книги / Структурные механизмы деформирования и разрушения

УДК 539.4 (075.8)

С87

Авторы:

Ю.В. Баяндин, М.В. Банников, В.А. Оборин, О.Б. Наймарк

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук О.К. Гаришин (Институт механики сплошных сред УрО РАН);

канд. техн. наук В.Н. Ашихмин (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Структурные механизмы деформирования и разрушения С87 материалов в объемном субмикро(нано)кристаллическом состоянии: учеб. пособие / Ю.В. Баяндин, М.В. Банников, В.А. Оборин, О.Б. Наймарк. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та,

2016. – 54 с.

ISBN 978-5-398-01722-9

Рассмотрены методы высокоточных исследований поверхностей, в частности микроструктурных исследований металлов и сплавов, подверженных деформированию в режимах много- и гигациклового нагружений.

Предназначено для магистров, изучающих курс «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (направление 01.04.00 «Прикладная математика и информатика»), а также студентов и аспирантов, специализирующихся в области физикитвердоготелаиматериаловедения.

УДК 539.4 (075.8)

2

3

1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРНОГО СКЕЙЛИНГА

Разработка методики количественной оценки морфологии поверхности является одним из наиболее интенсивно развиваемых направлений структурного анализа. Это связано с тем, что состояние поверхности материала полностью определяется его внутренней структурой и, как следствие, характером его отклика на внешнее воздействие, что обусловливает высокую прикладную значимостьструктурныхисследований.

Исследование структурного скейлинга (масштабной инвариантности) является актуальной задачей для многих научных направлений. К ним относится изучение морфологии поверхностей разрушения различных материалов, включая горные породы, стеклообразные системы, керамики, металлы и сплавы и др. Перспективным является анализ структурного скейлинга при описании нелинейных процессов, происходящих при пластической деформации металлов и сплавов, где коллективный характер эволюции дефектной подсистемы обусловливает появление новых пространственных масштабов, отвечающих длиннокорреляционнымвзаимодействиям.

Для характеристики рельефа поверхности были предложены несколько методовипараметров. Так, Бартонввелвкачестветакой величины коэффициент шероховатости трещины (joint roughness coefficient) для одномерного профиля. Его значение варьируется от 0 для гладкого профиля до 20 для шероховатого. Однако коэффициент шероховатости трещины и другие статистические параметры могут быть использованы только для описания стационарной шероховатости [1] и их значения зависят от масштаба наблюдения, вследствие чего возникла необходимость определениямасштабно-инвариантныхпараметров.

Концепция фрактальности или самоподобия, предложенная Мандельбротом в середине 80-х гг. прошлого века, открыла

4

новые возможности в описании морфологии нерегулярных поверхностей. Данный подход позволяет описывать эффекты самоорганизации и длиннокорреляционные взаимодействия элементов структуры различной природы (физической, химической, биологической и др.). Изучение структурного скейлинга на основе фрактального анализа позволяет количественно описать микроструктуры и составляющие их элементы, определить пространственные инварианты, характеризующие структуру материала, установить истинную площадь соприкосновения фаз, истинные длины «шероховатых» линий и поверхностей и определить другие структурные параметры, связанные со свойствами материала.

Само понятие «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1970-е гг. Термин происходит от латинского fractus – прилагательного от глагола frangere − ломать, разбивать на части. Иначе говоря, фрактал − это множество, части которого подобны целому.

Классическим примером природного фрактального объекта служит береговая линия. С трудностями при измерении длины береговой линии Британии столкнулся в начале нашего века английский гидромеханик Ричардсон при попытке заменить линию ломаной. Оказалось, что при уменьшении масштаба измерения длина ломаной резко возрастает. Мандельброт предложил аппроксимировать степень увеличения длины береговой линии в зависимости от масштаба степенным законом. Основной характеристикой фрактального объекта является фрактальная размерность Хаусдорфа

D lim ln N (δ) ,0 ln(1δ)

где D − фрактальная размерность; N − количество характерных объектов (частей) фрактала заданного размера .

5

Следовательно, если изучаемый объект близок к фракталу, то зависимость числа кубов, занятых объектом, от размера элементарной ячейки будет расти в степенной зависимости. Авдважды логарифмических осях данная зависимость будет стремиться к прямой линии (рис. 1.1). Фрактальная размерность определяетсякактангенсугланаклонаэтойлинии.

Рис. 1.1. Измеренная береговая линия Британии как функция шага δ (км) – длины стороны δ×δ квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте

Согласно Мандельброту, для фрактальных объектов фрактальная размерность должна быть больше топологической D>Dt. Этому неравенству можно придать определенный физический смысл. Оно характеризует усложнение множества. Если это кривая с топологической размерностью, равной 1, то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум. Следовательно, кривая, состоящая из линий размерностью 1, как целостный объект не сможет существовать вне плоскости.

По существу определения фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.

