книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

1.3.Методы определения собственных частот

исобственных форм упругих систем

1.3.1. Аналитическое (точное) решение

Для уравнения вида (C 2 A) 0 определяются фундаментальные функции i , а константы ui общего решения

определяются из удовлетворения краевым условиям, условие существования решения определит спектр собственных частот. При получении точного решения задачи собственных колебаний упругих систем с несколькими пространственными координатами используется метод разделения переменных, то есть фундаментальные функции разыскиваются в виде:

1.3.2. Итерационный метод

Метод заключается в построении последовательности функций, сходящихся к одной из собственных форм колебаний. Для построения итерационной последовательности для уравнения

где C 1 – оператор, обратный оператору С. Решая последовательность краевых задач, определяем последовательность функций k , сходящейся к одной из собственных форм. Если

на функцию 0 не накладываются дополнительные условия

(кроме обычных условий: непрерывность функции и ее производных, удовлетворяющих граничным условиям), то последовательность сходится к первой собственной форме. Ее подстановка в исходное уравнение определит первую собственную часто-

31

ту. Последующие формы и частоты определяем, используя свойство ортогональности собственных форм. То есть выбор

первоначального приближения должен удовлетворять условию вида:

где (1)k первая собственная форма. Повторяя данную процеду-

ру n раз, определим n свободных форм и, следовательно, собственных частот.

1.3.3. Метод Релея

Для уравнения свободных колебаний (C 2 A) 0 исполь-

зуем свойство определенного интеграла, известное как основная лемма вариационного исчисления

тогда, если f (r ) 0, а g(r ) любая произвольная функция, справедливо

где i одна из собственных форм колебаний или любая линейная

комбинация, которой является общее решение. Тогда

C[ ] dV

V

Метод Релея состоит в том, что в качестве выбирается функция, удовлетворяющая граничным условиям. Дробь Релея достигает максимального значения, когда в качестве выбира-

32

ется первая собственная форма, а значения функционала дает первую собственную частоту. Таким образом, решение задачи собственных колебаний упругих систем сводится к решению вариационной задачи для функционала в виде дроби Релея. Для получения высших форм и частот собственных колебаний необходимо удовлетворять условию ортогональности форм колебаний

при этом i = 1, …, k, k–1, где k – номер определяемой формы и частоты колебаний. А задача математически соответствует исследованию функционала в виде дроби Релея на условный экстремум.

Дополнительные условия – условия ортогональности собственных форм (условия изопериметрического типа).

1.3.4.Прямые методы

Кпрямым методам относятся приближенные методы решения краевых задач, когда решение представляется в виде:

тельность аппроксимирующих функций (удовлетворяющих граничным условиям, линейно не зависимые, дифференцируемые, непрерывные), так называемые базисные или координатные функции (не обязательно ортогональные). Представление такого вида используют методы Ритца, Галеркина, сеточные методы: конечно-разностный метод (КРМ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ).

Рассмотрим реализацию прямого метода решения задачи о собственных колебаниях упругой системы на примере метода конечного элемента.

33

Конструкцию представим в виде совокупности конечных эле-

N

ментов (V Vi , где N – число конечных элементов). В пределах

i 1

конечного элемента аппроксимируем перемещения U r в виде:

ции конечного элемента. Подставляем используемую аппроксимацию в уравнение свободных колебаний, используя при этом свойство определенных интегралов, рассмотренное при анализе метода Релея, тогда

С 2 А 0

N

Ni С 2 А Niui N j dV 0 i, j 1, ..., N

i 1 Vi

или в матричном виде (классическая задача линейной алгебры)

где [C] – матрица жесткости упругой системы (матрица коэффициентов):

Vi

где [A] – матрица масс упругой системы (матрица коэффициентов); {u} – вектор собственных форм колебаний, 2 – собственные частоты. Спектр собственных частот определяется из решения уравнения

34

корни уравнения определяют дискретный спектр собственных частот исследуемой упругой системы. После определения спектра собственных частот из уравнения (1.3.4.3) определяем собственные формы. Так как определитель системы равен 0, то система переопределена, поэтому собственную форму определяем с точностью до постоянного коэффициента. Обычно вектор {u} нормируется на значение какой-либо компоненты (например u1 ).

Тогда получается ui 1 , одно из уравнений в системе (1.3.4.3)

исключается и, решая систему (N – 1) линейных уравнений, определяются оставшиеся компоненты собственной формы колебаний соответствующей частоты.

1.3.5. Численные методы, используемые при анализе собственных колебаний упругих систем МКЭ

Метод половинного деления при определении собственных частот: уравнение (C 2 A) 0 решается методом половинного деления, при этом локализуются необходимые частоты i ,

i = 1, …, kl, где k – число обобщенных перемещений узла, l – количество узлов сетки.

