книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Пример решения задачи 3.3

Дано: см. данные и решение задачи 3.1.

Модуль Юнга для чугуна СЧ15 Е = 0,9·105 МПа (см. прил. 1). Найти: величину продольной деформации по длине стержня. Решение. Определяем перемещение границы каждого участка стержня ∆li, начиная от заделки, так как там продольные перемеще-

ния отсутствуют (∆l0 = 0).

Строим эпюру перемещений ∆li (рис. 3.1, г).

Задача 3.4. Определить оптимальные размеры поперечного сечения круглого ступенчатого стержня по условию прочности при деформации растяжения и сжатия.

Определить продольные деформации стержня и проверить его работоспособность по условию жесткости.

Стержень изготовлен из стали: модуль продольной упругости Е и предел текучести σТ материала стержня определить по прил. 1. Допускаемое смещение конца стержня [∆l] = 2 мм. Допускаемый коэффициент запаса прочности [n] выбрать самостоятельно (для пластичных материалов принимаем [n]= 1,2…2,5). Весом стержня пренебречь.

Данные для расчета представлены в табл. 3.3. Схемы стержня приведены в табл. 3.4.

41

Порядок выполнения

1.Начертить схему стержня со всеми численными данными.

2.Определить внутренние продольные силы Ni на каждом участке. Начертить схему с эпюрой внутренних сил Ni.

3.Определитьдопускаемыенапряжениядляматериаластержня[σ]р.

4.Определить площади поперечных сечений Ai и диаметры участков стержня di исходя из условий прочности. Округлить результат до целых значений в мм. Начертить схему стержня в условном масштабе (длину стержня на схеме оставить без изменения)

суказанием диаметров в мм.

5.Определить напряжения σi на каждом участке. Дать заклю-

чение о прочности стержня. Начертить схему с эпюрой напряжений σi.

6.Определить смещение границ каждого участка стержня ∆li

иполную деформацию стержня. Начертить схему с эпюрой деформаций ∆li.

7.Дать заключение о жесткости стержня.

Указания к выполнению

Определение величин и построение эпюр продольных сил Ni и напряжений σi было рассмотрено в задаче 3.1. Величина найденных напряжений по модулю не должна превышать [σ]р более чем на 5 %, что составляет допускаемый перегруз (см. указания к задаче 3.2), в противном случае величину сечения необходимо увеличить.

Допускаемые напряжения для пластичных материалов находятся по формуле

[σ]р = σТ / [n],

где [n] – допускаемый коэффициент запаса прочности (выбирается по рекомендациям); σТ – предел текучести материала стержня (величина справочная).

Определение продольной деформации стержня выполняется аналогично задаче 3.3. По формуле условия жесткости (∆li max ≤ [∆l]) делают заключение о жесткости стержня.

42

Пример решения задачи 3.4

Дано: круглыйстерженьнагруженпродольнымисилами(рис. 3.4, а):

F1 = 19 кН; F2 = 22 кН; F3 = 8 кН; F4 = 11 кН; a = 70 см, b = 200 см, c = 80 см.

Рис. 3.4

43

Материал стержня – сталь Ст3:

Т = 200 МПа; Е = 2·105 МПа.

Найти:

а) поперечные размеры ступеней стержня исходя из условия прочности;

б) напряжения на участках стержня, дать заключениео прочности; в) величину продольной деформации стержня, дать заключение

о жесткости.

Решение:

1. Разбиваем стержень на участки, начиная со свободного (незакрепленного) конца. Границы участков – точки приложения сосредоточенных сил.

Определяем величину продольной силы Ni в пределах каждого участка c учетом правила знаков (рис. 3.5):

Рис. 3.5

44

I участок (0 ≤ x1 ≤ a): N1 = F4 = 11 кН;

II участок (0 ≤ x2 ≤ b): N2 = F4 – F3 = 11 – 8 = 3 кН;

III участок(0 ≤x3 ≤c): N3 = F4 – F3 – F2 = 11 – 8 – 22 = –19 кН;

IV участок (0 ≤ x4 ≤ a):

N4 = F4 – F3 – F2 – F1 = 11 – 8 – 22 – 19 = –38кН.

Строим эпюру продольных сил Ni (рис. 3.4, б).

2. Определяем площади поперечных сечений стержня на каждом участке из условия прочности:

Аi ≥ |Ni| / [σ]р.

Принимаем [n] = 2 и определяем допускаемое напряжение для материала стержня:

[σ]р = σТ / [n] =200 / 2 = 100 МПа.

А1 ≥ |N1| / [σ]р = 11·103 / 100·106 = 0,11·10–3 м2 = 110 мм2; А2 ≥ |N2| / [σ]р = 3·103 / 100·106 = 0,03·10–3 м2 = 30 мм2; А3 ≥ |N3| / [σ]р = 19·103 / 100·106 = 0,19·10–3 м2 = 190 мм2; А4 ≥ |N4| / [σ]р = 38·103 / 100·106 = 0,38·10–3 м2 =380 мм2.

