книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

рений на поверхности осадочного слоя по тем данным, которые измерены на скальном основании. Расчетная схема для осадочного слоя треугольного поперечного се­ чения показана на рис. 66. Осадочный слой разбивается на треугольные элементы и для узловых точек этих эле­ ментов составляются уравнения равновесия всех сил, приложенных в узле. За искомые неизвестные, принима­ ются линейные перемещения каждого узла. Расчет вы­ полняется по схеме метода деформаций. В матричной форме система уравнений для определения смещений уз­ лов имеет вид

внешних сил, т. с. сейсмограммы, полученные на скальном основании.

После решения на ЭЦВМ системы уравнений (7.9) будут найдены смещения каждого узла сетки и по ним вычислены напряжения, скорости и ускорения. В качест­ ве примера сделан такой расчет для осадочного слоя тре­ угольного профиля. Результаты подсчета показаны на рис. 66.

Для разных точек {1—3) поверхности получены раз­ ные коэффициенты перегрузки по ускорениям; это гово­ рит о том, что геометрические и физические характери­ стики осадочного слоя, т. е. его толщина, плотность, мо­ дуль деформации и наклон поверхности .скального ос­ нования, оказывают существенное влияние на величину сейсмического воздействия на поверхности земли. В ре­ зультате комплексного расчета на ЭВМ получают па­ раметры интенсивности землетрясения на поверхности по данным о предполагаемом очаге землетрясения, с учетом фактических характеристик среды, передающей сейсмическую энергию на поверхность скального осно­ вания и с оценкой влияния осадочного слоя. Такой под­ ход позволяет объективно и более точно оценить интен­ сивность землетрясения в данном районе.

7.4. Определение интенсивности источника

Согласно действующему в настоящее время стандар­ ту (ГОСТ 6249—52) балльность землетрясения характе­ ризуется его силой, которая устанавливается для каждо-

го балла в зависимости от величины смещения стандарт­ ного маятника или по величине остаточных деформации зданий. Такое определение недостаточно полно характе­ ризует сейсмическое воздействие и поэтому целесообраз­ но ввести другие параметры, которые лучше отражают физическую природу этого воздействия. Было много предложений для улучшения шкалы балльности; наибо­ лее удачна шкала Медведева — Шпорхейра — Карник, так называемая MSK-64. В этой шкале, кроме смещений, нормированы также скорости и ускорения. Исходя из схемы рассуждений, изложенных ранее, оценку интенсив­ ности землетрясения целесообразно сделать вычислени­ ем интегральной характеристики той энергии, которая поглощается в процессе землетрясения [11] и [14].

где £(ш , п) — энергия простого линейного осциллятора, имеющего частоту и и коэффициент затухания п.

Интенсивность J в данной точке 0 представляет со­ бой тензор, который можно представить в виде:

Величины, входящие в формулу (7.11), выражаются через ускорения ах, ау и аг по соответствующим напра­ влениям осей х, у иг:

ии

(7.12)

ё О

Остальные величины получаются круговой подстанов­ кой. Интенсивность /** при п = 0 может быть выраже­ на также и через спектры Sx-смещений, псевдоскоро­ стей и ускорений по формуле

Jxx < - j - J (со, 0) da= -±- j s i (0), 0) da =

оо

Скалярная величина интенсивности представляет собой сумму диагональных членов тензора (7.11). Однако для инженерных подсчетов можно ограничиться интен­ сивностью, которая соответствует плоскости, проведен­ ной через точку О,

По данным [И] величина Д довольно точно может быть подсчитана по спектрам ускорений по эмпирической фор­ муле, построенной для 26 землетрясений:

*О

где Sax и say— спектры ускорений для направления х и у.

Интенсивность Д связывается со шкалой балльности также эмпирической формулой, например в работе [13] предложена формула

где ММI — число баллов по модифицированной шкале Меркалн.

