книги / Механика твердого деформируемого тела
..pdfГосударственный комитет Российской Федерации во высшему образовании
Пермский государственный технический университет
А.В.Швецов, Д .Г.Золотозубов
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
Практикум по решении задач
Пермь 1995
Механика твердого деформируемого тела: Практикум по решению задач/ А.В.Швецов, Д .Г.Золотозубов/ П ер м .гос.техн .ун -т. Пермь, 1995 . 85 с .
3S8N5 -8 8 1 5I-042--9
Приведены примеры решения задач по темам: построение тензо-i ров напряжений и деформаций; расчет потенциальной энергии дефор-1 мадии; подзадача Сек-Венана (изгиб и кручение) и др.
Практикум предназначен для студентов специальности "Строи тельство аэродромов и дорог".
Табл.2 . Ил. 41.
Рецензент член-корр. АТН РФ, д -р техн.науи, проф. Г.Л.Колмогоров
Пермский государственный
технический университет,
jyfl/V 5-88I5I-042-9
1995
1 *1 . Нанести на |
грани элементарных параллелепипедов, выделен |
|||||
ных у точки М , все |
компоненты тензора напряжений, |
обозначив их |
||||
*XX'«Xÿ |
и т -д - (р и с .1 .1 ) |
200 |
-200 |
400 |
|
|
|
|
I |
|
|||
|
|!<5-.|| = |
-200 |
0 |
О |
|
|
|
^ |
I |
400 |
О |
-300 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
%у = 0 , |
^ух - |
~ °* |
|
* -300 |
(сж атие). |
1 .2 . Напряженное состояние |
в некоторой точке |
тела задано тен |
||
зором напряжений |
|
|
|
|
|
500 |
500,... |
..8 0 |
0 |
У б . || = |
500 |
Ъ * .М - 7 5 0 |
|
|
^ |
800 |
-7 5 0 |
-3 0 |
0 |
В |
этой |
точке на площадке |
с каправлящими косинусами ^ = 1/2. |
= |
1/2; |
= I/ / 2 * найти полное напряжение, его нормальную и ка |
|
сательную составляющие. |
|
||
|
PLQ —Gijbj ; (в |
расписанном ви де): |
|
Рх9
Ру*
= |
0x x li * |
гхуСг |
* |
тхж1з |
= |
1065 |
кПу'см'*. |
* |
+ |
вуук |
+ |
tyzh |
= |
- 283 |
кГ^ см2- |
Pli= ЧаА * V * ' |
Ь |
' |
'Ш кЬ'ом2- |
|||
Полное напряжение |
____________ __________ |
|
|
|
||
|
А- ^ Pxi1 * Pÿi ' Pli = IM */»1- |
|||||
Нормальное напряжение может быть найдено, |
|
если |
повернем си с |
|||
тему координат К в |
одну из осей |
(наример х |
) пустим |
|||
вдоль нормали 9. |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
ffXZ ~ |
~ |
* Gyylt |
* ffxZ^3 |
* |
^2 * |
|
|
* |
l1iy A C3 * Zt* z e3ôi |
= |
№ * z fc f. |
||
Последнюю формулу можно переписать следующим образом:
б>$ = Pj# h = 260 кГ^см2 .
Касательное напряжение
S ~ 'Г Р!~ГЩ |
= |
1087 |
«Го'см2 . |
1 .3 . Напряженное состояние в точке М упругого тела выра |
|||
жается тензором, кГс/сн2 ! |
|
|
|
|
200 |
200 |
320 |
|
200 |
0 |
-3 2 0 |
|
320 |
-3 0 0 |
-1 2 0 |
Определить величину главных напряжений ey , 6g , <% |
и по |
|
ложение площадки, на которой действует главное напряжение |
<5у |
|
Построить эту площадку. |
|
|
Решение. |
|
|
Кубическое уравнение записывается следующим образом: |
|
|
<*5 - |
- } 5 (б) = 0. |
|
}f № ~ GU ~ ^XZ * Gyy * ^ZZ ~ №•
|
|
|
~x x ~yy * ** * |
|
* ^iz^xx * Gxy1 ~6уг2 |
~ 6%x2 = ~ 256400. |
|
%® = S(S-Гё—f~e в & |
~ |
^xz^yy^zx~ lexyVzz~ |
|
л |
«Hfry* t-mnp4m°jn°t<p |
|
* |
- втх^ух - бууЩис ~ ^гг^ху2 ~ " 516-10*
Запишем кубическое уравнение (вековое) в явном виде:
05 - 80e2- - 2,564-10*6 * 516 |
1 0 * - 0 . |
|
||
Чтобы избавиться от большой разницы в |
значениях ^ |
, вве |
||
дем масштабные множители |
|
|
|
|
о |
- |
б |
|
|
Г |
~ |
100 |
|
|
Тогда после сокращения на 10® получим |
|
|
||
$ 3 - 0,3$* - 25,64$ + 51,6 |
= 0. |
|
||
или
а$ъ +6$2 + с$ * d « 0
Кубическое уравнение можно решать различными способами. Ре шим его по формуле Кардана и графически.
