книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Р.Н. Рудаков, Ю. И. Няшин,
0.Р. Ильялов, Р. М. Подгаец
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
БИОМЕХАНИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2010
УДК531/534:[57+61]
Т34
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. Е. В. Славное (Институт механики сплошных сред УрО РАН);
д-р. техн. наук, проф. А. И. Цаплин (Пермский государственный технический университет)
Т34 Теоретическая механика и её приложения к решению за дач биомеханики: учеб, пособие / Р. Н. Рудаков, Ю. И. Няшин, О. Р. Ильялов, Р. М. Подгаец.— Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010.— 141 с.
ISBN 978-5-398-00368-0
Изложены основы теоретической механики, приведены примеры её при менения для решения задач биомеханики. Детально, с доказательствами рас сматриваются общие теоремы динамики об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии механических систем. Для ка ждой теоремы приведены примеры её применения при описании движения че ловека, в основном спортсмена, и спортивных снарядов. Учитываются биоме ханические особенности человека и реальные условия его движения.
Предназначено для студентов, изучающих общий курс теоретической механики и биомеханику спорта.
УДК531/534:[57+61]
Разработано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государст венного технического университета «Создание инновацион ной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»
ISBN 978-5-398-00368-0 |
© ГОУ ВПО «Пермский |
|
государственный |
|
технический университет», 2010 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие.................................................................................................. |
8 |
Глава 1. Законы динамики точки................................................................ |
9 |
1.1. Введение.................................................................................. |
9 |
1.2. Предмет теоретической механики....................................... |
10 |
1.3. Основные законы динамики точки...................................... |
11 |
1.3.1. Закон инерции............................................................... |
11 |
1.3.2. Основной закон динамики.......................................... |
11 |
1.3.3. Закон равенства действия и противодействия.......... |
12 |
1.3.4. Закон независимости действия сил........................... |
13 |
1.4. Контрольные вопросы............................................................ |
13 |
Глава 2. Основной закон динамики точки................................................ |
14 |
2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной |
|
точки........................................................................................ |
14 |
2.2. Две задачи динамики.............................................................. |
15 |
2.2.1. Первая задача динамики............................................. |
15 |
2.2.1.1. Пример. Определение реакции опоры при |
|
ходьбе человека.............................................. |
15 |
2.2.2. Вторая задача динамики............................................. |
17 |
2.2.2.1. Пример. Падение тела в сопротивляющейся |
|
среде................................................................. |
18 |
2.3. Метод Эйлера пошагового интегрирования |
|
обыкновенных дифференциальных уравнений.................. |
23 |
2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в настольный |
|
теннис............................................................................ |
24 |
2.3.2. Пример. Постановка задачи о прыжке с трамплина |
|
на лыжах........................................................................ |
27 |
2.4. Контрольные вопросы............................................................ |
30 |
Глава 3. Динамика относительного движения точки............................... |
31 |
3.1. Основной закон относительного движения........................ |
31 |
3.2. Относительный покой............................................................ |
35 |
3.2.1. Пример. Центробежный регулятор............................. |
35 |
3.3. Принцип относительности Галилея...................................... |
36 |
3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина........... |
37 |
3.4. Контрольные вопросы............................................................ |
39 |
Глава 4. Введение в динамику механической системы............................ |
40 |
4.1. Классификация сил................................................................ |
40 |
4.1.1. Свойства внутренних сил............................................ |
41 |
4.2. Масса. Центр масс системы................................................... |
42 |
4.3. Момент инерции тела относительно оси............................. |
43 |
4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно |
|
параллельных осей................................................................. |
46 |
4.5. Связь моментов инерции |
|
относительно центра, оси и плоскости................................. |
48 |
4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно |
|
диаметра........................................................................ |
49 |
4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно |
|
диаметра........................................................................ |
49 |
4.5.3. Пример. Момент инерции сплошного цилиндра..... |
50 |
4.6. Контрольные вопросы............................................................ |
52 |
Глава 5. Обзор общих теорем динамики.................................................... |
53 |
5.1. Меры движения материальной точки................................... |
53 |
5.2. Общие теоремы динамики точки.......................................... |
54 |
5.3. Общие теоремы динамики системы..................................... |
56 |
5.4. Контрольные вопросы............................................................ |
58 |
Глава 6. Теоремы об изменении количества движения |
|
механической системы.................................................................. |
59 |
6.1. Связь количества движения системы со скоростью |
|
движения центра масс............................................................ |
60 |
6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека... |
60 |
6.2. Теоремы о количестве движения материальной точки |
|
и системы материальных точек в дифференциальной |
|
форме....................................................................................... |
62 |
6.2.1. Условия сохранения количества движения системы |
63 |
6.2.1.1. Пример. Удар бильярдных шаров............. |
64 |
6.3. Теоремы об изменении количества движения системы |
|
в конечной форме................................................................... |
65 |
6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного |
|
шланга........................................................................... |
67 |
6.3.2. Пример. Игрок в американский футбол ударяется |
|
о бетонную стену |
69 |
6.4. Контрольные вопросы........................................................... |
70 |