В реальном мире чистых, упорядоченных фракталов, как правило, не существует, и можно говорить лишь о фрак-

6

тальных явлениях. Их следует рассматривать только как модели, которые приближенно являются фракталами в статистическом смысле.

В последнее время развивается продолжение фрактальной теории – мультифрактальная. Мультифрактал – квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Естественно, что реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами.

Многие экспериментальные данные обладают фрактальной статистикой, анализ и моделирование которой могут быть произведены с помощью методов фрактального анализа такой характеристики, как фрактальная размерность.

Фракталы представляют собой математическую модель нерегулярной поверхности, описываемой величиной фрактальной размерности D. Если некоторую структуру можно разбить на N подобных друг другу и самой структуре частей (структурных единиц) 1/ ( <1) меньшего размера и с каждой структурной единицей на любом масштабе можно сделать то же самое, то размерность такой структуры вычисляется по формуле

чтоподразумеваетстепеннуюзависимость N ~ D (скейлинг) [2]. Различают два вида фракталов: самоподобные и самоафинные фракталы (рис. 1.2). При изотропном увеличении самоподобной фрактальной поверхности увеличенная область будет статистически подобна всей поверхности (рис. 1.2, а). Для самоафинных фракталов наблюдается анизотропия скейлинга: увеличенная область будет статистически повторять всю поверхность, только если увеличения в направлениях, параллельном и перпендикулярном плоскости поверхности, будут

разными (рис. 1.2, б) [1].

7

Рис. 1.2. К определению самоподобных (а) и самоафинных фракталов (б) [1]

На сегодняшний день разработано достаточно большое число методов измерения фрактальных размерностей, которые условно можно разделить на геометрические (метод островов среза, фурье-анализ профилей, метод вертикальных сечений, подсчет ячеек, метод расширения, метод смены центров и др.) и физические (абсорбционные методы, порометрия, вторичная электронная эмиссия, малоугловое рассеяние электронов, скинэффект и др.). Физические методы требуют применения сложной аппаратуры и последующей усложненной интерпретации результатов экспериментов, поэтому непосредственно для параметризации структур материалов они используются сравнительно редко [2].

Для нахождения значения фрактальной размерности обычно производят анализ одномерных профилей поверхности, взятых в различных направлениях. Применяемые при этом алгоритмы для нахождения фрактальной размерности D относительно просты, но сильно выраженная во многих случаях неоднородность рельефа затрудняет использование полученной величины в качестве универсальной характеристики поверхности. В связи с этим наиболее корректным представляется использование методов вычисления фрактальной размерности и структурных параметров, основанных

8

на анализе трехмерных образов поверхности, так как полученные в этом случае величины отражают корреляционные характеристики всейисследуемойповерхности, анеотдельновзятогопрофиля.

Ниже представлен обзор геометрических методов, применяемых для вычисления фрактальной размерности по одномерным профилям и по трехмерным образам поверхности.

Метод вертикальных сечений (the yardstick method)

состоит в исследовании зависимости длины профиля поверхности L от масштаба измерения δ (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К методу вертикальных сечений [3]

При этом зависимость длины профиля от масштаба измерения для кривых, обладающих свойством фрактальности, описывается уравнением

где L − длина профиля; δ − масштаб измерения; L0− константа; D′ − размерность профиля; D − фрактальная размерность поверхности. Таким образом, между фрактальной размерностью самоафинной поверхности D и размерностью ее профиля D′ выполняется соотношение D = D′ + 1.

Наибольшая статистическая достоверность достигается при анализе нескольких ориентаций профилей на обрабатываемой поверхности [3].

Зависимость измеряемой величины от масштаба рассмотрения (свойство структурного скейлинга или масштабной инвариантности), проявляющаяся в наличии линейного участка на логарифмическом графике функции (1.2), имеет место на ограниченном спектре масштабов δ. Нижняя граница режима

9

структурного скейлинга обычно обусловлена разрешающей способностью прибора, верхний предел связан с размером характерного элемента структуры (рис. 1.4): так называемый эффект конечного размера (скейлинг ограничен сверху в общем случае размером образца) [3]. Для фрактальных объектов нижняя граница области, где наблюдается масштабная инвариантность, определяется разрешающей способностью метода или прибора, тогда как верхний предел обусловлен структурными свойствами

[3, 4].

Рис. 1.4. Свойство скейлинга на некотором спектре масштабов

Данный метод, использующийся для анализа самоподобных поверхностей, однако, неприменим к самоафинным профилям (сечениям самоафинных поверхностей). С помощью метода вертикальных сечений (the yardstick method) при исследовании самоафинного профиля на малых масштабах можно зарегистрировать наличие скейлинга, тогда как на больших масштабах фрактальная размерность профиля окажется равной эвклидовой.

Одним из вариантов метода вертикальных сечений является измерение соотношения RL ( ) LL( ') , где L ' − длина проекции профиля на плоскость, параллельную поверхности,