книги / Физические теории пластичности

ты нагружения, накопленные сдвиги, критические напряжения сдвига во всех зернах; ориентация зерен полагается неизменной и известной.

– Задается достаточно малое приращение деформации ∆ε 11, являющееся

одновременно приращением главной деформации ∆ε 1 = ∆ε 11; из условия несжимаемости определяются два других главных значения приращений дефор-

маций ∆ε 2 = ∆ε 3 = –1/2∆ε 1 (при этом ∆ε 2 = ∆ε 22, ∆ε 3 = ∆ε 33, все остальные компоненты тензора ∆ε равны нулю). Следует подчеркнуть, что в данном слу-

чае главные оси тензоров ε и ∆ε совпадают и неизменны. По заданному тен-

зору ∆ε данного шага нагружения в каждом зерне определяются приращения сдвигов по активным СС, обеспечивающие минимальность приращения суммарного сдвига.

– По накопленным сдвигам (с учетом приращений на рассматриваемом шаге) определяются критические напряжения сдвига в каждом зерне τ(cn) , n = 1, N , после чего легко определяется значение правой части

(4.7) и величина Σ11.

Тейлор применил описанную процедуру для построения кривой одноосного деформирования алюминия (ГЦК-решетка). Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными, что подтверждает приемлемость модели для рассмотрения, по крайней мере, одноосного нагружения.

Таким образом, модель Тейлора [164] сводится к минимизации мощности работы на сдвигах (в пространстве скоростей сдвигов) (4.3) при ограничении (4.2), после чего для определения девиатора напряжений используется закон Шмида с ориентационными тензорами, соответствующими активным системам скольжения.

Постановку задачи минимизации мощности для каждого зерна можно переформулировать следующим образом. Введем обозначения (определив компоненты тензоров в базисе ЛСК и опуская знак симметризации (S)):

......................................................................

A51 = m311 , A52 = m312 , ..., A55 = m315 ,

b = {bi }, b1 =d11 , b2 =d22 , b3 =d12 , b4 =d23 , b5 =d31.

101

Тогда задачу (4.3)–(4.2) можно записать в канонической форме задачи линейного программирования [29]:

min cTx,

Ax = b, (А)

x ≥ 0.

Процедура решения следующая: из решения возможных для данного типа кристаллов систем линейных алгебраических уравнений (А2) (каждая из систем содержит в общем случае 5 уравнений) определяются соответствующие наборы скоростей сдвигов; из них сразу «отбраковываются» решения, содержащие отрицательные компоненты вектора х. Из оставшихся «наборов» определяется удовлетворяющий (А1). Достаточно подробно процедура решения, основанная на технике линейного программирования, рассмотрена в [176].

Отметим, что сформулированной выше классической задаче линейного программирования (А) можно, используя формализм линейного программирования [29], поставить в соответствие эквивалентную ей двойственную задачу:

где λ = {λi }T , λ1 = s11 , λ2 = s22 , λ3 = s12 , λ4 = s23 , λ5 = s31.

Этот двойственный принцип максимума работы, в котором варьируемыми параметрами являются напряжения, был доказан в работах Бишопа–Хилла [73–74], исходя из физики пластичности монокристалла. Задача максимизации мощности (Ад) также представляет собой задачу линейного программирования, решение которой соответствует одной их вершин многогранника текучести; из теории линейного программирования известна эквивалентность этих формулировок.

Заметим, что в собственно модели Тейлора девиатор напряжений вообще отсутствует, напряжения априори полагаются такими, что активизируют все необходимые для реализации предписанной скорости деформации системы скольжения, причем число СС равно числу независимых компонент девиатора напряжений. Компоненты девиатора напряжений определяются на втором этапе, после определения активных СС и скоростей сдвига по ним. Для этого используется закон Шмида, представляющий в этом случае систему линейных алгебраических уравнений относительно компонент девиатора напряжений (число уравнений равно числу активных систем скольжения).

102

Резюмируя, можно отметить следующие проблемы, возникающие при применении модели Тейлора:

–неединственность определения совокупности 5 скоростей сдвига, реализующих предписанный девиатор скоростей деформаций;

–возможное несоответствие напряженного состояния виду нагружения (например, при одноосном нагружении напряженное состояние может отличаться от одноосного);

–невозможность определения тензора напряжений по скоростям девиатора деформаций, поскольку имеем материал со связью (несжимаемость);

–не исключена ситуация, когда минимум мощности достигается на совокупности систем скольжения с числом нетривиальных скоростей

