книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

Проблема разрушения квазихрупких тел в условиях сложных напряженных состояний — одна из актуальнейших для современной инженерной практики. Это обусловлено в первую очередь тем, что напряженное состояние реальных деталей даже при самых простых схемах нагружения всегда является сложным, что часто приводит к увеличению жесткости условий пластического деформирования и возникновению опасности хрупкого разрушения, т. е. разрушения пу­ тем распространения трещины. Поэтому особенно важны исследова­ ния распространения трещин в квазихрупких телах в условиях сложных напряженных состояний. В литературе данный вопрос изу­ чен еще недостаточно: отсутствуют обобщающие труды, а в моно­ графиях, посвященных изучению механики хрупкого разрушения, этот важный аспект теории трещин исследуется частично, только для статического нагружения в случае плоского напряженного состояния.

Настоящая монография является шагом вперед в решении рас­

напряженных состояний, которые вызываются силовыми факторами статического импульсирующего характера. Исследования основаны на сформулированных автором расчетных моделях локального раз­ рушения квазихрупких тел при статическом и пульсирующем нагру­ жении, а также на разработанных им математических методах для определения упругого равновесия трехмерных тел с трещинами.

Материал излагается логически последовательно. Сначала дает­

математические модели, приводящие, в свою очередь, к постановке математических задач. Для решения этих задач разрабатываются

эффективные математические методы, применение которых иллю­ стрируется на новых и ранее известных в литературе задачах тео­ рии трещин.

Оригинальность и новизна изложенных результатов, актуаль­ ность исследуемой проблемы позволяют надеяться, что монография А. Е. Андрейкива принесет большую пользу специалистам, занимаю­ щимся вопросами разрушения материалов, повышения их долговеч­ ности и надежности, расчетами на прочность; она может быть по­ лезна также преподавателям, аспирантам и студентам вузов, спе­ циализирующимся в области механики деформированного твердого тела.

Академик АН УССР В. В. Панасюк

Постоянное развитие новой техники требует усовершенствования старых и разработки новых более точных методов расчета на проч­ ность конструкционных материалов. Это обусловлено в основном тем, что по конструктивным или экономическим соображениям на­ гружение материала в конструкции все больше приближается к пре­ дельно допустимым значениям. По этой причине особую актуаль­ ность приобретает изучение процессов деформации и разрушения конструкционных материалов, работающих в экстремальных услови­ ях, с целью создания количественной теории оценки работоспособ­ ности материала в заданных условиях эксплуатации. В первую оче­ редь это относится к высокопрочным материалам, используемым в различных областях современной техники (в частности, в авиацион­ ной, космической) и склонным к хрупкому разрушению, т. е. к раз­ рушению путем распространения трещины, в окрестности которой всегда возникает экстремальное напряженно-деформированное сос­ тояние. Непредвиденные разрушения многих инженерных конструк­ ций — результат неучета развития трещин при заданном нагруже­ нии. Для р'ешения проблемы хрупкого разрушения необходимо про­ ведение широких исследований, связанных как с изысканием и установлением новых критериев оценки прочности материала, так и с разработкой новых методов аналитического исследования предель­ ного равновесия деформированных тел с трещинами.

Усилиями многих ученых уже достигнут значительный прогресс как в области теоретических исследований и количественного описа­ ния явлений хрупкого разрушения, так и в области инженерных приложений теоретических результатов. В СССР и за рубежом опуб­ ликован ряд обобщающих трудов (см., например, работы [15, 18, 22, 27, 26, 28, 34, 38, 44, 53, 54, 59, 61, 69]), посвященных анализу важнейших достижений по механике хрупкого разрушения. Однако к настоящему времени еще недостаточно изучены вопросы распро­ странения трещин в трехмерных телах в условиях сложных напря­

НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТРЕЩИН

Важным моментом в теории трещин является формули­ ровка условия локального разрушения в рассматривае­ мой точке контура трещины. Известные в настоящее время модели локального разрушения квазихрупких тел в окрестности контура распространяющейся трещины (см., например, работы [18, 22, 28, 34, 38, 44, 61, 83]) при соблюдении условий линейной механики разрушения эквивалентны модели Гриффитса — Ирвина. В рамках таких подходов локальные свойства материала оказы­ вать сопротивление развитию в нем трещины (его трещиностойкость) определяются только критическим зна­ чением коэффициента интенсивности напряжений Кь т. е. значением коэффициента при сингулярной части компонентов тензора напряжений.

В данной главе предлагается расчетная модель [6, 38] локального разрушения квазихрупких тел с трещи­ нами, в которой учитываются сингулярные и регулярные части компонентов тензора напряжений, а также не­ которые структурные характеристики материала в ок­ рестности вершины развивающейся трещины. При таком подходе имеется возможность получить информацию о микромеханических особенностях актов локального разрушения и установить связь трещиностойкости (вяз­ кости разрушения) Kic с другими механическими харак­ теристиками и параметром структуры материала. Пред­ лагаемая модель является более полной; она содержит кроме критериального уравнения локального разруше­ ния также математические соотношения (условия авто­ модельности), определяющие размеры тела и трещины, при которых правомерно использование этого уравнения. В главе получено общее решение уравнений термоупру­ гого равновесия в перемещениях, намного облегчающее решение трехмерных задач теории трещин.

