книги / Основы математического моделирования и численные методы

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Н.М. Труфанова, А.Г. Щербинин, А.В. Казаков

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета 2018

1. ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Во второй половине XX столетия широкое распространение получила новая методология исследования сложных процессов и яв­ лений, которая основывается на методе математического моделиро­ вания и реализованных на его основе вычислительных эксперимен­ тах. Использование математических моделей для описания не оче­ видных, а предполагаемых процессов и явлений происходило

иранее. Например:

-анализ движения Урана с учетом возмущений от известных планет позволил в 1846 г. Леверье предположить, что существует планета Нептун. Он определил массу, блеск и собственное движение планеты, что через несколько месяцев было подтверждено Галле в Берлинской обсерватории;

-К.Э. Циолковский определил, что для преодоления земного притяжения достаточно первой космической скорости, а не скорости света.

Тем не менее методы математического моделирования не ис­ пользовались для исследования сложных систем и явлений (в техни­ ке, экономике, биологии и т.д.). В технической области отсутствие адекватных математических моделей приводило к развитию много­ численных инженерных методов расчета, носивших частный харак­ тер, и к господству натурных экспериментальных исследований, когда невозможность проведения полной обработки полученных ре­ зультатов приводила к неоднозначным решениям.

Положение дел существенно изменилось во второй половине XX в., когда развитие средств вычислительной техники позволило исследователям использовать современные ПЭВМ в качестве нового эффективного средства моделирования сложных технических и иных систем. Сегодня невозможно представить объекты или явле­ ния, при изучении которых не использовались бы методы математи­ ческого моделирования и вычислительного эксперимента. Разраба­ тываются и активно применяются сложные математические модели технических объектов, различных технологических, геологических

1.1. Понятие математической модели

Методы математического моделирования позволяют до разра­ ботки реального объекта (системы) рассматривать различные режи­ мы работы, вероятные процессы и выбирать оптимальные парамет­ ры воздействия для реализации необходимых свойств объекта или состояния системы. Использование вычислительных экспериментов как способа реализации математических моделей позволяет всесто­ ронне исследовать объекты, процессы или явления в целом.

Кроме того, на основе математического моделирования интен­ сивно разрабатываются системы автоматизированного проектирова­ ния, управления и обработки данных.

Основными задачами математического моделирования явля­ ются: определение законов в различных системах (природе, обще­ стве, технике) и запись их на математическом языке.

Одними из простейших математических моделей являются сле­ дующие:

- второй закон Ньютона (F = та) определяет зависимость меж­ ду массой тела т, силой, действующей на него F, и ускорением а;

- закона Ома (/= U/R) определяет зависимость между электри­ ческим напряжением цепи U, силой тока/и сопротивлением R.

Таким образом, можно сказать, что математическая модель процесса, объекта или явления - это формулировка его свойств с помощью математического языка для получения новых знаний (свойств) об изучаемом объекте с помощью формальных методов, а математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естест­ венные и общественные науки, использующие математический ап­ парат, по сути, занимаются математическим моделированием: заме­ няют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю.

Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и возникают вопросы о применимости полученных таким образом результатов. Нужно от­ метить, что математическое моделирование - процесс не формали­ зованный, т.е. нет четких алгоритмов или рекомендаций по созда­ нию моделей.

Иным подходом в изучении процессов и явлений является эм­ пирический, недостатками которого являются зачастую высокая стоимость натурного эксперимента и получение частного решения, не позволяющего оценить явление в целом.

Пусть зависимость некоторой характеристики объекта у от па­ раметра х имеет экстремальный характер (рис. 1.1). Необходимо оп­ ределить значение функции в экстремуме. На рис. 1.1, а приведены экспериментально определенные значения функции при конкретных значениях параметра х. Видно, что наибольшее значение функция у достигает в двух точках х» и х5. Для уточнения истинного значения максимума функции у необходимо проводить дополнительные изме­ рения.