Метод вращений Якоби. Матрицы [C] и [A] умножаем на матрицу [R] вида:

Угол выбирается таким образом, чтобы после умножения матриц [C][R] и [A][R] компоненты Cij и Rij новой матрицы были

равны 0. Последовательно выполняя операцию, приводим матрицы [C] и [A] к диагональному виду. Система расщепляется на независимые уравнения, и собственные частоты определяются элементарно.

Использованиеитерацийдляполучения собственных векторов.

35

где – так называемый параметр, определяющий норму сдвига, частоту, к которой сходится процесс (используем приближенную оценку, например, полученную методом Релея). А вообще методов достаточно много (метод быстрых вращений Гивенса, алгоритм Ланцома, одновременной итерации, метод минимизации и др.).

1.4. Демпфирование колебаний

Демпфирование колебаний в механических системах связано с необратимыми в энергетическом смысле процессами при деформировании материала.

Внешние проявления необратимых потерь энергии:

–затухание свободных колебаний;

–затраты энергии на поддержание установившихся коле-

баний;

–ограниченная амплитуда колебаний при резонансе;

–затухание воли напряжений при прохождении через материал;

–запаздывание установившихся деформаций относительно внешней периодической силы (сдвиг фазы);

–несовпадение кривых деформирования при нагружении

иразгрузке (петля гистерезиса);

–повышение температуры тела, отдача тепла в окружающую среду.

Причины необратимых потерь энергии при колебаниях:

–потери при взаимодействии с окружающей средой (воздухом, аэроили гидродинамическим потоком, так называемое «внешнее» трение);

–потери, связанные с внутренним трением (трение по поверхностям раздела фаз, слоев, деталей и элементов конструкций);

36

– потери, связанные с неупругим деформированием и разрушением материала (образование зон пластичности и вязкоупругое поведение материала, затраты энергии на образование повреждений, пор, трещин).

Демпфирование, рассеивание энергии зависит от скоростей движения точек механической системы (если скорости отсутствуют, то отсутствует рассеивание, следовательно, при анализе статических задач с этим явлением не сталкиваются), поэтому формально уравнение движения системы с учетом диссипации можно представить в виде

где В – диссипативный оператор.

Рассмотрим основные типы диссипативных операторов. «Внешнее» трение связано с силами сопротивления частиц

внешней среды. Частицы жидкости или газа колеблются вблизи поверхности конструкции примерно так же, как и сама конструкция, а усилия, действующие со стороны окружающей среды, по конструкции будут пропорциональны силам инерции. Тогда справедливо представление диссипативного оператора в виде:

где – искомая константа (коэффициент диссипации). «Внутреннее» трение связано с взаимодействием, давлением

частиц материала друг о друга, т. е. пропорциональным силам упругости. Тогдадиссипативный оператор можно представить в виде

где – положительная константа (коэффициент внутреннего

трения).

Неупругое деформирование и разрушение материала предполагает учет истории нагружения материала и ее влияния в каждый момент времени. Следовательно, диссипативный оператор

37

должен суммировать всю предысторию, то есть быть интегральным оператором

где R(t, ) – функция, ядро наследственного интеграла, описы-

вающее вязкоупругое поведение материала (конкретные виды ядер рассматриваются в теории вязкоупругости).

Таким образом, когда в материале действуют разнообразные диссипативные механизмы, уравнение движения механической системы может иметь следующий вид:

Для получения замкнутой системы уравнений уравнение (1.4.5) дополняется граничными и начальными условиями.

1.4.1. Количественные меры диссипации

38

1.4.3. Логарифмический декремент колебаний

Логарифмическим декрементом колебаний называют параметр:

где Zn – амплитуда колебаний на n-м цикле колебаний.

Рис. 1.9. Изменение амплитуды при демпфировании

39

Установим связь с коэффициентом поглощения :

2

1.4.4.Методы решения нестационарных задач механики

сучетом демпфирования

Основные методы решения те же, что и при анализе динамики упругих механических систем.

1.4.5. Установившиеся колебания

Рассмотрим уравнение движения системы с демпфированием

На систему действует гармоническая внешняя нагрузка

Если используются гармонические колебания, то решение можно разыскивать в виде

u u0 (r )cos( t ) u'(r )cos t u''(r )sin t, (1.4.5.3)

где – сдвиг по фазе, запаздывание.

Подставляя решение в уравнение движения, получим

Группируя общие слагаемые при тригонометрических функциях, получим два операторных уравнения:

решая которые относительно u и u , определяем установившиеся колебания механической системы с демпфированием.

40