Интенсивность Д, м/с, подставляется из формулы (7.15). Таким образом, по вычисленной интенсивности Д с по­ мощью инструментальных акселерограмм можно по эм­ пирической формуле (7.16) получить балльность в каж­ дой точке поверхности земли. Однако эмпирические фор­ мулы можно уточнить, если сравнить поток энергии землетрясения с той энергией, которая аккумулируется в сооружении в процессе его деформирования. Если со­ оружение рассматривать, как систему со многими степе­ нями свободы, то Ес — энергия, накопленная сооружени­ ем, может быть подсчитана по известной формуле

В пределах упругой стадии работы сооружения энер­ гия возрастает довольно быстро, но по мере перехода за

предел упругости отдельных элементов сооружения про­ исходит более плавное увеличение поглощаемой энергии. Наконец, перед возникновением в сооружении существен­ ных разрушений энергия достигает наибольшего значе­ ния и затем начинает уменьшаться.

Например, для сооружения с жестким фундаментом накопление потенциальной энергии можно представить

в виде функции от вертикального у и от горизонтального х смещений фундамента, как это показано на’ рис. 67. Полученная пространственная поверхность показывает величину энергии, которую способно аккумулировать со­ оружение в процессе землетрясения. Если рассечь эту поверхность плоскостями, параллельными координатной плоскости х—у, то в сечениях будут получены значения х ( и yt , при которых энергия сооружения достигает того уровня, который соответствует данной плоскости. Уров­ ни энергии можно определить в зависимости от ожидае­ мых разрушений. Так, на рис. 67 плоскость Е\ соответст­ вует появлению в сооружении незначительных повреж­ дений Е2— стадии во*зникновения разрушений в отдель­ ных элементах сооружения. Кривые F\ и ^полученные при пересечении энергетической поверхности Е(х, у) с плоскостями уровней энергии £i=const, и Е2— const, да­ ют значения вертикального и горизонтального смещений фундамента, при которых достигается данный тип по­ вреждений сооружения. Сопоставлением величины энер-

гии Т, передаваемой сооружению при землетрясении и вычисляемой по формуле (7.10), с той энергией (£i или £ 2), которую способно аккумулировать сооружение по графику рис. 67, можно определить степень ожидаемых повреждений. Например, если Т = Е и то в сооружении будут возникать только незначительные повреждения, если же Т ^Е ч, то в сооружении будут возникать значи­ тельные разрушения. Таким образом корреляционные функции, построенные по натурным сейсмограммам, до­ статочно полно отражают фактическое влияние скально­ го основания и осадочного слоя на величину потока энер­ гии, передаваемой фундаменту при землетрясении, и та­ ким путем получен более правильный энергетический критерий оценки сейсмостойкости зданий и сооружений.

Таким образом, интенсивность землетрясения, кото­ рая в настоящее время оценивается шкалой балльности, может быть уточнена вычислениями на основе фактичес­ ких инструментальных и экспериментальных данных. Этот метод позволяет произвести все расчеты на ЭВМ с применением теории случайных функций и получить чис­ ленное выражение для интенсивности землетрясения. Интересно будет сравнить интенсивность, вычисленную по формулам (7.10) и (7.14), с установленной для изве­ стных землетрясений балльностью и получить дополни­ тельную проверку зависимости, связывающей интенсив­ ность с балльностью.

7.5. Оптимизация сейсмостойких сооружений

Задача оптимизации сейсмостойких конструкций и со­ оружений существенно отличается от обычных. Это объ­ ясняется специфическими особенностями внешних воз­ действий, интенсивность которых даже в простейшем слу­ чае определяется не однозначно. Для данной строитель­ ной площадки определяется наибольшая возможная ин­ тенсивность землетрясений и наиболее вероятная интен­ сивность.

