книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной математики
В.П. Первадчук, Е.М. Кадырова, В.Ю. Соколов
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Утверждено Редакционно-издательским советом в качестве учебного пособия
Учебное пособие
Пермь 2001
УДК 517.958(076.2)
Первадчук В.П., Кадырова Е.М., Соколов В.Ю. Уравнения матема тической физики: методы решения задач: Учебное пособие. - Перм. гос. техн. ун-т; Пермь, 2001. - 144 с.
ISBN 5-88151-304-5
Пособие соответствует программе курса «Уравнения математической физики». Оно содержит краткую классификацию уравнений и задач математической физики, а также представляет особенности решения этих задач методом Фурье на основе этой классификации. Предназначено для преподавателей, аспирантов и студентов техниче ских вузов специальностей «Математика», «Прикладная математика», «Механика».
Библиогр.: 4 назв.
Рецензенты: кафедра математического анализа Пермского госу дарственного университета;
зав. кафедрой высшей математики ПГТУ, д-р физ.- мат. наук, проф. А.Р. Абдуллаев.
ISBN 5-88151-304-5
©Пермский государственный технический университет, 2001
©Первадчук В.П., Кадырова Е.М., Соколов В.Ю., 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО |
|
ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ |
5 |
1.1. Классификация уравнений в точке |
6 |
1.2. Классификация квазилинейных уравнений второго |
|
порядка с двумя независимыми переменными |
13 |
1.3. Приведение уравнений к каноническому виду |
16 |
1.4. Упрощение уравнения в каноническом виде |
23 |
Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ |
|
ХАРАКТЕРИСТИК. ЗАДАЧА ГУРСА |
26 |
2.1. Нахождение общего решения |
26 |
2.2. Решение задачи Коши |
27 |
2.3. Решение задачи Гурса |
33 |
Глава 3. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЙ |
|
СМЫСЛ |
38 |
3.1. Распространение волн в бесконечной струне. |
|
Задача Коши. |
38 |
3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений |
48 |
Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ |
|
ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ |
53 |
4.1. Принцип суперпозиции |
53 |
4.2. Метод Дюамеля |
63 |
4.3. Решение задачи Коши в волновой форме в виде |
|
суммы ряда |
69 |
Глава 5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ |
|
ФИЗИКИ |
81 |
Глава 6. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ |
85 |
6.1. Свойства собственных функций и собственных |
|
значений |
86 |
6.2. Разложение функции в ряд Фурье по системе |
|
собственных функций задачи Штурма - Лиувилля |
91 |
Глава 7 МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ |
|
ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И |
|
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА |
96 |
7.1. Однородная задача для уравнения гиперболического |
|
з
типа |
96 |
7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. |
|
Неоднородные задачи |
104 |
7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа |
117 |
7.4. Метод Фурье для уравнение параболического типа |
|
(неоднородные задачи) |
119 |
7.5. Понятие функций Бесселя |
122 |
7.6. Метод Фурье для многомерных задач |
129 |
Глава 8. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА |
136 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
143 |
Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
|
Обозначим через D область «-мерного евклидова пространства Еп |
||||
точек |
JC= ( д г | ) с |
декартовыми ортогональными |
координатами |
||
хь ...,хп, п ^ 2 . |
|
|
|
|
|
|
Пусть F(x,...,pi |
h |
- заданная действительная функция точек |
||
хе D |
и действительных |
переменных Piwj n с неотрицательными |
|||
целочисленными индексами |
П |
___ |
|
||
ц,..лп, £ ij = к, |
к = 0,т,т>\, по крайней |
||||
|
|
|
М |
|
|
мере, одна из частных производных которой |
3F |
|
|||
* 0, |
>1 |
||||
|
Уравнение вида |
|
|
dPib-in |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
( x |
■9 U , ,..•) = О, |
xeD . |
(1) |
|
|
|
cbcj1...дх1” |
|
|
называется дифференциальным уравнением с частными производными порядка т относительно неизвестной функции и - и(х), а левая часть этого равенства F, представляющая собой совокупность операций над функцией и, - дифференциальным оператором с частными производными порядка т.
Каждая определенная в области D задания уравнения действительная функция и(х), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество, называется регулярным решением уравнения (1).
|
Уравнение (1) называется линейным, если F линейно зависит от |
|
|
д^и |
0<к<т. |
всех частных производных —:----- —, |
||
|
дх1...дх1" |
|
|
Линейное уравнение можно записать в виде Lu = / (х), х е D , где |
|
L |
дифференциальный оператор первой степени относительно всех |
|
частных производных. Линейное уравнение будет однородным или неоднородным в зависимости от / (х) = 0 или / (х) * 0 .
