книги / Общая физика. Ч. 1 Механика

3. Измерьте величину угловой скорости прецессии Ω при различных значениях момента M (при различных значениях плеча h). Необходимо сделать 3–4 измерения для каждого значения скорости вращения ротора (рекомендуемые значения скорости вращения: 2000, 4000 и 6000 об/мин). При устойчивой работе моторчика (ω = const) в пределах ошибок измерений должно соблюдаться следующее условие:

4. Определите величину < L > – среднее арифметическое значение величины L для каждого значения скорости вращения ротора ω. Результаты занесите в таблицу.

5. Вычислите момент инерции гироскопа по формуле I = L/ω. В пределах ошибок измерений значения I для всех ω должны совпадать. Результат измерения запишите в стандартном виде:

I = (< I > ± ∆I ) кг·м2, ε = … % при α = 0,95.

Контрольные вопросы и задания

1.Почему знание массы тела является недостаточным для описания его инерционных свойств?

2.Где должна быть приложена и как направлена внешняя сила, чтобыеемоментвызвалмаксимальноеугловоеускорениетела?

71

3.В чем состоит физическая суть гироскопического эффекта и возникающих при этом гироскопических сил? Как они согласуются с законами вращательного движения?

4.Назовите факторы, которые влияют на скорость регулярной прецессии гироскопа с неподвижной точкой опоры.

5.Объясните поведение быстро вращающегося китайского волчка, исходя из гироскопического эффекта.

Задания для отчета по лабораторной работе

1.Проведите оценку порядка величины момента импульса колеса взрослого велосипеда, если скорость велосипеда 30 км/ч.

2.Чему должен быть равен момент силы, который следует приложить к рулю, чтобы повернуть велосипед на угол 1 рад за 0,1 с?

3.Два маленьких шарика массами m1 = 40 г и m2 = 120 г соединены стержнем длиной l = 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню

ипроходящей через центр масс системы. Определите импульс

имомент импульса системы. Частота вращения равна 3 с–1.

4.Двигатель равномерно вращает маховик. После отключения двигателя маховик в течение времени t = 30 с после N = 120 оборотов останавливается. Момент инерции маховика I = 0,3 кг/м2. Принимая, что угловое ускорение маховика после отключения

72

6.Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения твердого цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения?

7.Твердый цилиндр массой m скатывается без скольжения по плоскости длиной l, наклоненной под углом α к горизонту (трением пренебречь). Чему равна скорость центра масс цилиндра в нижней части плоскости? Чему равна конечная скорость цилиндра, если он соскальзывает по плоскости без вращения?

8.Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой 0,5 т от 0 до 120 мин–1? Массу маховика можно считать распределенной по ободу диаметром 1,5 м. Трением пренебречь.

9. Вертикальный столб высотой h = 5 м подпиливается у основания и падает на землю. Определите линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю.

10.По условиям предыдущей задачи определить, какая точка столба будет в любой момент падения иметь такую же скорость, какую имело бы тело, падая с такой же высоты, как

иданная точка?

11.Однородный круглый диск массой m = 5 104 кг и радиусом R = 2 м является стабилизатором корабля массой M = 107 кг. Угловая скорость вращения корабля равна 15 об/с. Чему равен момент импульса стабилизатора?

12.В предыдущей задаче ширина корабля D = 20 м, эффективный радиус поперечного сечения корабля R = 10 м. Время свободного поворота при крене (считая крен от –20° до +20°) составляет 12 с. Оцените величину момента импульса корабля при таком крене. Каким путем гироскопический стабилизатор может помочь уменьшить угол крена?

13.Волчок массой m = 0,5 кг, ось которого наклонена под уг-

лом α = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии I = 2 гм2, угловая скорость вращения вокруг этой оси ω = 350 рад/с, расстоя-

73

ние от точки опоры до центра масс волчка l = 10 см. Найти угловую скоростьпрецессииволчка.

