теоретическое обоснование в теореме, которая была доказана вы дающимся русским математиком Ляпуновым. Теорема, доказан ная Ляпуновым, имеет настолько важное значение для теории вероятностей и ее приложений, что получила название централь ной теоремы теории вероятностей. Она объясняет, почему во многих случаях реальные случайные величины с большой точ ностью следуют закону нормального распределения.
Опуская строгую математическую формулировку теоремы Ляпунова и ее доказательства ввиду их сложности, ограничимся лишь описанием следствия из-этой теоремы, которое заключается
в следующем.
Если случайная величина X представляет сумму очень боль шого-числа взаимно независимых случайных величин х 1з х 2,- хп, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то независимо от того, каким законам распределения подчиняются слагаемые * х 2........хп, сама величина X будет иметь распреде ление вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.
Из теоремы Ляпунова можно сделать важный вывод, имеющий большое практическое значение о том, что если изучаемая величина является суммой большого числа независимых случайных слагае мых, то хотя бы последние были нам не известны, часто можно заранее считать, что наша величина имеет нормальное распреде ление.
Теорема Ляпунова дает теоретическое объяснение и тому факту, что при устойчивом процессе обработки деталей нЯ Настроен
|
ных станках и при отсутствии |
|||||||
|
изменяющихся |
во |
времени |
|||||
|
систематических |
погрешно |
||||||
|
стей действительные размеры |
|||||||
|
деталей |
|
часто |
подчиняются |
||||
|
закону |
|
нормального распре |
|||||
|
деления, |
так |
как |
результи |
||||
|
рующая |
погрешность |
обра |
|||||
|
ботки |
представляет |
собой |
|||||
|
сумму |
большого |
числа |
по |
||||
|
грешностей, |
зависящих |
от |
|||||
|
станка, приспособления, |
ин |
||||||
Рис. 11. Теоретическая кривая нормаль |
струмента и заготовки. |
|
|
|||||
ного распределения |
Плотность |
|
вероятности |
|||||
|
или дифференциальная функ |
|||||||
ция распределения случайной величины непрерывного типа, подчиняющейся закону нормального распределения, имеет следу ющее выражение:
|
1 |
|
(х - Х )2 |
|
|
<р(д:) = ^ 7 й Г |
‘г |
' |
(42) |
где |
х — переменная случайная |
величина; |
|
|
|
Ф(х) — плотность вероятности; |
|
|
вели- |
|
а — среднее квадратическое отклонение случайной |
|||
|
_ чины д от X; |
|
|
вели |
|
X — среднее значение (математическое ожидание) |
|||
|
чин х; |
|
|
|
е— основание натуральных логарифмов, е — 2,71828.
л= 3,14.
Дифференциальная функция нормального распределения гра фически выражается в виде кривой холмообразного типа (рис. И). Из вида кривой нормального распределения следует, что она сим
метрична относительно ординаты точки х = X, т. е. равновоз можны одинаковые положительные и отрицательные отклонения
от X. При этом меньшие отклонения более вероятны, чем большие, и весьма большие отклонения от центра группирования малове роятны.
Положение кривой относительно начала координат и ее форма определяются двумя параметрами X и а. С изменением X форма
зо