книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdfВ случае несжимаемой жидкости и предположения посто янства коэффициента вязкости ц уравнение неразрывности и обобщенный закон Ньютона примут вид:
I |
— |
= divV = 0; |
(4.1) |
|
0=1 |
|
|
|
|
|
( д у |
dVa |
|
|
1,0 |
Я |
а х / а х , |
|
|
В силу того, что |
|
|
|
|
у |
^ |
= ц у |
4 , |
|
|
дхп |
|
dxl |
|
|
|
0=1 |
|
|
уравнения движения запишутся следующим образом:
р — |
+ > |
— - |
= -------- + Pn + Р / |
— !г |
||||
V |
к |
J |
|
|
|
к |
ъ |
|
где / = 1,2,3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (4.1); (4.2) - |
уравнения Навье - |
Стокса. |
||||||
В этом случае имеем четыре неизвестных — ]/ь V2, У3, р, |
||||||||
Уравнение энергии в случае несжимаемой жидкости, по |
||||||||
лагая, что U = сТ, |
q = XVT, получим в виде |
|
|
|||||
p - ic T |
= div(XVT) + |
r_ av |
- |
ev |
_ |
e v ) |
||
дх |
у |
ду |
1 |
d z J р |
||||
or |
|
|
||||||
Это уравнение определяет тепловое состояние жидкости. Если скорость движения жидкости мала, то в этом уравнении можно пренебречь членами, характеризующими приток тепла, обусловленный работой сил трения:
Уравнение неразрывности:
|
|
Эх |
Эу |
дг |
о. |
|
|
|
|
|
|||
Уравнения движения: |
|
|
|
|||
|
dt |
|
р дх |
|
|
|
|
с я ^ _ _ 2 а р |
|
|
|
||
|
^ - = - - ^ - + F r + v V \ |
|||||
|
dt |
|
р ду |
|
|
|
|
4 |
= _ ' £ + F ; * » V 4 . |
||||
|
d |
l f |
> 3 ! |
|
|
1 |
Уравнение энергии: |
|
|
|
|
||
|
рср |
dT |
1V72T |
^ |
dP |
|
|
¥ |
= е + Х У Т + ц Ф + - , |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
evx |
dVx |
dt |
dt |
d X |
|
ду |
дг |
|
Оператор Лапласа:
d2 a2 a2
V 2
эх2 + ay2 + az2 ’
Полученная система уравнений описывает распределение мгновенных значений параметров движущейся жидкости. Она справедлива как для ламинарного, так и для актуальных харак теристик турбулентных течений.
Совместное решение системы уравнений в соответствии с начальными и граничными условиями дает искомое темпера турное поле в потоке. После того, как найдено температурное
поле, можно будет вычислить коэффициент теплоотдачи для любой точки поверхности тела по формуле
дТ
а
TI ff-- ILs \ d n J s
где Г, — характерная температура жидкости, Ts— температура поверхности.
4.3. Критерии подобия. Физический смысл критериев подобия
На э к з а м е н е . Профессор: «Как звали Рейнольдса?» Студент: «Критерий!»
Для сравнения течения различного масштаба приведенные уравнения удобно записать в безразмерных переменных. С э- той целью все линейные размеры относим к некоторой длине L,
характерной для рассматриваемой задачи, время — к харак терному времени tv а все компоненты скорости - к характер ной скорости U. Давление, плотность, температуру отнесем к
их значениям Р0, р0, Т0 в определенной точке течения, причем Р0= Р0Я0Го. гАе Яо-эиачение газовой постоянной R при 7= Т0 и Р =Р 0.