14.Гироскопические эффекты используются в дисковых мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун) вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω и одновременно катится по горизонтальной опорной плите. Такое вращение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа (бегуна). При этом возрастает сила давления бегуна на горизонтальную плиту, по которой он катится. Эта сила растирает и измельчает материал, подсыпаемый под каток на плиту. Вычислить силу давления катка на плиту, если радиус бегуна r = 50 см, а скорость 1 об/с.

15.Диск радиусом r, вращающийся вокруг собственной оси

сугловой скоростью ω, катится без скольжения в наклонном положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время T. Определить T и радиус окружности R, если R > r, а угол

между горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен α.

16.Гироскоп в виде однородного диска радиусом R = 8 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 300 рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа Ω = 1 рад/с. Определить расстояние I от точки опоры до центра масс гироскопа.

17.Гироскоп массой m = 1 кг, имеющий момент инерции

I = 4,905 10–3 кгм2, вращается с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Расстояние от точки опоры до центра масс l = 5 см. Угол между вертикалью и осью гироскопа α = 30°. Найти модуль угловой скорости прецессии Ω.

18. Симметричный волчок, ось которого наклонена под углом α к вертикали (рис. 3), совершает регулярную

Рис. 3 (к задаче 18) прецессию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О непод-

74

вижна. Определить, под каким углом β к вертикали направлена сила, с которой волчок действует на плоскость опоры.

19.Какова физическая природа подъема центра масс быстро вращающегося китайского волчка с последующим его опрокидыванием? Качественно объясните поведение этой детской игрушки, исходя из теории простого гироскопа.

20.Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет момент инерции I, угловую скорость вращения ω, расстояние от точки опоры до центра масс волчка равно l. В каком направлении будет прецессировать волчок?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ

МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы – изучение явления вязкого трения и измерение коэффициента вязкости жидкости.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с ис-

следуемой жидкостью, металлический шарик, миллиметровая линейка, микрометр, измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

Вязкость газа или жидкости проявляется в том, что возникшее в среде упорядоченное движение молекул после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Это происходит потому, что между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями, действуют силы внутреннего (вязкого) трения, которые стремятся уравнять скорости слоев жидкости.

75

Сила вязкого трения газов и большинства жидкостей подчиняется закону, установленному И. Ньютоном. Выделим мысленно в потоке жидкости участок ∆S плоскости, в пределах которой скорость упорядоченного движения молекул U(z), зависящая от координатыz, постоянна (рис. 1).

Сила вязкого трения F, действующая на слой, лежащий выше участка ∆S, будет направлена навстречу движению жидкости и пропорциональна быстроте изменения скорости вдоль оси z, т.е. перпендикулярно направлению скорости), а также величине площадки ∆S. Количественно это выражается формулой (1).

где η – параметр, носящий название динамической вязкости.

С молекулярной точки зрения происхождение сил вязкого трения объясняется следующим образом. Молекулы жидкости или газа участвуют одновременно и в упорядоченном и в хаотическом (тепловом) движении, тепловое движение вызывает перемешивание слоев среды, движущихся с разными скоростями. При этом импульс упорядоченного движения молекул передается от слоев с большей скоростью к слоям с меньшей скоростью. Согласно второму закону Ньютона отличная от нуля скорость изменения импульса выделенного слоя среды означает наличие приложенной к нему силы. Эта сила и называется силой вязкого трения.

76

Рассмотрим упрощенный расчет коэффициента вязкости в газах. Будем считать скорости теплового движения всех молекул одинаковыми и равными средней тепловой скорости < v >. Само же тепловое движение представим схемой, где все молекулы разделены на шесть одинаковых потоков, параллельных координатным осям. Таким образом, в положительном и отрицательном направлении оси z одинаковое количество молекул, равное одной шестой их общего числа. За время ∆t площадку ∆S пересекут те молекулы газа, которые находились на расстояниях меньших, чем ∆z = < v >∆t от поверхности. Поэтому число молекул, пересекающих площадку за время ∆t,

где п– концентрация молекул, ∆t – промежуток времени, в течение которого происходит перенос молекул, число которых равно ∆N.