Решение по .Формуле Кардана. Введем подстановку
6 |
О,S |
ÿ = г - -у = г + |
- J - = г + 0}266, |
тогда кубическое уравнение преобразуется в уравнение, в котором отсутствует член, содержащий квадрат неизвестного:
(г + О,Ш)3 - 0,i(r * о,266) - 25,64(г * 0,266) + 51,6- 0.
После вычислений получим
Л 3 - 25,85г + 44,74=0
г3 * $Ar * 2В =0.
Таким образом, из уравнения
ах3* ix^* сх * d —О
получили
Xs * Зру * 2&-Q,
причем |
|
|
|
|
. |
Зое - В1 |
lb* |
be |
d |
Зр = |
За* |
; Ч = ~Z7Ôr ' |
H F |
* T |
Дискриминант уравнения D = S* + рЪ= |
S 2 * А* , |
D > 0, уравнение имеет одно решение |
(одно действительное |
и два мнимых);
D < 0 , уравнение имеет три решения (три действительных р а з
личных корня);
D =0, уравнение имеет одно решение ( при р = £ = О - три совпадающих нулевых корня; при р 5 = - Cf? Ф 0 - два корня, из трех действительных корней два совпали).
В рассматриваемом случае
В1* А$ —- 1ST,59 < О
Корни вычисляются по формулам:
г{ - 2^ Т cos ( У/2) ;
/ £ - 2 \f-A cos( 4>t3* 60°) )
r5 = 2У-A coS( <ip/3 ~ 60°),
гд е |
|
|
|
|
(р = |
PrccosC-B/y/^Â) = artcosC- 0,835), |
|
T *e * |
f |
= Ш °50' ( cosср = -0 ,885) |
|
4 = 3 , 7 0 4 ; |
4 = 2,084; |
г5 = -5,778. |
|
9f = |
3>97 |
%= 2,35; |
?5 = -5,51, |
6f = 397 лfycM*; |
<%= 235 кГс/см*; |
&s ~- 551 кГс/см* |
|
Графическое решение. Из рассмотрения тензора напряжений можно
оценить величину напряжений |
бу |
, 0^ |
и |
, а |
следовательно, |
||
и Ç . Установлено, что величина |
ç |
изменяется |
от |
- 6 до |
+ 4 . |
||
й отсли м функцию f(q ) |
~ |
- 0,8ç* - |
25,64q |
+ 51,8 |
в ука |
||
занном интервале и установим предварительное значение корней q^
(места пересечения функции $(q) |
|
с осью q ) . |
Таблица I . I |
|
|
|
|
|
|
9 |
W > |
1 |
* |
tty ) |
|
|
|
+ 5 1 ,6 |
|
-в |
- 3 9 ,4 |
|
0 |
|
- 5 |
+ 3 4 ,8 |
|
I |
+ 2 6 ,2 |
- 4 |
+ 7 7 ,4 |
|
2 |
+ 5 ,1 |
- 3 |
+ 9 3 ,3 |
|
3 |
- 5 ,5 |
-2 |
+ 9 1 ,7 |
|
4 |
+ 0 ,2 |
- I |
+ 7 5 ,4 |
|
|
|
|
Из |
т а б л .1 .1 видно, что 8Ш трижды меняет знак: от 2 |
до 3 ; |
|
от |
3 до |
4 ; от - 5 до - 6 . Чтобы определить корни |
& точнее, |
надо |
в |
указанных пределах вычислить £(q) точнве |
(т а б л .1 .2 ). |
|
|
|
| |
/С$) |
|
1 |
|
|
9 |
_ |
I |
|
№ |
|
|
||||
2 ,0 |
|
5 ,1 0 |
|
|
|
|
3 .8 |
|
|
|
- 2 ,9 6 |
|
|