Глава 7. Теорема о движении центра масс............................................... |
72 |
7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс...... |
73 |
7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой |
|
поверхности................................................................. |
74 |
7.2. Частный случай сохранения скорости движения центра |
|
масс......................................................................................... |
74 |
7.2.1. Пример. Человек на лодке.......................................... |
75 |
7.3. Определение реакций связей по теореме о движении |
|
центра масс.............................................................................. |
77 |
7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека.............. |
78 |
7.4. Контрольные вопросы........................................................... |
82 |
Глава 8. Кинетический момент механической системы относительно |
|
центра и оси.................................................................................. |
83 |
8.1. Момент количества движения материальной точки |
|
относительно центра и оси................................................... |
83 |
8.1.1. Связь между моментами относительно центра |
|
иоси..................................................................... |
85 |
8.1.2. Аналитические выражения моментов вектора |
|
количества движения относительно |
|
координатных осей...................................................... |
85 |
8.2. Кинетический момент системы относительно центра |
|
и оси........................................................................................ |
86 |
8.2.1. Кинетический момент твердого тела, |
|
вращающегося вокруг неподвижной оси.................. |
87 |
8.3. Кинетический момент системы при ее составном |
|
движении................................................................................ |
88 |
8.3.1. Пример. Кинетический момент человека................. |
91 |
Глава 9. Теоремы об изменении кинетического момента |
|
механической системы.................................................................. |
93 |
9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной |
|
точки относительно центра и оси......................................... |
93 |
9.2. Теоремы о кинетическом моменте системы относительно |
|
центра и оси............................................................................ |
94 |
9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста....................... |
96 |
9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения |
|
тела вокруг неподвижной оси............................................... |
97 |
9.3.1. Пример. Вращение фигуриста.................................... |
98 |
9.4. Теорема об изменении кинетического момента |
|
в относительном движении................................................... |
99 |
9.4.1. Пример. Прыжок в воду с 10-метровой вышки........ |
100 |
9.4.2. Пример. Падение кошки............................................... |
102 |
9.5. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного |
|
движения твердого тела........................................................... |
103 |
9.5.1. Пример. Падение гимнаста на ковре........................... |
104 |
9.6. Контрольные вопросы.............................................................. |
106 |
Глава 10. Кинетическая энергия механической системы. |
|
Работа и мощность силы............................................................... |
107 |
10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его |
|
простейших движениях......................................................... |
108 |
10.1.1. Поступательное движение твердого тела................. |
108 |
10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг |
|
неподвижной оси.......................................................... |
108 |
10.2. Кинетическая энергия при составном движении |
|
механической системы........................................................... |
109 |
10.3. Общий случай движения свободного твердого тела....... |
110 |
10.4. Плоскопараллельное движение твердого тела................. |
111 |
10.4.1.Пример. Кинетическая энергия идущего
человека....................................................................... |
111 |
10.5. Работа и мощность силы........................................................ |
112 |
10.6. Примеры вычисления работы.............................................. |
115 |
10.6.1. Работа силы тяжести................................................. |
115 |
10.6.2. Работа упругой силы................................................. |
116 |
10.6.3. Работа и мощность силы, приложенной к телу, |
|
вращающемуся вокруг неподвижной оси............. |
116 |
10.6.4. Работа силы, приложенной к телу, |
|
совершающему плоскопараллельное движение ... |
117 |
10.7. Пример. Энергозатраты при ходьбе человека.................... |
118 |
10.8. Контрольные вопросы............................................................ |
120 |
Глава 11. Теоремы об изменен™ кинетической энергии механической |
|
системы......................................................................................... |
121 |
11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы |
|
в дифференциальной форме................................................. |
121 |
11.2. Теорема об изменении кинетической энергии системы |
|
в конечной форме................................................................... |
122 |
11.3. Случай неизменяемой системы............................................ |
123 |
11.3.1. Пример. Качение катка вверх по наклонной |
|
плоскости.................................................................... |
124 |
11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты................... |
126 |
11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в |
|
относительном движении..................................................... |
128 |
11.6. Пример. Вращение гимнаста на перекладине.................... |
130 |
11.7. Пример. Потеря кинетической энергии бегущего |
|
человека................................................................................... |
132 |
11.8. Пример. Прыжки с жестким шестом................................... |
135 |
11.9. Контрольные вопросы........................................................... |
137 |
Список литературы...................................................................................... |
138 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие является дополнением к конспекту лекций Р. Н. Рудакова «Общие теоремы динамики и их приложение к решению задач биомеханики» (Пермь, 1999). В новом издании ис правлены некоторые неточности, допущенные в предыдущем, и до бавлены новые примеры применения законов теоретической меха ники для решения задач биомеханики. Учебное пособие соответст вует программе по курсу теоретической механики для технических вузов и иллюстрирует курс примерами, относящимися к ходьбе че ловека и биомеханике спорта. Эти примеры способствуют лучшему усвоению студентами основного теоретического курса, позволяют глубже понять законы механики.
