книги / Механика деформаций гибких тел

ПРЕДИСЛОВИЕ

Материальные объекты, изучаемые механикой дефор­ мируемых твердых тел, по своей протяженности п пространство трех измерении подразделяются па следующие пять групп:

1) материальные среды, пли массивы,— объекты беско110чп01с протяжепностп по всем трем направлениям;

2) массивные тела— объекты, протяжепиость которых по всем трем направлеипям выражается величинами одного по­ рядка;

3)оболочкообразиые тола — объекты, протяженность которых по двум паправлепиям выражается величинами одного порядка, по третьему паправлеишо — меньшого порядка;

4)стержнеобразиые тела — объекты, протяжоппость которых по двум пaпpaвлeнпя¾^ выражается величинами одного иорядк'а, по третьему — большего порядка;

5)топкостеппые стержнеобразиыо тела — объекты, протяжен­ ность которых по всем трем иаправлспиям выражается велпчииами разных порядков.

Последняя группа объектов, как убедительно продемонстри­ ровал В. 3. Власов [9], может составить предмет отдельного нзз^- чения, одпако мы условимся включать ее в третью грзишу, по­ нимая под оболочкообразпыми телами такие объекты, протя­ женность которых в одном из направлений является величиной меньшего порядка, чем в двух других. В такой трактовке остают­ ся только четыре группы объектов.

Оболочко- и стержнеобразные тела объединяются одним из терминов: тошше или гибкие тела. Последний термин, как он понимается в контексте кппгн, несет двойную смысловую иагрузку. Во-первых, указывает, что объектами изучения являются пространственные тела малой лзгибной жесткости, т. е. тонкие тела. Во-вторых, отражает способность таких тел сильно изги­ баться под нагрузкой, т. е. испытывать деформацию с большими градиентами иеремещений и поворотов материальных точек. Это требует сугубо пелипейного оппсаппя кинематики.

В книге изложены два подхода к построеншо пелппеиных моде.1 ей деформации гиб1шх тел оболочко- и стержпеобразных конфигураций. В одном за исходную принята полная система уравпений для конечного деформированного состояния термомёханического моментного континуума Коссера, модели коней-

пых деформаций оболочки п стержня получены посредством формального умсиьшения размерности пространства па одну л две координаты соответственно. В другом подходе за отправную принята система классического (безмомептного) континуума Коши, модели конечных деформац1П1 оболочки и стержня получе­ ны посредство.м паложоппя кинематических связен, допускающих лишь однородную деформацию в направлениях малых размеров этих тел.

К сожалению, в механике деформируемых твердых тел не сложплась общенрниятая система обозначений. Поэтому автору пришлось ввести свою, чтобы избежать совершенно случайного выбора символов. Прилагаемы!! список обозначении, как наде­ ется автор, ускорит процесс овладения читателем спмволического языка книги.

Исш).’шяя свой приятны!! долг, автор приносит благодарность роцс'изентам iaiuni д-ру физ.-мат. наук В. Д. Бондарю п каид. физ.-мат. nayic В. Д. Кошуру и ответственному редактору д-ру ф!1з.-мат. наук, профессору Б. Д. Апнппу за иелепши труд по !фитичсскому анализу научного содержания книги. Автор благодарит также ст. ппжспера ВЦ СО АН СССР в г. Краснояр­ ске Н. В. Кубе!П1ну за неоценимую помощь в оформлении ру­ кописи.

список ОБОЗНАЧЕНИЙ

£¢, d ^ , As^ — область, запнмасмая телом н трехмерном прост-

ковариапт11ыеЛ{оптраварпаптпые базисы, привязанные к по­

верхностям II линиям;

Ахм, Ллгл/ь — метрической п дпскрнмппаптнын тензоры началь­

ного базпса Ау;

л-дг, йхмь — метрический н дпcкpнмlIIIaптпыii тензоры начального

базиса ал-; Д ^ — базовая поверхность оболочки п ее части; попереч­

ное сечение стержня п его части;

^v. ^ x, dSBy,, A^v — граничная поверхность области Sd- н се части; Ь,„ Ь„], b„J — векторные меры кривизны поверхностен и линий в

начальной, повернутой н мгновенной системах отсчета;

Ьл'М» ^iV-— скалярные меры кривизны поверхпосте!! п Aiiiiiiii в на­ чальной системе отсчета;

d^ , Д®’ — контур базовой поверхности оболочк

его части; базовая линия стержня п ее части;

^ 3, d^s — контур поперечного сечения стержня п его элементная

•часть;

С- — пределы пзменення внутреннего параметра базовой лпHHH стержня H нормально]! координаты оболочки;

Cx^J — матрица преобразования базиса Ay в а";

С^л'м — параметры Кристофеля 2-го рода для базиса Алг;

(^nM— параметры Кристофеля 2-го рода для базпса ам; d — оператор полного дифференциала;

