книги / Теория пластичности

рически линейных ОС ЭТП. Для удовлетворения принципа материальной индифферентности применяется переход к мерам напряжений и деформаций и их скоростей, инвариантным по отношению к наложенному жесткому движению [85, 87]. К сожалению, в цитируемых выше работах, как и в подавляющем большинстве исследований, посвященных построению геометрически нелинейных ОС упругопластических тел, практически не обсуждается одна из наиболее остро стоящих проблем – о корректном разложении движения на квазитвердое и деформационное [76].

Несмотря на некоторые отмеченные выше проблемные вопросы, в ЭТП, как представляется, скрыто еще очень много потенциальных возможностей. Одним из перспективных направлений работы, вероятно, является более глубокая проработка структуры уравнений ЭТП и входящих в нее основных понятий, придание им достаточно ясного физического смысла. Возможно, следует привнести в ЭТП идеи и подходы физических теорий пластичности, изложению которых посвящена следующая глава.

Вопросы для самопроверки

1.Сопоставьте ОС истокообразной формы А.А. Ильюшина

иЭТП К. Валаниса; какая форма является более общей и почему?

2.Какие известные эффекты пластического деформирования ЭТП описывает качественно удовлетворительно?

3.Приведите запись ОС ЭТП в «релаксационной форме», поясните механический и физический смысл входящих в ОС параметров.

4.В чем основная причина расхождения количественных результатов исходной формы ЭТП и экспериментальных данных?

5.Какие возможные варианты улучшения количественного соответствия теоретических результатов ЭТП и экспериментальных данных вы знаете?

6.Приведите тензорно-параметрические ОС ЭТП в интегральной и дифференциальной формах. Что характеризует введенный вектор R?

251

7.Какие новые меры внутреннего времени были предложены А.Б. Мосоловым и К. Валанисом, в чем их основное отличие?

8.Какими недостатками обладает введенная К. Валанисом ме-

ра внутреннего времени (8.6) при χ = 1?

9.Поясните физический смысл параметра χ и вектора R, основываясь на статистическом подходе.

10.Какие параметры в предложенном К. Валанисом варианте ОС ЭТП можно отнести к внутренним переменным и почему?

11.Приведите физическое обоснование введения многоэлементных моделей ЭТП.

12.Запишите ОС ЭТП для конечного и бесконечного спектра внутреннего времени.

13.Каким образом в ОС ЭТП можно внести учет физического времени? Приведите возможные структурно-механические схемы многоэлементных ОС ЭТП, включающие временные эффекты.

14.Какие направления развития современной ЭТП вам из-

вестны?

15.В чем состоят основные трудности построения геометрически нелинейных ОС?

252

Натура тем паче всего удивительна, что в простоте своей многохитростна,

иот малого числа причин произносит неисчислимые образы свойств, перемен

иявлений.

М.В. Ломоносов

9. ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

9.1. Основные понятия и определения

Поиски «кирпичиков», «атомов», из которых можно было бы составить картину мироздания, никогда не прекращались в науке

вцелом; механика и, в частности, теория пластичности не являются

вэтом смысле исключением. Параллельно с созданием и развитием континуальных подходов в механике, начиная с ХХ века, интенсивно велись (и ведутся) работы по созданию теорий, основанных на рассмотрении глубинных физических механизмов деформирования, присущих всем телам или их достаточно широким классам (например, металлам и сплавам). Сильнейшим импульсом для развития подобных теорий пластичности было открытие в 30-х гг. ХХ в. дислокаций (см. гл. 3), а вслед за этим – и других дефектов кристаллического строения материалов.

Под названием «физические теории пластичности» (ФТП) здесь будет пониматься широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах (т.е. масштабных уровнях, меньших уровня представительного объема в макросмысле, или представительного объема в инженерном смысле), в силу чего материал данной главы существенным образом опирается и тесно связан

253

сглавой 3; для облегчения работы с материалом часть необходимых соотношений и определений повторяется. Указанное обстоятельство составляет основное отличие ФТП от всех рассмотренных выше теорий пластичности (называемых в литературе по МДТТ обычно математическими теориями), в которых с самого начала формулировка теории осуществляется в терминах континуальной механики, полей напряжений, деформаций и других параметров.

Следует отметить, что возникновение и развитие физических теорий пластичности как отдельной ветви теории пластичности неразрывно связано с пионерскими работами Дж. И. Тейлора, К.Ф. Элам [195–197] и Г.О. Закса [161]. С этого времени появилось огромное количество различных вариантов физических теорий, но практически во всех из них наблюдаются «родовые признаки» теорий указанных авторов, в особенности – Дж. И. Тейлора.

Установление масштабных уровней, вовлекаемых в рассмотрение в конкретном варианте ФТП, определяется требованиями исходной постановки задачи, особенностями исследуемых процессов, известными сведениями или гипотетическими представлениями о лидирующих иаккомодационных процессах, определяющих неупругое деформирование. Решение вопроса о выборе уровней не лишено и субъективного компонента – квалификации исследователя, его приверженности тем или иным подходам, доступности тех или иных инструментальных средств и т.д. В настоящее время диапазон масштабов чрезвычайно широк– от 10–19 см3 до 10–3 см3.