Авторы полагают, что рассмотренные в данном учебном посо бии биомеханические модели должны получить дальнейшее разви тие в сторону их усложнения и рассмотрения новых видов спортив ных движений.
Авторы выражают благодарность доктору технических наук, профессору Е. В. Славнову и доктору технических наук, профессо ру А. И. Цаплину за обстоятельный разбор рукописи и полезные за мечания при рецензировании учебного пособия.
Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
1.1. Введение
Теоретическая механика дала начало многим наукам, связан ным с механическим движением. Сравнительно недавно началось становление биомеханики— науки о движении животных и челове ка, возникшей на стыке биологии и механики. Интерес к описанию движения живых организмов проявлялся еще в древности. Первые глубокие наблюдения за движением человеческого тела принадле жат итальянскому ученому эпохи Возрождения Леонардо да Винчи. Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной филосо фии» [1], вышедший в 1687 году, породил идеи создания механиче ского человека, движение которого можно точно описать на основе законов механики. Но лишь в последние десятилетия биомеханика формируется как наука. Основы биомеханики в России были зало жены Н. А. Бернштейном, который еще в 1926 году написал книгу «Общая биомеханика» [2]. Он на много лет предвосхитил идеи, ле жащие в основе кибернетики [3].
Сегодня интерес к наукам о человеке, в частности к биомехани ке, возрастает. Рассматриваются общие вопросы биомеханики [4-7], ходьба человека [8-13], биомеханика спортивных движений [14-20] и другие вопросы.
В настоящей работе традиционное для технических вузов изло жение курса теоретической механики [21-23] сопровождается при мерами из биомеханики, часть которых представлялась авторами на Всесоюзных и Всероссийских олимпиадах по теоретической меха нике. Большинство примеров относятся к биомеханике спорта и ходьбе человека. Достаточно простые биомеханические модели демонстрируют подходы к решению более сложных задач, таких как оптимизация спортивных движений, обеспечение их безопасно сти, реабилитация травмированных, в частности оптимальное про тезирование.
Для чтения предлагаемого пособия надо предварительно изу чить статику и кинематику, хотя некоторые сведения из этих разде лов при необходимости приводятся.
Изложению общих'теорем динамики предшествуют 3 главы по динамике материальной точки и введение в динамику механической системы. Общие теоремы динамики обсуждаются в 5-11-й главах. Их изучение служит необходимым условием для постановки и реше ния задач динамики механической системы. Для решения задач био механики требуется также знание механических характеристик чело веческого тела, и некоторые из них приведены в тексте.
1.2. Предмет теоретической механики
Теоретическая механика изучает общие законы равновесия и дви жения материальных тел под действием сил, приложенных к этим те лам. Курс теоретической механики для технических вузов традицион но включает в себя три раздела — статику, кинематику и динамику. Знание статики— учения о силах и кинематики— учения о геометрии движения совершенно необходимо для изучения основного раздела курса динамики, которой и посвящена предлагаемая работа.
Динамика — раздел курса теоретической механики, в котором рассматривается движение материальных тел под действием сил, приложенных к этим телам.
Материальные тела — тела, обладающие инерционными и гра витационными свойствами, т. е. способностью сохранять движение и тяготеть друг к другу. Все физические тела — материальные.
Материальная точка — материальное тело, размерами и фор мой которого при рассмотрении его движения можно пренебречь. Однако при построении системы сил, действующих на такое тело, его форма и размеры могут учитываться. Так, например, в прыжках на лыжах сила лобового сопротивления и подъемная сила сущест венно зависят от ориентации тела и лыж, одежды лыжника и других факторов, но полет лыжника рассматривается как движение одной материальной точки.
Движение — изменение с течением времени взаимного поло жения материальных тел. Для рассмотрения движения задаются система отсчета— система координат, связанная с некоторым мате-
ю