книги / Применение частотных преобразований в теории цепей

ПРЕДИСЛОВИЕ

Частотные преобразования в теории цепей — это совокупность расчетных методов и приемов, основанных на замене комплексного переменного р и частотной переменной со (в аналитических выражениях входных и передаточных схемных функций) некоторы­ ми функциями этих же переменных: (р) или /0>(ш). Такой прием'позволяет при минимальном объеме вычислительной работы решать разнообразные,, зачастую весьма сложные задачи анализа, аппроксимации и синтеза линейных цепей.

Основы теории частотных преобразований разработаны в начале 30-х годов [30]. Однако ее систематическое изложение, выполнен­ ное на инженерном уровне, до настоящего времени отсутствует, за исключением случаев преобразования схемы фильтра нижних частот, составленной из реактивных элементов, в схему фильтра верхних частот или полосового, составленную из таких же элемен­ тов.

Данная книга призвана в определенной степени заполнить существующий пробел.

В качестве теоретической основы изложения материала в книге приняты известные из [211 закономерности схемного преобразова­ ния, называемые в дальнейшем теоремами отображения. Эти теоремы сформулированы применительно к случаю частотного преобразования схемных функций и схем из элементов трех видов (сопротивления /?, индуктивности Ь и емкости С). Они не только включают в себя в качестве следствия все ранее известные (и разработанные независимо друг от друга) приемы частотного пре­ образования схемных функций и схем из элементов только двух видов (/.С, К.С или /?/,), но и позволяют решать новые возникаю­ щие задачи или, что не менее важно, выносить обоснованное за­ ключение о принципиальной невозможности их решения в рамках теории линейных цепей с сосредоточенными параметрами.

Читателю, который желает ознакомиться с сущностью метода, чтобы в 'дальнейшем сознательно и творчески применять его на практике, рекомендуется полностью прочитать гл. 1 и 3.

Преобразования, рассмотренные в гл. 2 и 4, служат примера­ ми применения общих методов и вместе с тем имеют самостоятель­ ное значение, поскольку решают конкретные задачи расчета цепей. Каждый параграф этих глав содержит законченное изложение вопроса й может быть прочитан независимо от остальных. То же относится и к гл. 5, в которой рассмотрено применение частотных преобразований при решении некоторых задач аппроксимации схемных функций.

Параграфы 4.2 и 5.4 написаны*совместно с А. В. Чебаковой, §5.3 — совместно с И. И. Смагиным.

Автор глубоко признателен рецензенту доктору техн. наук Л. В. Данилову и. редактору канд. техн. наук Ю. Г. Мамиконову за ценные замечания и советы, которые способствовали улучшению содержания книги.

Замечания по книге следует направлять по адресу: 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10, Энергоатомиздат.

Автор

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ПРОСТЕЙШИЕ ЧАСТОТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1.1.ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ И МАСШТАБА ЧАСТОТЫ

Эквивалентные схемы цепей и их элементы. Как известно, электрической цепью 'называется совокупность устройств, образую­ щих путь электрического тока, электромагнитные процессы в кото­ рых можно описать исключительно с помощью понятий об ЭДС, напряжении и токе.

При исследованиях и расчетах процессов в электрических цепях приходится учитывать три вида явлений: преобразование электрической анергии в тепловую, а также ее накопление в виде электрического и магнитного полей. При этом преобразование электрической энергии в тепловую объясняют наличием у каждого участка электрической цепи определенного электрического сопро­

заменять анализом специально составленной модели этой цепи, которую обычно называют эквивалентной расчетной схемой элек­ трической цепи.

При составлении эквивалентной расчетной схемы участка цепи (и всей цепи в целом) каждый из трех упомянутых электрических параметров участка (сопротивление, индуктивность и емкость) пред­ ставляют соответствующим двухполюсным элементом: сопротивле­ ния /?, индуктивности I и емкости С.

Математическим определением каждого из этих элементов явля­ ется формула, выражающая связь между током < (мгновенное значение), проходящим через выводы элемента, и напряжением и между этими выводами:

для элемента сопротивления К

иЙ=

для элемента индуктивности I*

для элемента емкости С

с о

На эквивалентных расчетных схемах элементы сопротивления, индуктивности и емкости изображают такими же графическими символами, как и резисторы, катушки индуктивности и конденса­ торы на принципиальных схемах электрических цепей. Это обстоя­ тельство может привести к недоразумениям, если не отдавать себе ясного отчета, о какой именно схеме — принципиальной или эквивалентной расчетной — идет речь в каждом отдельном случае.

Наряду с пассивными двухполюсными элементами трех видов эквивалентные расчетные схемы могут содержать активные двух­ полюсные элементы двух видов: источники напряжения и источники тока.

Напомним, что систему уравнений Кирхгофа принято состав­ лять именно для эквивалентной расчетной схемы, даже если обэтом не упоминается в явной форме.