Уравнение (1) называется квазилинейным, если F линейно зависит
лишь от |
дх‘п |
1 (Г т . |
|
|
|
|
|
ах{‘ ..илп |
я |
|
|
|
|
|
|
|
1.1. Классификация уравнений в точке |
|
|
||||
Рассмотрим квазилинейное (линейное относительно всех старших |
|||||||
производных) |
дифференциальное |
уравнение |
второго |
порядка |
|||
относительно функции и(х) = и(х},х2,...,хп) |
|
|
|
||||
|
|
|
д2и |
ди |
ди |
|
|
У &у (*1»Х2>• • • » ) |
dxjdxj + Ф |
Х|,..., Xfl, дх. |
дху |
= 0 , |
(1.1.1) |
||
‘J=] |
|
ау(х) |
|
Ч |
“лп У |
|
|
где коэффициенты |
непрерывно дифференцируемые |
функции |
|||||
независимых переменных х = (х],х2,...,хп) в некоторой области G. Ф
заданная функция своих аргументов. Уравнение (1.1) на самом деле
содержит при i ф j |
не отдельные слагаемые ау |
д2и |
и а |
д2и |
, а их |
|
lJ |
dxjdxj |
|
Jl dxjdxj |
|
сумму (ау +aji) |
д и—. Выражение ау + ajk |
можно |
разбить |
на два |
|
Ji' dxjdxj
слагаемых каким угодно способом, и будем считать, что ау(х)= а^(х).
В основе общей теории лежит разделение уравнений на типы. Для уравнений, принадлежащих к различным типам, совершенно иначе ставятся основные задачи, употребляются различные приемы решения задач; и функции, удовлетворяющие уравнениям различных типов,
обладают различными аналитическими свойствами. |
|
|
Зафиксируем точку х° е G |
и рассмотрим уравнение (1.1.1) как |
|
уравнение с постоянными коэффициентами ау = а(у (х°): |
|
|
0 |
д и + ... = 0 , |
(1.1.2) |
1 «.'J |
дх :дх, |
|
Ненаписанные члены уравнения не содержат производных второго порядка. Сделаем замену переменных при помощи линейного преобразования:
Ук = с к\х \ + с к2х 2 + • • • + с кпх п |
(к = 1,2 |
(1.1.3) |
Предполагаем, что преобразование |
(1.1.3) неособенное, т.е., что |
|
определитель |сЛ(| не равен нулю. Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным по следующим формулам (и{у\,у2,...уп) = и(хх,Х2,...,хп))\
|
|
|
ди |
|
ди |
дук |
|
|
ди |
|
|
|
|
|
|
|
|
tei |
~ 2~i а ,, |
^ |
~ 2-jcki |
$Ук |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ы \дУк dXi |
к=1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
д2и |
_ |
д2и |
|
ду, |
_ |
^ |
|
|
д2и |
|
|
|
|
|
дх,-9 *j |
к М |
& к f y i |
Ckl |
d x j |
|
k j l IСк' C>J |
|
дУкдУ/ |
|
|
||
Подставляем в уравнение (1.1.2), получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
п |
0 О U |
|
п |
|
п |
|
|
д2и |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
О |
|
|
|
|
...= |
|
|
||||
|
а и ^ Г Т 7 |
+ - - = L |
a v |
L |
c kiCtj |
|
+ |
|
|
|||||
|
дукду, |
|
|
|
|
|||||||||
|
i,j=\ |
д х & 1 |
|
i,j=\ |
к м |
|
|
|
|
(1.1.4) |
||||
|
п |
( п |
|
д2и |
|
|
п |
|
|
|
|
|||
|
|
, |
|
л () |
и |
|
|
|
||||||
|
= Z |
T al ckicij |
|
|
|
V |
+... - О, |
|
||||||
|
|
+ ... = |
|
a kl |
|
|
|
|||||||
|
kj=\\i,j=\ |
|
дукду, |
|
kj=1 |
дукду. |
|
|
||||||
где |
новые |
коэффициенты |
Щ выражаются через старые |
согласно |
||||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2$ = Z |
a fjc kic ij |
|
|
|
(1-1-5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
<J=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим соответствующую уравнению (1.1.2) квадратичную |
|||||||||||||
форму от вспомогательных переменных t s |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0-16) |
|
|
|
|
|
|
|
'.7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в квадратичной форме (1.1.6) перейти к новым переменным |
|||||||||||||
rs |
при помощи матрицы, транспонированной к матрице |
\\ckj\\ |
в (1.1.3), |
|||||||||||
выражая старые переменные ts через новые гЛ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
t, =сит] +с2,т2 +... + сп,тп |
(/ = 1,2,...,и), |
(1.1.7) |
||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'>7=1 |
= Z 4 |
Z |
cfor/ tZ c/yr/ |
/,y=l |
U=1 |
/=1 |
|
n ( |
n |
|
|
= Z |
Z 4 jCkiClj |
TkTl = Z 5* / ^ , |
|
Л,/=1\/,у=1 |
у |
A./=l |
|
т.е. преобразованная квадратичная форма (1.1.6) будет иметь как раз коэффициенты 5$, определяемые формулой (1.1.5).