Напряжение трения и составляющие вектора теплового по тока отнесем к их значению в некоторой точке в заданном на правлении т0 и д0. Таким образом, получим независимые без размерные переменные:
Безразмерные зависимые переменные:
Vi
где hQ-- значения h при Т = Г0. При const Я = const и ср = const, h = f . В безразмерных переменных уравнения примут
вид
|
Р о д р |
| |
Р о и у |
дрУа _ |
0 |
|
Разделим уравнение на коэффициент при втором слага |
||||||
емом. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
L |
Эр |
, у 1 дрУа _ Q |
|||
|
t,U |
dt |
£ |
дха |
|
|
Обезразмерим уравнения движения: |
|
|
||||
PoU |
З р £ _ |
|
|
f |
дрУ,Уя |
|
f, |
d t |
|
L |
~ t\ |
|
d x Q |
|
dP |
|
— « c~ |
T o |
v |
d x . |
Разделим на коэффициент при втором слагаемом, полупим:
|
L |
др У, |
rH |
|
|
f,U |
а |
0=1 |
|
|
|
|
|
|
Ро |
5Р |
, — nF I |
т0 v ^ f a |
|
Ро |
и2дХ; |
и2 ' |
роu2 h % ° ' |
|
Обезразмерим уравнение энергии, не учитывая источник тепловыделения:
PQHQ SpVj |
t PoUH0 Y |
dpHVa |
t . dt |
L |
d xa |
=ZL |
St |
+Я2.У |
lo iу |
, |
4 -4 У |
Tkoi |
||||
*1 |
L |
£ , |
dxa |
L |
£ |
8xa |
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+p0g u y PFoi/c; |
|
|
||||
L d p H |
f |
d p H V , |
P0L |
cp |
t |
q0 |
у 6 д о |
|||
Ф |
e t |
Я£ |
|
3 f . |
P,f*,u |
at |
p0H0U dxa |
|||
|
|
♦ |
й |
й |
( |
К |
|
|
+ 9 - f i p F X |
|
|
|
|
|
1 |
' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n O |
0=1 |
Обезразмерим уравнение состояния:
PP0= POP W V , Р = р-£-Т, Р,=дЁ}
П0
где g — характерное ускорение.
* Ч ' * ! г р
Для того, чтобы уравнения, записанные в безразмерных переменных, совпадали для двух потоков, следующие безраз мерные коэффициенты должны иметь одинаковые значения в этих потоках:
Величина - L = S/? - безразмерная частота или число Стру-
халя. Если процесс установившийся, то t, велико и — -> 0. tp
ГП9ВЯ А
188 КОНВЕКЦИЯ
Величина — ^ = Еи — число Эйлера. Оно определяет
Ро^ давление, которое может быть в жидкости. Если, например,
силы инерции жидкости малы, т.е. Р о U 2 мало, то из уравне
ний следует, что в этом случае т0 « Р0. В случае, если жид кость идеальна, т0 = 0 , и величина давления, возникающая при движении жидкости, определяется силами инерции жид кости, т.е. P » p 0t/2.
Величина Щ = Гг— число Фруда, характеризует отноше
ние сил тяжести к силам инерции. При рассмотрении движе ния газов, когда конвекция отсутствует, силы тяжести малы по сравнению с силами инерции, поэтому ими можно пренебречь.
Величина PoU2 характеризует отношение сил инерции
к силам трения. В случае вязкой жидкости величина
p ^ = p!!l / 4 = p!!U L =R e _ н
- назывется числом Рейнольдса,
То |
ц 1 / |
ц |
характеризует собой отношение сил инерции к силам вязкого трения.
Величина |
характеризует собой отношение конвек- |
Яо
тивного потока тепла, т.е. потока тепла, переносимого жидко стью, к потоку тепла, обусловленного теплопроводностью.
В случае вязкой теплопроводной жидкости:
Яo |
Т0 |
PQM Q _ PQM QT |
|
= h f и |
Яо |
^ OTQ |
|
|
|
||
, |
т |
роUh0L |
cppQUL |
если положить h0 |
= срТ0 , то |
FU - г - = — --------= Ре |
|
|
|
XQTQ |
A.Q |
Это число называется числом Пекле.
