книги / Применение теории вероятностей в расчётах систем электроснабжения

УДК 621.311.153.001.57

Степанов В. П., Слепов Ю. В., Миронов С. Ф. Применение теории вероятностей в расчетах систем электроснабжения: Конспект лекций. — Куйбышев: КПтИ, 1986. — 48 с.

Изложены основные понятия и теоремы теории вероятно­ стей в практическом применении к задачам электроснабжения. Основное внимание уделено использованию статических моде­ лей теории вероятностен — моделям «случайное событие» и «случайные величины».

Конспект лекцш! предназначен для студентов заочного фа­ культета специальности 0303, изучающих курс «Математи­ ческие задачи электроэнергетики».

Работа подготовлена кафедрой «Электроснабжение про­ мышленных предприятий, городов и сельского хозяйства» Куйбышевского политехнического института.

ВВЕДЕНИЕ

Вероятностные модели все шире входят в инженерную практику расчетов систем электроснабжения (СЭС) промыш­ ленных предприятии [1, 2]. Это объясняется тем, что случай­ ным явлениям присуши объективно существующие закономер­ ности. Теория .вероятностен оперирует характеристиками, от­ ражающими эти закономерности.

В конспекте лекции рассматриваются две основные моде­ ли теории вероятностен — «случайное событие» и «случайные величины» — в практическом приложении к важнейшим за­ дачам электроснабжения: к определению расчетных харак­ теристик графиков электрических нагрузок и мощности ком­

Структура лекции обусловлена особенностями самостоя­ тельной подготовки студепта-заочника и учебным планом спе­ циальности 0303. Вначале излагаются основные понятия и теоремы, затем практическое .применение их к задачам элект­ роснабжения. Примеры в лекциях подобраны таким образом, чтобы пояснить методические приемы решения вероятностных задач электроснабжения.

Под системой' электроснабжения (СЭС) понимается сово­ купность устройств, предназначенных для выработки, преоб­ разования, передачи и распределения электроэнергии по по­ требителям. К таким устройствам относятся генераторы (Г), трансформаторы (Т), линии электропередач (ЛЭП) и другие элементы СЭС.

Во время работы элементы СЭС электрически связаны друг с другом (рис. 1). Генераторы (Г|. IV Г3), установлен­ ные на электрических станциях, вырабатывают электроэнер­ гию напряжением 6 (10) кВ. Передача большой мощности таким напряжением на дальние расстояния неэкономична ввиду значительных потерь как самой мощности ДР-. так и электроэнергии ДЭ в ЛЭП. Для уменьшения ДЭ напряжение повышают до величины 35—220 кВ. С этой целью устанавли­ вают повышающие трансформаторы Т-1. На повышенном на­ пряжении электроэнергия поступает к промышленному пред-

3

номинальную мощность РцОМ и, соответственно, меньшее £/иом. Для питания массовых ЭП устанавливают цеховые трансфор­ маторы Т-3, понижающие напряжение с 20, 10 (6) до 0,38 или 0,66 кВ.

Рациональность сооружения и эксплуатации СЭС оцени­ вается подряду критериев, важнейшими из которых являются приведенные годовые затраты 3 на СЭС (стоимость элемен­ тов СЭС и потерь электроэнергии), качество электрической энергии, надежность питания ЭП.

Величина 3 определяется значениями активной (Р ) и ре­ активной (Q) мощностей, которые будут протекать по эле­ ментам СЭС. Изменения Р и Q происходят случайным обра­ зом, что обусловлено отсутствием детерминированных связей между работающими ЭП. Поэтому возникают задачи иссле­ дования и расчета Р и Q в диапазоне их изменения, расчета величин, характеризующих разброс Р и Q, определения рас­ четных значений Рр и Qp, по которым следует производить выбор сечения проводников, мощность трансформаторов, ком­ пенсирующих устройств.

Так как Р и Q изменяются случайным образом, то и изме­ нения основных показателей качества электроэнергии (ПКЭ) — отклонения (Vt), колебания (бV), иесинусоидаль-

•1

Иость и несимметрии напряжения — также случайны. Несоот­ ветствие ПКЭ ГОСТ приводит к снижению производительно­ сти механизмов, срока службы элементов СЭС и качества вы­ пускаемой продукции. Для оценки соответствия ПКЭ ГОСТ и выбора способов и технических средств для их нормализации необходимо произвести исследования напряжения в реальном диапазоне его изменения.

Надежность работы отдельного элемента или всей СЭС определяется множеством случайных факторов, при этом от­ каз отдельного элемента или всей СЭС ведет к перерыву в электроснабжении ЭП. Последнее может привести к гибели (травматизму) обслуживающего персонала, к недовыпуску продукции или к браку. В инженерной практике указанные выше задачи решаются с применением двух основных моде­ лей теории вероятностей — «случайное событие» и «случай­ ная величина». Практическое значение вероятностных моде­ лей заключается в том, что они позволяют по известным ха­ рактеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики сложных явлений п избежать необоснованно завышенных расчетных величии и показателей.