Определяем диаметры стержня на каждом участке ( di 4Ai /π ). Результат округляем в большую сторону до целыхзначений вмм.

Чертим схему стержня (рис. 3.4, в).

3. Определяем величину напряжений i в пределах каждого участка по формуле

i = Ni / Аi = 4·Ni /( ·di2):

45

Iучасток: 1 = 4N1 / ( ·d12) = 4·11·103/(3,14·(12·10–3)2) =

=97,3·106 = 97,3 МПа;

II участок: 2 = 4N2 / ( ·d22) = 4·3·103/(3,14·(7·10–3)2) =

=78,0·106 = 78,0 МПа;

III участок: 3 = 4N3 / ( ·d32) = 4·(–19·103)/(3,14·(16·10–3)2) =

=–97,3·106 = –94,5 МПа;

IV участок: 4 = 4N4 / ( ·d42) = 4·(–38·103)/(3,14·(22·10–3)2) = = –100,02·106 = –100,02 МПа.

Условие прочности на I–III участках выполняется: i ≤ [σ]р =

= 100 МПа.

На IV участке 4 = 100,02 МПа > [σ]р = 100 МПа.

Перегруз составит

Условие прочности выполняется.

Строим эпюру нормальных напряжений i (рис. 3.4, г).

4. Определяем деформации каждого участка стержня ∆li, начиная от заделки, так как там продольные перемещения отсутствуют

(∆l0 = 0).

46

Строим эпюру деформаций ∆li (рис. 3.4, д).

Проверяем выполнение условия жесткости (|∆l1| ≤ [∆l]): |–0,65| < 2 мм.

Условие жесткости выполняется. Работоспособность стержня обеспечена.

Таблица 3 . 3

47

Контрольные вопросы

1.Что представляет собой метод сечений? Что позволяет определить метод сечений?

2.Как вычислить значение внутренней продольной силы в поперечном сечении бруса при помощи метода сечений?

3.Как назначаются знаки продольной силы и напряжения при деформации растяжения (сжатия)?

4.Какое сечение бруса считается опасным?

5.Какие напряжения считаются предельными для пластичных материалов (для хрупких материалов)?

6.Дайте определение предела текучести материала. Каким символом он обозначается? В каких единицах измеряется? Где берется при практических расчетах?

7.Дайте определение предела прочности материала. Каким символом он обозначается? В каких единицах измеряется? Где берется при практических расчетах?

8.Как определяются допускаемые напряжения для пластичных материалов? (для хрупких материалов)?

9.Что такое коэффициент запаса прочности? Какие факторы он учитывает?

10.Какое отклонение от условия прочности считается допустимым? Как его определить?

11.Дайте определение эпюр продольных сил, нормальных напряжений. С какой целью они строятся? Каких правил придерживаются при их построении?

12.Дайте определение абсолютной и относительной продольной деформации при растяжении (сжатии).

13.Какая связь существует между напряжениями и деформациями при растяжении (сжатии)? Сформулируйте закон Гука. Что он определяет?

14.Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

15.Какие три вида задач могут решаться при расчете на жест-

кость?

16.Дайте определение эпюры перемещений. Каких правил придерживаются при ее построении?

Литература: [1, п. 2.1, 2.2; 2, лекц. 1–3; 4, гл. 18, 19].

49

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Задача 4.1. Определить координаты центра тяжести сечения конструкции, сваренной из стандартных прокатных профилей. Сведения о геометрических характеристиках прокатных профилей взять из ГОСТ 8239–89 (двутавры), ГОСТ 8240–97 (швеллеры), ГОСТ 8509–93 (уголки равнополочные) (см. прил. 5–7).

Данные для расчета представлены в табл. 4.1. Формы сечений приведены в табл. 4.2.

Порядок выполнения

1.Начертить схему сечения в масштабе с указанием числовых значений. Разбить сложное сечение на простые элементы (стандартные профили).

2.Выписать необходимые геометрические характеристики заданных прокатных профилей из соответствующих ГОСТов.

3.Нанести на чертеж центры тяжести каждого элемента сече-

ния и их собственные центральные оси (x1y1; x2y2). Определить координаты центра тяжести каждого элемента относительно выбранной вспомогательной системы координат x0y0.

4.Определить координаты центра тяжести всего сечения xСyС

всистеме координат x0y0. Нанести на чертеж центральные оси сечения XY.

Указания к выполнению

При расчете на изгиб, кручение и различные виды сложного нагружения для оценки прочности и жесткости бруса недостаточно знать площадь его поперечного сечения, требуется определять другие геометрические характеристики, учитывающие влияние формы сечения: статический момент площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции, моменты сопротивления, положение центральных и главных осей.

50