дх, дх\ — операторы ковариантпого дпфферепцировапил в началь­

ном и повернутом базисах;

Е, Ev, Су, Cv, с„ — единичные векторы; H — вектор градиента телгаературы;

/, J M — якобиан объемного начального базиса и его частные зна­

чения;

/, Jm — якобиан базиса ау н его частные значения;

P, P — локальная и обобщенная плотности мощности деформации;

Q, g — локальная и обобщенная скорости поступления внешнего тепла;

Q, g — локальный и обобщенный векторы скорости теплового потока;

R, г — локальный и обобщенный тензоры теплопроводности;

го/].()Мту])мого тензора нзгнопых деформаций;

W y. 1Г\ „ — BcirropiiKie и скалярные компоненты тензора-градпеп- та об ком ПОП) поля перемещений;

Д ум — векторные п скалярные Лчомпонепты тепзора-градиен- та повсрхностного/контуриого поля перемещений;

Wyjf) — скалярные компоненты тензора деформацш'г Грппа;

X , X — позиционные векторы произвольных точек объема п поворхностл/контура;

— лагранжсвы координаты; Г, у — локальная н обобщенная плотности потенциала свободной

Z, Z— локальная н обобщенная плотности потенциала внутрен­

ней энергпп;

^^ко.мпоненты;

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ МОМЕНТНЫХ СРЕД

В псходяще!! от Коши классическо!! модели деформиpycMoii Ciuomnoii среды (деформируемого матерпальпого конти­ нуума) деформации определяется векторным полем перемещеHiiii, напряженное состояние — тензорным полем напряжеипи. Основы HeamieiiHoii теории деформироваиия трехмерного конти­ нуума в его классическом ноиимапии нзложепы в известных мо­

ская .модель весьма успешно описывает распределение папряжеHIiii H деформаций в достаточно гладких областях при достаточно плавных нагрузках. Однако эта модель теряет точность при на­ рушении ycaoBiiii гладкости oблacтeii и при увелнчепии градиен­ тов нагрузок. 13 таких условиях проявляется дискретность струк­ туры реальных сред. Соответствие опыту может быть восстанов­ лено KOIioii отказа от классической модели сплошной среды и замены ее другими, более отвечающими опыту, моделями. По-вп- дпмому, наиболее уиивсрсальиа модель среды как дискретной систс.мы частиц, связанных определенными сплалш взаимодей­ ствия. Однако анализ этих сил в реальных средах сам по себе представляет сложную проблему. Более простой выход состоит в TaivOii модификации классической модели, которая при сохрапенпп гипотезы сплошности среды наделила бы ее главными спе­ цифическими свойствалш среды дискретной структуры.

Простейшим лсеханичсски корректным обобщением модели Коши является введенная братьями Е. и Ф. Koccepa модель люментпого континуума [78]. Под таким континуу.мом понимает­ ся среда, деформация KOTopoii определяется кинематически неза­ висимыми полями перел1ещепий и поворотов, напряженное со­ стояние — полями папряжепий и моментов.

Практический смысл момептныи континуум приобретает при моделировании композитных (слоистых и волокнистых) сред [6]. В данпо11 главе оп рассматривается как математическая модель, которая при уменьшении пространственной размерности дает модели двумерного момептпого коптинуума — материальной повер.хпостп и одномерного момептного континуума — материальной липни. Ий классическо!! безмоментной модели Коши простым умсньшеппем размерности можно получить лишь безмоментные модели поверхности и линии.

В этом параграфе дано построение системы нелинейных дифференциальных уравнеппи, описывающих конечное деформи­ рованное состояние термомеханического момсптпого континуума. G каждой его материально!'! точко!'! связаны два пезависнмых кинематических вектора: конечного нсремеищпия и конечного поворота. Модельная система комплектуется нз кинематических, динамических п определяющих уравпешп!, формулировке кото­ рых посвящены три раздела. В последнем представлены модель­ ные системы нелинейных уравнений для нсепдомомеитпого и безмол1ентяого континуумов. Каждьн'г нз них трактуется как моментнын континуум с внутренними связями.

1.1.Начальное состояние континуума

Котсчетпому (пачалы10Л1у) мо.\!Ситу времени конти­ нуум находится в состоянии покоя и занимает в трехмерном евклидовом простраистве область (объем) S l с гладкой или к-у- сочно-гладко1Г границе!! (поверхностью) i?,.. Индекс V слу.кит СШ1ВОЛОМ ориентации поверхности локальным единичным нор­

ряду C натуральным коварпантным базисом (1Л.1) вводится контравариаитны!! базис А "(Х ), такой что

~|о, M^N.

Производные от базисных векторов представимы разложеипями

= А^‘А к,м и пазываются параметрами Крпстофеля второго ро­ да. Из тензорного анализа известна формула [7, 34, 56]

В1>1ражающая пх через компоненты метрического тензора.

C помощью равенств (1.1.2) устанавливаются следующие пра-