1. МОДЕЛЬ «СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ»

1.1. О Б Щ И Е П О Л О Ж Е Н И Я

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях. Случайность отража­ ет объективно существующую реальность, которая возника­ ет под воздействием бесчисленного множества взаимосвязан­ ных факторов, не поддающихся учету. Под случайным явле­

5

ты опытов — это изображенные на рис. 2 и 3 в качестве при­ мера две фиксированные последовательности дискретных зиа: ченнй нагрузки Р группы работающих ЭП (ступенчатые кри­ вые 1 и 2) и непрерывные регистрации U{i) на шинах траисформатораг питающего группу ЭП (кривые 1, 2. 3, 4, 5 на рнс. 3), соответственно. Характеристикой результатов опытов являются события. Для количественной оценки появления со­ бытий и сравнения событий между собой в теории вероятно­ стей вводятся следующие понятия.

1. Вероятность (е) — число, показывающее степень воз­ можности появления какого-либо события А в результате опытов.

2. Достоверное событие — событие, которое в результа­ те опытов обязательно появится. Вероятность появления та­ кого события равна единице:

6

пряжения (U2) на шинах цехового трансформатора при нор­ мально работающей СЭС (рис. 4).

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИИ

Под случайным событием (СС) понимается такое событие, которое в результате опытов может появиться или не появить­ ся. Вероятность появления (не появления) такого события заключена между нулем и единицей:

0<е(А ) <1.

В теории вероятностей СС классифицируются следующим образом.

1.Несовместные события. События Ai и Л2 называются несовместными, если в результате опыта они не могут по­ явиться вместе.

2.Совместные события. События Ai н А2 называются со­ вместными, если в результате опыта они могут появиться вместе.

3.Независимые события. Событие А| называется незави­ симым от события А2, если вероятность события А) в резуль­

тате опыта е(А\) не зависит от того, произошло событие А2 или нет.

4. Зависимые события. Событие Ai называется зависимым от события А2 если вероятность события А| в результате опыта e(Ai) меняется в зависимости от того, произошли событие А2-шш нет.

5. Равновозмооюные события. События к\ и А2 называются равповозможпыми, если вероятности появления их в резуль­ тате опыта одинакова:

е(А ,)= е(А 2),

6. Противоположные события. Два события А| и А2 назы­ ваются противоположными, если они являются несовместны­ ми н образуют полную группу событий.

Полная группа событий — важнейшее понятие теории ве­

обязательно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма вероятностей СС, составляющих полную группу, раина едини­

i

Практическое значение условия полной группы событий заключается в том, что это условие позволяет осуществить проверку правильности решения задач и значительно сокра­ тить время на их решение.

Непосредственный подсчет вероятности е появления ожи­ даемого случайного события А в результате опыта (статисти­ ческая вероятность) осуществляется по выражению-

где m — количество ожидаемых случайных событий, наблю­ даемых в результате опыта; п — общее количество случайных событий, наблюдаемых в результате опыта.

мальная работа любого элемента СЭС (выключателя (В), ка­ бельной липни (Л) Гтрансформатора (Т)) — события Аь а не работа (отказ) соответствующих элементов СЭС в результа­ те аварийного или преднамеренного отключения — событн'е

выключателя н линии, выключателя и трансформатора, линии и трансформатора, выключателя, линии, трансформатора (со­ бытия А2в п А2л; А2в и А2т; А2л и А2т; А2и, А2л и А 2т соответст­ венно) являются совместными событиями. Это объясняется тем, что нормальная работа участка СЭС может нарушиться не только в результате отказа какого-либо одного элемента, но и двух или трех элементов одновременно.

8

появилось два события — А| и А2. Событие Ai — ожидаемое, тогда согласно выражению (1.3) вероятность появления со­ бытия Aj

е(А|) = —\— = 0,5.

Очевидно, вероятность появления события А2 также равна 0,5. По смыслу события At и А2 являются несовместными, противоположными, равновозможнымн и образуют полную группу событий:

2 <?(А,) =0,5 + 0,5=1. /-=i

В практических расчетах выражение (1.3) для подсчета вероятностей появления ожидаемого события применяется редко, так как в большинстве аадач электроснабжения СС нс являются равновозможными. Поэтому используется геометри­ ческая вероятность: отношение меры области, в которую мо­

вероятности определяются соотношениями

У

которые называются коэффициентами включения Кв и отклю­ чения Ко соответственно. Включенное и отключенное состоя­ ния ЭП — события несовместные и противоположные, поэто­ му

2

У] е,-= 0,3-1-0,/ = 1.

Это привело бы к ошибке, гак как включенное и отключенное состояния ЭП — события неравновозможные (КвЭ^Ко; 0,3=т^

ф0,7).

(3-го или 4-го) ЭП, так как вероятность включения 1-го ЭП

е(А,) = - ^ - = К в, ‘и

определяется технологией производственного процесса и не зависит от включения 2-го (3-го или 4-го) ЭП. Последнее справедливо также для событий отключения ЭП. Исключение составляют ЭП автоматизированных линий, поточных и ро­ ботизированных производств.

П р и м е р 8. Для графика U(i), изображенного на рис. 8, определить вероятность события, заключающегося в появле­

Вероятность события, заключающегося в появлении U ниже указанного уровня, также представляет собой относительную суммарную продолжительность напряжения Uy-, но ниже указанного уровня:

10