1. Вводные замечания

Начиная с работ Гриффитса, Тейлора, Орована, Ирвина и других (1920— 1950 гг.) развитие теории прочности твердых тел пошло по пути изучения самого процесса разрушения — распространения трещин в твердых те­ лах. Существенные достижения в этой области были получены на протяжении последних двадцати лет в ра­ ботах советских и зарубежных ученых, результаты ис­ следований которых составляют основу теории предель­ ных равновесий твердых тел с трещинами.

Большинство исследований в этом направлении по­ священо плоским задачам теории трещин. Простран­ ственные задачи, несмотря на их важность для построе­ ния общей теории разрушения твердых тел, решены в значительно меньшем объеме, что объясняется трудно­ стями, возникающими как на первом этапе решения та­ ких задач — составление критериальных уравнений, так и на втором этапе — определение упругих и термоупру­ гих полей в трехмерных телах с трещинами.

Известные трехмерные задачи теории трещин в ос­ новном относятся к случаям, когда напряженно-дефор­ мированное состояние симметрично относительно плос­ кости расположения трещины в теле. На первом этапе решения таких задач используются главным образом известные механические концепции Гриффитса — Ирви­ на и Леонова— Панасюка—Дагдейла [34, 38, 44, 61,73].

Первая из них заключается в том, что коэффициент при особенности напряжений в рассматриваемой точке в момент локального разрушения (продвижения трещи­ ны в этой точке) принимается равным некоторой посто­ янной материала Kic (характеристике его трещиностойкости), т. е.

Здесь s — расстояние по нормали к контуру трещины в ее плоскости z = 0 ; аг(х, у, 0) — нормальные напряжения в плоскости расположения трещины г = 0, вычисляемые в предположении идеальной упругости тела; 0 (1) — ре­ гулярная часть нормальных напряжений <xz(x, у, 0).

Поскольку указанный коэффициент представляет со­ бой некоторую функцию внешних нагрузок р, размеров трещины R и параметров геометрии тела а*, находимую из решения упругой задачи в целом, условие локального разрушения на контуре трещины в принципе позволяет определить ее развитие и, в частности, отыскать ту ком­ бинацию внешних нагрузок, которая разделяет области устойчивости и неустойчивости состояния тела с тре­ щиной.

Согласно второй концепции, принимается, что на продолжении трещины имеется область ослабленных связей; толщина этой области считается достаточно ма­ лой. Кроме того, предполагается, что противоположные берега этой области притягиваются друг к другу неко­ торым напряжением, представляющим собой константу материала, а в начале этой области, совпадающем с концом реальной трещины, скачек нормального смеще­ ния в момент разрушения становится парным некоторой другой константе материала. При этом следует отметить, что модель Гриффитса — Ирвина является частным слу­ чаем модели Леонова — Панасюка — Дагдейла, когда область ослабленных связей становится малой по срав­ нению с размерами тела и трещины.

Важным аспектом теории трещин являются исследо­ вания распространения трещин в твердых телах при длительных циклических нагружениях. Однако и здесь полученные немногочисленные результаты (см., напри­ мер, работы [17, 38, 61, 65, 79]) аналитических иссле­ дований, основанных на концепции Пэриса, Гомеса, Ан­ дерсона [79], относятся к случаям симметричного рас­ пространения усталостных трещин.

В задачах, которые ставит перед исследователями инженерная практика, трещина распространяется в твер­ дых телах, как правило, в условиях сложных напряжен­ ных состояний. Известные решения таких задач в трех­ мерной постановке немногочисленны и неполны. Это связано с тем, что для их решения уже невозможно пря­ мое использование известных механических концепций, а также математических методов. Решение таких задач требует создания новых, физически более корректных и полных расчетных моделей, а также эффективных ма­ тематических методов для определения упругого равно­ весия трехмерных тел с трещинами.

2. Обобщенная расчетная модель локального разрушения

Установление критериального уравнения. Пусть упруго­ пластическое тело, удовлетворяющее условию пластич­ ности Треска — Сен-Венана, ослаблено плоской мак­ роскопической трещиной нормального разрыва с глад­ ким контуром L и подвергнуто воздействию внешних ра­ стягивающих усилий, которые характеризуются силовым параметром р. Предполагается, что напряженное состоя­ ние в теле симметрично относительно плоскости распо­ ложения трещины. Задача состоит в определении пре­ дельно равновесного состояния такого тела.

Выберем подвижную прямоугольную систему декар­ товых координат Oxyz с началом в точке О контура L, определяемой полярным углом ср (рис. 1, а). Примем, что ось Ох направлена по касательной к контуру L в точке О, а плоскость г = 0 совпадает с плоскостью рас­ положения трещины.

Для нахождения предельного равновесия такого тела [6] воспользуемся основным положением деформа­ ционной теории прочности, гласящим, что разрушение тела (распространение трещины) начинается тогда, когда деформация е достигнет в наиболее опасной точке тела (контура трещины) величины деформации разру­ шения материала ел, т. е.

Здесь р* — граничное значение параметра р\ ф* — зна­ чение координатного угла ф, определяющего место на­ чального распространения трещины.

Выберем в окрестности точки О контура L такой эле­ ментарный объем высотой h (рис. 1, б), что при нагру­ жении тела его удлинение можно принять приближенно равным раскрытию трещины в ее тупиковой части. Тогда выражение для макродеформации тела в точке О при­ ближенно запишется так:

Представим напряженно-деформированное состояние тела в виде суммы регулярного напряженно-деформи­ рованного состояния в теле без трещины при эквива-