Итак, чтобы упростить уравнение (1.1.1) в точке х° с помощью замены переменных (1.1.3), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (1.1.6) с помощью неособенного линейного преобразования (1.1.7). Но в курсе линейной алгебры доказывается, что всегда существует неособенное преобразование (1.1.7), при котором квадратичная форма (1.1.6) принимает следующий канонический вид:
5 > /2 - |
2 >,2, т<п |
(1.1.8) |
/=1 |
/=/-+) |
|
Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые |
||
числа г и я ? не зависят |
от преобразования (1.1.7). |
Это позволяет |
классифицировать дифференциальные уравнения (1.1.1) в зависимости от значений, принимаемых коэффициентами ау в точке х°
Если в квадратичной форме (1.1.8) |
т = п и все слагаемые одного |
|
знака (т.е. либо г = т, либо г = 0 ), то |
уравнение (1.1.1) |
называется |
уравнением эллиптического типа\ если |
т = п, но имеются |
слагаемые |
разных знаков (т.е. |
1 < г </7- 1), то уравнение (1.1.1) —гиперболического |
|
типа (при г = 1 |
или г = п —1 |
нормально-гиперболического типа); |
наконец, если т < п, то уравнение (1.1.1) - параболического типа (при
т —п —\ и г -1 или г = п -1 - нормально-параболического типа).
При произвольной неособенной замене независимых переменных
у = у(х) в уравнении (1.1.1), т.е. при |
|
Ук=Ук(*\'Х2,...,х„) (к =1,2....,я), |
(1.1.9) |
D _ д{У\’Уг,--;Уп) Q |
|
Ук
д(х],х2,...,хп)
формулы (1.1.5) примут вид
|
|
|
|
|
2И(у )= 2 > * |
dxt dxj |
|
(1.1.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При |
этом, |
так |
как |
D * 0, |
то в |
некоторой |
окрестности можно |
|||
выразить переменные х через переменные |
у, |
х = х(у). |
Обозначим |
||||||||
ы(х(д/)) = «(у). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для того чтобы одним и тем же преобразованием (1.1.9) можно |
||||||||||
было привести уравнение (1.1.1) к каноническому виду |
|
||||||||||
|
|
|
|
г |
д2~ |
т |
и U |
|
|
|
|
|
|
|
|
z/=1 |
|
v-' |
|
|
|
||
|
|
|
|
dyf |
i=r+1 dyf |
+ . . . = |
о , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
необходимо, чтобы число условий в соответствии с (1.1.10) |
|
||||||||||
|
|
|
ак/= 0, / * к, |
1,к = 1,2,...,и; |
|
(1.1.11) |
|||||
|
|
|
a,i =£iau , |
I = 2,3,...,л; |
£ ,,*0, |
||||||
|
|
|
|
||||||||
где |
£•/ = 0, ± 1, |
не |
превосходило |
числа |
неизвестных |
функций |
|||||
у к, |
к - 1,2,...,л: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я(и - 1) + н -1 < я, |
т.е. п <2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
противном |
случае |
|
система |
уравнений (1.1.11) - |
|||||
переопределенная и потому, вообще говоря, не разрешима. Если коэффициенты уравнения (1.1.1) постоянны, то, приводя (1.1.1) к канонической форме в одной точке, мы получим уравнение, приведенное к канонической форме во всей области G определения уравнения.
Задача 1.1. Привести к каноническому виду уравнение
и ^ + 2иху - 2иХ2 + 2Uyy + 2uzz = 0 .
Решение. Составим соответствующую уравнению квадратичную форму (характеристическую форму) от вспомогательных переменных xs :
|
|
|
з |
|
/ |
= х 2 + 2xlx 2- 2xixi + 2*2 + 2*3 = ^О уХ ^у |
|
||
|
|
|
<J=i |
|
Причем, |
так |
как |
ау = ajt, |
то |
<*\\ =* 1, «12 = 1, ^i3 = -1, а22 = 2, «зз = 2. Поскольку, например, |
яп * 0, |
|||
то, как легко |
проверить, |
выражение |
а ^(а п х^ + ai2x2 + |
+а\„хп)2 |
содержит такие же члены с переменной * |, как и форма / = 'y'j aiixjxj , а ',7=1
поэтому разность
п\ 2
/- « и X «i к*к Ук=1
будет квадратичной формой, содержащей лишь переменные х2,...,хп, но не X]. Отсюда
п"\2
/ = «11 2 > 1**А + £ U =1
Если ввести новые переменные
У\ = «11*1 "*■«12*2 + •■• + «!пхп,У1= *,при / = 2,3, то получим
/ = «nVi2 + S >
где g будет теперь квадратичной формой от переменных У2>Уз>--->Уп >т-е- будет зависеть от меньшего, чем п, числа переменных. Повторяя указанную процедуру нужное число раз, мы приведем квадратичную форму/ к каноническому виду.
В нашем примере а\ |
( з |
"N2 |
|
|
S |
а\кхк - (*i +х2 ~ хз) |
и |
||
|
||||
g ~~ х\ 2х,х2 2Х|Х3 + 2х2 + 2х3 —(xj + х2 - х3) |
— |
|||
= *2 + *3 + 2х2х3. Заменим переменные по формулам
У] =Х]+Х2 - х 2, У2 = х2’
Уз= хз
с матрицей
ю