Молекулы газа участвуют кроме теплового движения в упорядоченном движении со скоростью U, которая является непрерывной функцией z. На рис. 1 вектору U соответствует положительное направление оси у. Каждая молекула, пересекая за счет теплового движения поверхность ∆S, переносит импульс упорядоченного движения mU. Поэтому импульс, перенесенный всеми молекулами за время ∆t через площадку ∆S в положительном направлении оси z,

∆Р+ = mU+∆N,

где U+ – характерное значение скорости упорядоченного движения молекул вблизи нижней границы выделенного слоя, т – масса одной молекулы, a ∆N определяется формулой (2). Аналогично импульс, переносимый в отрицательном направлении оси z,

∆Р–= mU– ∆N.

Результирующая у – компонента импульса, перенесенная за время ∆t через площадку ∆S,

77

∆Р = ∆Р+ – ∆Р– = m (U+ – U–) ∆N= 1/6 п m<v>(U+ – U–)∆S∆t. (3)

Для нахождения U+ и U– учтем, что те молекулы газа, которые находятся дальше от площадки ∆S, чем длина свободного пробега, испытывают столкновение с другими молекулами раньше, чем достигнут площадки. Вследствие этого они приобретут скорость упорядоченного движения того слоя газа, где они испытывают столкновение. Таким образом, можно считать, что скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих поверхность ∆S в положительном направлении оси z, равна скорости упорядоченного движения U на расстоянии от поверхности ∆S:

U+ = U(z–λ).

Скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих ∆S в отрицательном направлении оси z, есть

U– = U(z+λ).

Скорость U(z) обычно медленно меняется на расстояниях порядка средней длины свободного пробега λ. Поэтому функцию U(z± λ) можно разложить в ряд по малой величине λ, ограничившись только линейными членами:

U+ =U( z −λ) =U z − dU λ, dz

78

Знак минус в этой формуле указывает на направление переноса импульса.

Если dU > 0, то ∆Р < 0, и это означает, что импульс упо- dz

рядоченного движения переносится в отрицательном направлении оси z, т. е. от быстрых слоев газа к медленным.

Величина силы, действующей на слой газа в пределах поверхности ∆S,

Произведение концентрации п на массу одной молекулы т равно плотности газа ρ, так что окончательное выражение приобретает вид

Сравнение формулы (5) с законом вязкости Ньютона (1), во-первых, подтверждает справедливость последнего на примере газа. Во-вторых, раскрывает связь коэффициента динамической вязкости

с молекулярными параметрами системы. Вспоминая, что средняя длина свободного пробега молекул газа

где d – эффективный диаметр молекул, убеждаемся, что произ-

79

где k – постоянная Больцмана, а T – температура. Комбинируя два последних выражения, получаем

η≈ mkT . d 2

Отсюда следует, что коэффициент вязкости газов не зави-

с ростом температуры вязкость жидкости уменьшается. Эта зависимость вязкости жидкости от температуры связана с характером теплового движения молекул.

В жидкости молекулы находятся на расстояниях, соизмеримых с размером молекул, и совершают малые колебания

впределах, ограниченных межмолекулярными расстояниями. Время от времени центр этих колебаний (положения равновесия) совершает случайные скачки, и молекулы перемещаются

вновое положение равновесия. За счет этих скачков и происходит передача импульса упорядоченного движения молекул от слоя к слою. С ростом температуры скачки происходит чаще, и жидкость становится более текучей (менее вязкой). Частота скачков пропорциональна exp (–W/kT), где W – энергия, необходимая для скачка.

Коэффициент вязкости жидкости при постоянном давлении зависит от температуры согласно формуле Френкеля–Андраде и может быть записан в виде

где С – слабая функция от Т.

80