Здесь будут рассмотрены соотношения ФТП только для моно- и поликристаллических материалов (большей частью – металлов), однако подходы и некоторые гипотезы могут быть использованы при построении определяющих соотношений более широкого класса материалов. Наиболее простыми объектами являются монокристаллы,

сописания поведения которых начинается построение практически всех вариантов физических теорий пластичности.

Основным механизмом неупругого деформирования монокристаллов в физических теориях пластичности считается движение краевых дислокаций. Напомним (см. гл. 3), что наряду с краевыми

254

дислокациями в реальных моно- и поликристаллических телах наличествуют и винтовые дислокации, и множество других дефектов. То, что именно движущиеся дислокации являются основным источником появления необратимых деформаций, – факт, подтвержденный огромным количеством экспериментов. Включение в рассмотрение только краевых дислокаций обусловлено отчасти сложившейся в ФТП традицией; кроме того, как отмечалось в гл. 3, винтовые дислокации имеют бόльшую энергию активации и меньшую плотность по сравнению с краевыми дислокациями.

Напомним, что краевая дислокация характеризуется своей плоскостью скольжения, положение которой будем определять единичной нормалью n, направленной в сторону экстраплоскости, и вектором Бюргерса b, лежащим в плоскости залегания и характеризующим несоответствие контуров, окружающих одиночную краевую дислокацию,

ианалогичного контура в идеальном кристалле; аналогично будет обозначаться единичный вектор в направлении вектора Бюргерса (например, в определении ориентационного тензора). Плоскости залегания

иориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций, известны; ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления. Так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плос-

костях системы {111} по направлениям <110> (иначе говоря, в системе скольжения {111}, <110>). В ОЦК-решетке трансляционное движение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях {110}, {112} или {123} по направлениям <111>. Напомним, что условием активации k-й системы скольжения (СС) является достижение касательного на-

пряжения в ней некоторого критического напряжения τ(ck ) :

где n(k)b(k) ( Σ ) – ориентационный тензор k-й системы скольжения;

k

чаще в литературе в качестве ориентационного тензора M(k) k-й системы используется симметричная часть диадного произведения:

255

M(k ) = 1 (n(k )b(k ) + b(k )n(k ) ), ( Σ ) .

2 k

Нетрудно видеть, что ориентационный тензор M (k) является девиатором.

Следует отметить, что замена диады n(k)b(k) ( Σ ) на симметризо-

k

ванный ориентационный тензор M(k) не имеет корректного физического обоснования. Действительно, такая замена означает, что при активиза-

ции реально существующей в кристалле k-й СС n(k)b(k) ( Σ ) активирует-

k

ся также другая СС с нормалью b(k) и направлением скольжения n(k), которая в реальном кристалле может отсутствовать, в чем нетрудно убедиться, например, для ГЦК-кристаллов. Тем не менее в известных авторам работах симметризация используется всегда. Как представляется, данное обстоятельство связано с трудностями применения несимметричных мер деформированного инапряженного состояния.

Условие (9.1), как отмечено выше, обычно называется законом Шмида, устанавливающим момент начала неупругого деформирования при достижении в системе скольжения критического значения касательного напряжения. При реализации (9.1) в одной системе скольжения говорят об одиночном скольжении; если кристалл подвергается нагружению, при котором дислокации начинают скользить в двух или более системах, то говорят о двойном или множественном скольжении. В соответствии с уравнением Орована при наличии K активных систем скольжения (СС) (т.е. СС, для которых удовлетворяется закон Шмида (9.1)) в произвольный момент деформирования девиатор пластической составляющей тензора деформации скорости определяется соотношением:

k =1

гдеγ(k ) – скорость сдвига в k-й СС.

256

Соотношение (9.1) в физической теории пластичности часто используется в качестве критерия текучести не только для определения момента начала текучести, но и для произвольного момента деформирования. В этом случае τ(ck ) зависит от истории деформирования. При одиночном скольжении по k-й активной системе скольжения происходит обычно увеличение критического напряжения τ(ck )

активной системы, называемое деформационным («активным») упрочнением и зависящее от величины сдвига. А что будет происходить в других СС, даже если они не являются в данный момент активными? Из физических соображений нетрудно предположить, что изменение плотности дислокаций в активных СС, сопровождающее пластическую деформацию, неминуемо повлияет на поведение дислокаций в других СС. Действительно, наряду с активным упрочнением в экспериментах наблюдается увеличение критических напряжений в других системах, где сдвиг в процессе одиночного скольжения отсутствует; такое увеличение τ(cl ) , l ≠ k называется

скрытым («латентным») упрочнением. Последнее обусловлено увеличением плотности дислокаций в активных системах скольжения, являющихся препятствиями (дислокациями леса) для дислокаций других систем скольжения, равно как и возникновением других барьеров дислокационного происхождения.