сдвига, меньшем 5 (например, при совпадении систем скольжения с плоскостями и направлениями главных скоростей сдвига). Эта ситуация соответствует нахождению изображающей точки в пространстве напряжений (ИТН) на грани или ребре многогранника текучести. Ряд авторов трактует данную ситуацию как так называемое вырождение системы уравнений. Это представляется не совсем верным. Действительно, в модели Тейлора поиск осуществляется именно в вершинах многогранника, и число уравнений должно соответствовать числу неизвестных компонент девиатора напряжений (случай большего числа упомянут выше). Однако в данном случае (4.3) не дает критерия отбора единственного набора активных систем скольжения и решению с точки зрения минимума мощности сдвига удовлетворяют все ИТН в вершинах многогранника текучести, примыкающие к данной грани или ребру, хотя напряжения при этом существенно отличаются. Последнее возможно, например, в случае чистого сдвига при ориентации одной из систем скольжения, в точности соответствующей сдвигу по данной системе;

–невыполнение условий равновесия на границах зерен;

–сложность реализации модели, связанная с необходимостью определения активных систем скольжения и сдвигов в них, доставляющих минимум суммарному сдвигу. Процедура решения данной задачи минимизации оказывается весьма трудоемкой;

–неучет в модели Тейлора упругих деформаций.

Достаточно грубым является также предположение об однородности деформаций и напряжений в поликристаллическом агрегате, что не соответствует теоретическим (см., например, [156]) и экспериментальным результатам, особенно в случае сложного нагружения. В реальных

103

процессах деформирования микродеформации и микронапряжения неоднородны даже в пределах каждого зерна и субзерна.

Заметим, что часть (п. 2, 3, 4) из указанных выше недостатков в известных авторам работах не отмечалась. Однако и отмеченных ранее оказалось вполне достаточно, чтобы стимулировать исследователей к совершенствованию модели Тейлора. В первую очередь появились работы, направленные на «подведение» под модель Тейлора более глубокой математической «базы», замена интуитивно высказанных положений математически строго доказанными. Значительное внимание

вработах последнего десятилетия уделяется законам упрочнения по системам скольжения. Например, в работе [174] за основу принимается закон упрочнения типа Воуса, который модифицируется для учета взаимодействия дислокаций разных систем скольжения, в том числе аннигиляции дислокаций при изменении направления нагружения. При этом основные положения и гипотезы модели Тейлора остались неизменными. К числу наиболее ярких работ этого направления относятся статьи Бишопа и Хилла [73, 74], подробно анализируемые ниже.

4.3.МОДЕЛЬ БИШОПА–ХИЛЛА

Сточки зрения физических гипотез модель Бишопа–Хилла практически не отличается от модели Тейлора, основное отличие состоит

вее математической строгости, наличии доказательств основных положений, принимаемых в модели Тейлора как постулаты. По существу, данная модель (равно, как и модель Тейлора) является двухуровневой (мезо- и макроуровни). В модели макроуровня используется понятие

поверхности текучести, f (S) = σ s, при этом построение поверхности текучести осуществляется с применением модели мезоуровня; принима-

ются соотношения ассоциированного закона течения, D′p = λ ∂ f . Пола-

∂ S

гается, что упругими деформациями можно пренебречь; пластическое деформирование осуществляется без изменения объема, D´p = Dp. В теории используется также известный в теории пластичности принцип максимума работы: из всех возможных (т.е. не нарушающих условие текучести) напряжений действительное напряжение производит максимальную работу на приращении (пластических) деформаций.

104

В цитируемых работах Бишопа и Хилла доказывается также об-

ратное (в определенном смысле) утверждение: если для заданного dε напряжения Σ доставляют стационарное (или максимальное) значение работе по сравнению со всеми близкими напряжениями Σ*, не выходящими за пределы поверхности текучести, то существует пластический потенциал, и он совпадает с поверхностью текучести; в случае максимальности работы соответствующая поверхность (изопотенциальная или поверхность текучести) является строго выпуклой.

На мезоуровне (уровне зерна) модель использует все основные предположения, принятые в модели Тейлора. Полагается, что упрочнение одинаково в активных и неактивных системах скольжения; однако при этом в активных системах возможно различие критических напряжений по противоположным направлениям скольжения, т.е. условие текучести имеет вид

f (s) = m((S)k ) : s – τ(ck ) = 0, k = 1, 2K.

В оригинальном варианте модели [73, 74] законы упрочнения практически не обсуждаются, поскольку не приводят к изменению структуры теории и ее основных соотношений.