Рис. 1.1. Сравнение эмпирического и математического подхода

С другой стороны, построив математическую модель объекта (см. рис. 1.1, б) и определяя функциональную зависимость некой ха­ рактеристики объекта у от параметрах в виде у =Дх), можно опреде­ лить единственно возможное значение максимума функции, прирав­ няв к нулю ее производную.

1.2.Этапы решения задач

Внастоящее время невозможно представить себе решение крупной естественно-научной или промышленной задачи без ис­ пользования вычислительной техники. Технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта, называется вы­ числительным экспериментом [1].

Этапы вычислительного эксперимента могут быть представле­ ны в виде следующей схемы:

1. Производится физическая постановка задачи: описывается объект исследования, формулируются законы, которым он подчиня­ ется, отбрасываются несущественные факторы, мало влияющие на объект, обосновываются гипотезы.

2. Создается математическая модель объекта, чаще всего осно­ ванная на законах сохранения и представляющая собой систему дифференциальных (алгебраических, интегральных) уравнений.

3. Выбирается метод реализации математической модели. На этом этапе возникает необходимость использования численных методов и применения ЭВМ. Результатом использования численно­ го метода, позволяющего перейти от решения систем дифференци­ альных или интегральных уравнений к системе алгебраических, является дискретный аналог математической модели (дискретная модель), которая реализуется на ЭВМ.

4. Для реализации численного метода разрабатывается алго­ ритм решения, составляется программа для ЭВМ, производится от­ ладка программы - проверка соответствия результатов математиче­ ской модели тестовым задачам.

5. Проведение вычислений и анализ результатов. Прежде всего полученные результаты анализируются с целью подтверждения со­ ответствия математической модели исследуемому явлению, сопос­ тавляются с известными экспериментальными или теоретическими результатами. В ряде случаев при необходимости корректируется математическая модель или вычислительный процесс.

1.3. Классификация математических моделей и их свойства

Существует ряд подходов к классификации математических моделей, которые являются достаточно условными.

1.Средства построения определяют следующие возможные ви­ ды моделей:

-текстовые или словесные, которые представляют собой неко­ торое упорядоченное описание, подчиняющееся некоторой схеме (полицейский протокол, поэма Пушкина, инструкция по использо­ ванию чего-либо);

-натурные модели (модель Вселенной, модель самолета);

-абстрактные модели включают в себя математические, ком­ пьютерные, дискретные и ряд других.

2.Модели могут быть классифицированы по области приме­

нения:

-физические модели;

-биологические;

-социологические;

-экономические;

-климатические;

-экологические и т.д.

3.По уровню моделирования модели подразделяют следующим образом:

-эмпирическая модель основывается на результатах экспери­

мента;

-теоретическая модель основывается на математическом опи­ сании явлений;

-смешанная, или полуэмпирическая модель сочетает в себе первые два способа описания.

4.В зависимости от используемого математического аппарата:

-модели, включающие в себя обыкновенные дифференциаль­ ные уравнения;

-модели, записанные посредством уравнений в частных про­

изводных;

-вероятностные модели и т.д.

5.По цели моделирования:

-описательные модели используются для описания процессов или объектов, изменить или повлиять на которые человек не может,

алишь фиксирует особенности и закономерности, например модель движения астероида, кометы;

-оптимизационные модели создаются для отыскания наилуч­ шего решения задач при выполнении ряда условий и ограничений. Примером может быть известная задача о волке, козе и капусте, ко­ торые необходимо переправить через реку. В оптимизационной мо­ дели всегда присутствует ряд параметров, с помощью которых воз­ можно влиять на процесс решения и конечный результат;

-модели игровые (различные компьютерные игры);

-тренажерные (обучающие) модели;

-имитационная модель, предназначенная для определения возможных вариантов развития событий путем варьирования неко­ торых или всех параметров модели.

6. Если параметры модели зависят от времени, то различают:

зависят от времени.

7. В зависимости от поведения системы модели подразделяют на дискретные, когда поведение системы описывается только в от­ дельные моменты времени, и непрерывные - непрерывно в любой момент времени.