Как показывают эксперименты, при множественном скольжении увеличение критического напряжения сдвига на единицу сдвига оказывается большим, чем при одиночном скольжении. Каким образом это можно ввести в физическую модель? Тейлором был предложен закон изотропного упрочнения, согласно которому приращения критических касательных напряжений во всех активных системах скольжения одинаковы и определяются суммарным сдвигом по всем активным системам. Указанный закон широко используется в различных модификациях физической теории пластичности. Кроме того, во многих работах принимается, что деформационное и скрытое упрочнения одинаковы; в настоящей работе данное предположение также будет использоваться. В то же время следует отметить, что

257

экспериментальные исследования свидетельствуют о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным.

При построении определяющих соотношений для монокристалла часто используется формализм теории пластического течения. В последней одним из главных понятий является понятие поверхности текучести. При этом в качестве уравнения, определяющего поверхность текучести монокристалла, обычно используется соотношение (9.1), которое можно записать в виде:

где K – полное число СС рассматриваемого монокристалла. Отметим, что в последнем соотношении полагается равенство

пределов текучести в k-й системе скольжения при «прямом» и «реверсивном» нагружении, и тогда модель не будет описывать хорошо известный эффект Баушингера (см. гл. 2). Как этого избежать? Указанное ограничение может быть легко устранено путем переопределения понятия системы скольжения, когда система скольжения определяется нормалью к плоскости скольжения и «положительным» и «отрицательным» направлениями скольжения в ней краевых дислокаций, т.е. осуществляется удвоение числа систем скольжения:

Далее под K будет пониматься именно число систем скольжения, равное удвоенному числу кристаллографических систем скольжения.

Полагая неизменным положение кристаллографических осей (при рассмотрении больших деформаций и разворотов монокристаллов – в локальной системе координат, связанной с монокристаллом), нетрудно видеть, что соотношения (9.3) (или (9.4)) представляют собой совокупность K линейных уравнений относительно компонент девиатора напряжений S. Следовательно, в пространстве напряжений соотношения (9.3) (или (9.4)) определяют K гиперплоскостей, или K-гранник, называемый многогранником текучести. Например, для ГЦК-кристаллов поверхность текучести представляет собой 24-гранник.

258

Нетрудно видеть, что градиент поверхности текучести в пространстве напряжений определяется соотношением:

Если изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) находится на одной из граней многогранника текучести (т.е. выполняются условия пластического деформирования), для определенности – на грани с номером l, то активной является система скольжения l, и из сопоставления (9.2) и (9.5) нетрудно видеть, что направление приращения пластической деформации определяется градиентом к поверхности текучести. Иначе говоря, в данном случае выполняется принцип градиентальности для поверхности текучести, т.е. справедлив ассоциированный закон пластического течения. При расположении ИТН на ребре многогранника текучести приращение девиатора пластической деформации dep имеет направление, определяемое линейной комбинацией нормалей к пересекающимся граням. Аналогичным образом определяется направление dep при нахождении ИТН в вершине многогранника (направление dep лежит внутри конуса, ограниченного нормалями к пересекающимся граням).

Наличие сингулярной поверхности текучести порождает определенные трудности при построении соотношений теории пластичности (аналогичная ситуация возникает, например, при использовании критерия Треска – Сен-Венана в теории пластического течения). В связи с этим целесообразными следует признать попытки замены условий текучести с сингулярностями (вида (9.3) – (9.4)) регулярными (гладкими) условиями. Одна из таких попыток предпринята в работе [45]. Условия текучести в цитируемой работе представлено в виде

Можно показать, что соотношение (9.6) определяет гладкую, ограниченную и строго выпуклую поверхность в пространстве на-

259

пряжений. Отметим, что условие (9.6) может быть легко модифицировано для случая различных критических напряжений на плоскостях скольжения. Кроме того, можно показать, что при q→∞ поверхность, описываемая соотношением (9.6), стремится к поверхности многогранника (9.3) (при τ(ck ) = τс k ), оставаясь внутри многогран-

ника. В отличие от многогранника поверхность (9.6) не имеет особенностей, что позволяет достаточно просто записать соотношения ассоциированного закона пластического течения.

Определение функции текучести и принцип градиентальности в сочетании с тем или иным законом упрочнения, определяющим изменения критических напряжений в системах скольжения в процессе деформирования, образуют базис, достаточный для описания поведения монокристаллов.

О теориях пластичности для поликристаллов

Определенные успехи, достигнутые при построении моделей монокристалла, побудили исследователей к использованию последних для описания поведения поликристаллов. Как и ранее, ограничимся случаем малых деформаций.

Основной особенностью поликристаллов в сравнении с монокристаллами является наличие в первых множества различно ориентированных кристаллических микрообъектов (с относительно правильным строением кристаллической решетки) и существование границ между этими микрообъектами; в дальнейшем указанные области для краткости будем называть зернами.

Границы зерен оказывают на поведение поликристаллов весьма существенное влияние. Границы представляют собой специфические области дефектной структуры с характерной толщиной 0,1–0,6 мкм (при размерах зерен 20–50 мкм) и плотностью дислокаций в 1,2–1,4 раза выше, чем в зернах, что обусловливает и повышенную удельную внутреннюю энергию границ по сравнению с зернами. В связи с этим границы зерен могут выступать и как специфический механизм неупругого деформирования (так называемого зернограничного скольже-

260