Для монокристалла формулируется и доказывается принцип максимальности (максимума) работы. Пусть dε – приращение деформации, реализующееся в монокристалле, σ – тензор напряжений, вызывающий эту деформацию. Пусть имеется другой тензор напряжений σ *, не нарушающий условие текучести. Через dγ (k) обозначим элементарные

сдвиги по активным системам скольжения, так что dε= ∑m((S)k )dγ(k ) ,

k

причем суммирование ведется только по номерам активных систем скольжения. На активных системах скольжения должно выполняться

условие текучести, т.е. m((S)k ) : σ ≡ τ (k) = τ(ck ) . Обозначим: τ * (k) = m((S)k ) : σ * – сдвиговое напряжение в k-й системе скольжения, соответствующее напряжению σ *. В силу предположения о допустимости σ * (т.е. ненарушение условия текучести) имеем:

105

Отметим также, что знаки dγ (k) и τ (k) в данном случае всегда одинаковы и положительны (каждое из направлений в плоскости скольжения образует собственную систему скольжения). Тогда нетрудно установить следующее соотношение:

dA – dA = σ: dε – σ : dε = (σ – σ ) : dε = ∑(τ(ck ) – τ ( k ) )dγ(k ) ≥ 0,

откуда

Соотношение (4.9) представляет собой математическую запись принципа максимальной работы для монокристалла. Следует отметить, что здесь принцип доказывается, а не постулируется, как это принято в классической теории пластичности.

Отметим, что в физических теориях часто используются понятия геометрически и физически возможных систем сдвигов или при вектор-

ном представлении γ в Rn – соответствующих векторов сдвига. Вектор сдвига γ называется геометрически возможным, если он реализует предписанную пластическую деформацию εp (аналогично – для приращений dγ и dεp или скоростей γ, d p ). Вектор dγ называется физически возмож-

ным, если он реализуем для данного напряженного состояния, т.е. в соответствующих системах скольжения выполняется условие текучести.

Для определения физически и геометрически возможных векторов (приращений) сдвига dγ в теории Бишопа–Хилла используется упомянутый выше принцип минимума сдвига. Пусть dε – задаваемое приращение деформаций, σ – тензор напряжений, инициирующий эту деформацию активизацией приращения сдвига dγ и удовлетворяющий условию текучести. Предположим, что dγ * – вектор приращения сдвига, также эквивалентный dε (т.е. геометрически возможный), однако не обязательно вызываемый некоторым напряжением, удовлетворяющим условию текучести (т.е. не являющийся физически возможным). Заметим, что в силу выполнения условия текучести для тензора σ компоненты τ (k) вектора сдвиговых напряжений τ в любой k-й системе скольжения не превосходят критического напряжения сдвига τ(ck ) . Для геомет-

рически и физически возможного вектора dγ в К активных системах

106

скольжения τ (k) = τ(ck ) , в остальных dγ (l) = 0. При этом в активных систе-

мах скольжения знаки dγ (k) и τ (k) совпадают и положительны. Для геометрически (но не физически) возможного вектора dγ * в каждой системе скольжения |τ (k)| ≤ τ(ck ) , при этом знаки dγ *(k) и τ (k) могут быть произ-

вольными (т.е. и dγ *(k), и τ (k) могут быть как положительными, так и отрицательными).

Сучетом изложенного выше получаем:

σ: dε = τ dγ = ∑ τ(k )dγ(k ) = ∑ τ(k )dγ (k ) ,

Последнее соотношение представляет принцип минимума сдвига Тейлора, расширенный на случай неоднородного упрочнения; иногда его называют принципом минимума работы. Полагая, что упрочнение одинаково во всех системах скольжения, из (4.10) получаем:

представляющее собой математическую запись принципа минимума сдвига Тейлора: сумма абсолютных значений приращений физически и геометрически возможных сдвигов не превосходит суммы абсолютных значений приращений геометрически возможных сдвигов. Из доказательства следует также, что если существует более одной системы физически и геометрически возможных сдвигов, то сумма абсолютных значений приращений сдвигов во всех таких системах будет одинаковой.

Остановимся на соответствии двух сформулированных выше принципов, один из них – принцип максимума работы, второй – принцип минимума работы. При формулировке экстремальных принципов (более широко – вариационных принципов) важно различать параметры, которые можно изменять (перебирать, варьировать). В зависимости от этого величина, экстремальность которой устанавливается, может принимать максимальное или минимальное значение (а может не обла-

107

дать экстремальными свойствами, в каждом конкретном случае последние надо устанавливать). Аналогичным образом дело обстоит и с рассматриваемыми принципами. В первом из них – принципе максимума работы – варьируемой величиной является тензор напряжений, а бесконечно малое приращение деформаций является величиной заданной, неизменной в данный момент процесса. Во втором принципе ситуация «зеркально отражается»: тензор напряжений считается заданным, а варьируемыми параметрами являются бесконечно малые приращения сдвигов. Такие принципы в математической физике и вариационном исчислении называются двойственными (друг другу), из одного с помощью так называемого преобразования Лежандра следует другой, и наоборот (см., например, [20]).