Содержание этой книги связано исключительно с анализом, синтезом и схемными преобразованиями эквивалентных расчетных схем. Соответственно будем оперировать сопротивлениями, индук­ тивностями и емкостями не как электрическими параметрами участков реальных цепей, а как элементами эквивалентных‘расчет­ ных схем. Однако для краткости термин «элемент» будем опускать, называя элемент сопротивления просто сопротивлением, элемент индуктивности — индуктивностью, а элемент емкости — емкостью.

Рис. 1.1. "К изменению уровня сопротивления схемы

Изменение уровня сопротивления. Рассмотрим схему четырех­ полюсника из сопротивлений К\ и Кг (рис. 1.1,а). Очевидно, в режиме холостого хода ее комплексное входное сопротивление и комплексная передаточная функция по напряжению определяются формулами

А в х = Я| + Лг; 'Ттт= К2/ (/?1 + Яг).

Предположим, что каждое сопротивление увеличено в п2 раз,

лексное входное сопротивление и передаточная функция остаются неизменными.

Схемное преобразование, в результате которого частотные ха­ рактеристики полученной схемы отличаются от частотных харак­ теристик исходной только масштабом шкалы частот (переменная

а) заменяется переменной о)' = /2шш), будем называть изменением масштаба частоты.

Для изменения (увеличения) частотной переменной в пм раз (при одновременном сохранении схемных функций) необходимо

модуля передаточной функции по напряжению последовательного коле­ бательного контура из элементов /., /? и С (рис. 1.2,а) для случая, когда выходное напряжение снимается с* емкости.

Требуется увеличить резонансную частоту этого контура в /2Ш= Ю раз таким образом, чтобы передаточная функция новой схемы при ее резонан­ сной частоте ыц осталась равной передаточной функции исходной схемы при ее резонансной частоте шо, а график частотной зависимости .Т'ц(ш') можно было бы получить из графика Тц(ы) путем простого изменения масштаба частоты, т. е. путем умножения значений частот ш первоначаль? ного графика'на множитель пь)\

Р е ш е н и е . Специфика задачи заключается в следующем. Для увели­ чения резонансной частоты в лш= Ю раз необходимо уменьшить произве­ дение Ю в Лщ=Ю0 раз, что можно сделать бесчисленным множеством способов. Но толькд один из них позволяет сохранить неизменной форму

мости модуля передаточной функции по напряжению Т&(со) фильтра нижних частот (ФНЧ). Граничной частотой полосы пропускания является частота, при которой модуль передаточной функции составляет 0,707 своего максимального значения: согр = ч>2 = I рад/с.

Параметры элементов схемы фильтра пересчитаны (изменен масштаб частоты) таким образом, что граничная частота полосы пропускания стала равной /$= 3400 Гц.

Требуется определить модуль передаточной функции полученной схемы при частоте /з—6800 Гц.

Решение. По условию новая' схема получена из первоначальной в результате изменения масштаба частоты. Следовательно, график зависи­ мости 7*{/(<о') новой схемы отличается от соответствующего графика перво­ начальной только масштабом частоты. Новую шкалу можно построить сразу

и т. д. Пользуясь новой шкалой частот, находим, что модуль передаточной функции фильтра при частоте /$= 6800 Гц равен 0,243.

Заметим, что эту простую задачу можно было решить, не прибегая к построению новой шкалы частот в явной форме.

Частота /з превышает граничную частоту новой схемы /2 в 2 раза: /з//з = 2. Значит, при этой частоте передаточная функция новой схемы имеет такое же значение, какое имеет передаточная функция первоначаль­ ной схемы при угловой частоте со, которая превышает граничную частоту первоначальной схемы также в 2 раза, т. е. при <о=со3= 2м2= 2 - 1=2 рад/с.

Одновременное выполнение обоих преобразований. Полученные выше правила частотных преобразований схемы одиночного коле­ бательного контура остаются в силе Для цепей и схем любой слож­ ности и существенно облегчают решение самых разнообразных задач анализа и синтеза линейных цепей.

При проектировании четырехполюсников с заданными частот­ ными характеристиками часто возникает задача пересчета схемы с заданным нагрузочным сопротивлением /?н и некоторой характерной частотой (о, (например, граничная частота полосы пропускания ФНЧ) на новое сопротивление нагрузки У?' и на новое значение той же характерной частоты, равное со'. Очевидно, задача сводится к поочередному выполнению двух уже известных преобразований (из­ менение уровня сопротивления и изменение масштаба частоты).

В целях уменьшения объема вычислительной работы оба пре­ образования можно выполнить одновременно, руководствуясь сле­ дующим алгоритмом:

4. По заданным значениям первоначального и требуемого соп­ ротивлений Ни и У?/„ а также первоначальной со,- и требуемой со/ частот определяют преобразующий множитель комплексного соп­ ротивления