Обе эти интенсивности, к сожалению, не могут опре­ деляться независимо от конструктивных особенностей и свойств сооружения, а также и от тех возможных повреж­ дений, которые возникают в сооружении во время земле­ трясения. В отдельных случаях необходимо сделать рас­ четы конструкций с учетом значительно большего числа

уровней интенсивности. В основу методики оптимизации таких конструкций положен принцип сбалансированного риска. Чтобы отыскать оптимальное решение, принимает­ ся статистически обоснованный неизбежный риск, кото­ рому подвергается данная конструкция. Чтобы оценить степень риска, необходимо определить срок службы дан­ ного сооружения, так как чем больше срок службы, тем больше вероятность того, что за этот период может про­ изойти сильное землетрясение в достаточной близости, что может вызвать разрушение отдельных конструкций. Кроме срока службы сооружения необходимо также ус­ тановить категорию сейсмостойкости объекта в зависи­ мости от значимости этого сооружения и расходов на восстановление тех повреждений, которые могут прои­ зойти в его элементах. Необходимо, чтобы здания более высокой категории и с более длинным сроком службы имели большую сейсмостойкость, тогда риск был бы оди­ наковым для всех зданий района. Таким образом, при одинаковой сейсмичности района строительства расчет­ ная сейсмостойкость зданий должна быть установлена с учетом указанных выше показателей, а также с учетом оценки степени опасности, которая возникает при разру­ шении конструкций во время землетрясения. Экономиче­ ские принципы оптимизации учитываются сравнением расходов на дополнительные конструктивные антисей­ смические мероприятия с расходами на восстановление конструкций после землетрясения. Критерием экономи­ ческой оптимальности решения является наибольшая ожидаемая выгода.

В связи с тем что задача эта является нелинейной, решают ее методом последовательных приближений. В расчете учитываются усилия, возникающие в элемен­ тах при землетрясении, и влияние эксплуатационных на­ грузок, поэтому объем вычислений существенно зависит от удачного выбора первого приближения. Чтобы полу­ чить последующие приближения, вычисляют оптималь­ ное приращение вектора тех величин, которые характе­ ризуют процесс при использовании решения линейной за­ дачи. Сходимость процесса итерации проверяется оценкой относительной погрешности двух смежных приб­ лижений.

В качестве критерия оптимизации принимаем наи­ большую ожидаемую выгоду, поэтому целевая функция определяется по формуле

v f e j — j r - K s r ,

*s

на мероприятия по усилению сейсмостойкости конструк­ ции, т. е. увеличение п и А, снижает расчетную интенсив­ ность.

При решении задачи оптимизации длй реального со­ оружения приходится считаться с тем, что кроме основ­ ных несущих конструкций при землетрясении могут быть повреждены также элементы оборудования, вмонтиро­ ванного в это сооружение. Кроме того, в каждом соору­ жении имеются второстепенные элементы, повреждение которых при землетрясении не является опасным и они могут быть быстро восстановлены. Для таких элементов расчетная интенсивность может быть ниже той, которая установлена для основных несущих конструкций. Таким образом, первоначальная стоимость каждой такой кон­ струкции или субсистемы будет выражаться формулой

(7.26), в которую входят соответствующие каждой суб­ системе параметры и формула (7.22) будет состоять из нескольких похожих выражений, включающих разные параметры:

Теперь формула (7.22) принимает вид

Е [U] = В — SC- — S Di [viyi) ~ v(yk)] . (7.27) V

Дифференцируя уравнение (7.27) по каждому yt и приравнивая производные нулю, получим систему урав­ нений для определения расчетных интенсивностей для каждой субсистемы. Так, для сооружения, состоящего из двух систем, т. е. из основной несущей конструкции, которая должна сохраниться, и из второстепенной субси­ стемы в виде оборудования, уравнение (7.27) будет за­ писано так:

Для определения t)\ и У2 получим два уравнения, разрешая которые найдем

7.6. Пример оптимального решения для рамы

Второй этап решения задачи оптимизации сводится к определению конструкции минимального веса, соот­ ветствующей установленной по формулам (7.25) и (7.28) расчетной интенсивности землетрясения с учетом ис­ ходных данных, рассмотренных в пунктах 7.4 и 7.5. В большинстве случаев эффект землетрясения можно представить упрощенно в виде [ 11] горизонтальных сил,