Заметим, что в отличие от предположения Тейлора о том, что деформация реализуется сдвигом не более чем по пяти системам скольжения, здесь такого предположения не вводится, число активных систем скольжения ограничивается только числом возможных кристаллографических систем, что еще более усугубляет проблему неоднозначности определения сдвигов. Нетрудно видеть, что принцип минимума сдвига не позволяет определить единственный набор систем скольжения, он обеспечивает только «отбраковку» векторов сдвига, не являющихся физически возможными.

Хотя в физических теориях пластичности большое внимание уделяется построению моделей монокристаллов, главной задачей является формулировка конститутивной модели представительного объема макроуровня для поликристаллических материалов, без чего невозможны постановка и решение практически важных краевых задач МДТТ. В связи с этим неминуемо встают вопросы о переходе от переменных и соотношений мезоуровня к переменным и соотношениям макроуровня, о процедурах идентификации и верификации разрабатываемых моделей. При этом одним из важных компонентов модели становится принимаемая процедура осреднения.

Физические теории пластичности в их различных модификациях в значительной мере опираются на макроэксперименты. В частности, из макроэкспериментов определяются физические параметры (или часть из них), фигурирующие в описании микродеформирования; правильность основных положений ФТП проверяется в конечном счете также в опытах на макрообразцах. В связи с вышеизложенным в замкнутой ФТП

108

должны присутствовать подходы и соотношения, позволяющие связывать микро- и макропеременные.

При проведении экспериментов и интерпретации результатов

врассмотрение входят напряжения и деформации, осредненные по большому числу мезоэлементов (кристаллитов). Понятно, что интерпретация результатов макроэкспериментов с позиций ФТП существенным образом связана с принимаемой процедурой осреднения. Ниже рассматриваются некоторые аспекты принятого в теории Бишопа–Хилла подхода к осреднению, опирающегося на две основные гипотезы о связи микро- и макропараметров:

а) Измерения макропеременных осуществляются на таких объемах, что распределение ориентаций и упрочнения зерен в различных объемах отличаются несущественно. Иначе говоря, образец полагается однородным в макросмысле. Следует отметить, что это не исключает из рассмотрения анизотропные материалы, поскольку распределение ориентаций не обязательно равномерное, могут реализовываться случаи преимущественной ориентации в определенных направлениях.

Вдальнейшем наименьший объем, обладающий подобными свойствами, будем называть «единичным» кубом (имеющим в действительности форму куба и единичные ребра).

б) Отсутствует корреляция между мезоскопическими напряжениями и положением на плоскости произвольного сечения единичной площади. Данное предположение позволяет представить результирующую мезонапряжений на такой единичной площадке как одиночную силу, приложенную в центре площадки. Выбирая далее декартову ортогональную систему координат, по компонентам определенной таким образом силы нетрудно получить компоненты тензора мезонапряжений, причем последний будет симметричным.

Вслучае, если корреляция между мезонапряжениями и положением

вединичном сечении существует, тензор мезонапряжений не обязательно симметричный. В этом случае уравнение баланса момента количества движения отличается от классического, в рассмотрение необходимо вводить тензор моментных напряжений; иначе говоря, от классического континуума следует переходить к обобщенному (например, континууму Коссера). Заметим, что подобное определение напряжений возможно на различных масштабных уровнях, включая используемый в некоторых вариантах ФТП так называемый «атомный» (представительный объем

109

атомного уровня можно определить как объем совершенной кристаллической решетки, содержащей 103–106 атомов).

Рассмотрим связь кинематических характеристик мезо- и макроуровней, опираясь на геометрический смысл компонент тензора малых деформаций (в случае рассмотрения геометрически нелинейных проблем следует использовать аналогичные соотношения для тензора де-

формации скорости). Будем обозначать через u, ε, σ (U, ε, Σ) мезоско-

пические (макроскопические) перемещения, деформации и напряжения. Тогда приращение тензора малых деформаций для «единичного» куба можно определить следующим образом:

где n – единичная внешняя нормаль к поверхности «единичного куба», S – его поверхность. В случае, если мезоскопические перемещения принимаются непрерывными дифференцируемыми функциями пространственных координат, из (4.12) следует:

где интегрирование ведется по объему единичного куба. Отметим, что в случае произвольных («не нормализованных») размеров представительного объема правые части (4.12) и (4.13) следует делить соответственно на S и V.

Следует подчеркнуть, что мезопараметры представляют собой некоторые осредненные величины по подобъемам представительных мезообъемов. Иначе говоря, и на мезоуровне осуществлен переход к континуальному описанию.

Элементарная работа, совершаемая мезонапряжениями в представительном объеме, определяется соотношением:

вторая часть соотношения справедлива в случае непрерывности и дифференцируемости полей мезоперемещений и выполнения на мезоуровне

110