||||
2 ,2 |
|
1 ,8 5 |
|
|
|
|
4 ,0 |
|
|
|
+ 0 ,2 0 |
|
|
||||
2 ,4 |
|
-0 ,9 1 |
|
|
|
|
- 5 ,0 |
|
|
|
3 4 ,8 |
|
|
||||
2 ,6 |
|
- 3 ,1 5 |
|
|
|
|
- 5 ,2 |
|
|
|
2 3 ,0 |
|
|
||||
2 .8 |
|
-4 ,6 6 |
|
|
|
|
- 5 ,4 |
|
|
|
9 ,2 |
|
|
||||
3 ,0 |
|
- 5 ,5 0 |
|
|
|
|
- 5 ,6 |
|
|
|
- 5 ,9 |
|
|
||||
3 ,2 |
|
-6 ,0 0 |
|
|
|
|
- 5 ,8 |
|
|
|
-21,г |
|
|
||||
3 ,4 |
|
- 5 ,6 5 |
|
|
|
|
- 6 ,0 |
|
|
|
- 3 9 ,4 |
|
|
||||
3 ,6 |
|
- 4 ,6 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Построив график |
Ç |
|
|
|
|
соответствующих участков |
кривой, |
|
|||||||||
изображающей функцию |
Ç |
|
, |
получим корни уравнения. Они представля |
|||||||||||||
ют собой абсциссы точек, |
в |
которых кривая пересекает |
|
ось |
^ . |
|
|||||||||||
Направляющие косинусы нормали |
$ |
к площадке, на которой дей |
|||||||||||||||
ствует главное |
напряжение |
|
6^ =397 |
кГе/см^» |
находят |
путем |
совм ест |
||||||||||
ного решения системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С100- 397)tf * 2OO62 * |
ЗЩ |
= |
О; ) |
|
|
(I) |
|
||||||||||
|
щ |
t |
со - 397)h |
- зоое5 = о Л |
|
|
|
<2> |
|||||||||
|
ЗЩ |
- |
30012 +(-120- 397)б3 = О; |
f |
|
|
(3) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
W) |
|
Исключение tj |
из |
|
( I ) |
и |
(2 ) |
дает |
ta |
= 0 ,1 1 8 63 . |
Подстанов |
||||||||
ка этого выражения в |
(3 ) |
дает |
ôj |
= |
1 ,7 3 |
. |
|
|
t3 * |
|
|
|
|||||
С помощью |
(4 ) имеем |
|
tj |
- 0 ,8 6 5 ; |
6g = |
0 ,0 5 9 ; |
|
0 ,5 . |
|
||||||||
Положение нормали к площадке на чертеже строится |
по |
трем |
ее |
||||||||||||||
проекциям на оси координат |
(р и с Л ,2 ) • |
Поскольку углы, |
отмеченные |
на |
|||||||||||||
рисунке двойной дужкой, прямые, отрезок |
1 |
— гипотенуза, |
а |
проек |
|||||||||||||
ции X , у , 2 |
отрезка |
|
/ |
- |
катеты |
соответствующих прямоугольных |
|||||||||||
треугольников, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = i-cosii,x.)* t{ |
0,865; |
y = 1- cos($,y)= |
= 0,059; |
Z= f COS(ï,Z) = t3 - 0,5'
1 .4 . |
В некоторой точке стальной детали |
( |
£ = 2 *1 0 6 nîî/см2 , |
||||||||||
JU = 0 , 3 ) составляющие напряжений имеют |
следующие |
величины |
|||||||||||
(кКу'см2 ) |
ехх = |
1200; < % |
= |
-6 0 0 ; |
<%z |
= |
-3 0 0 ; |
|
= 0 ; |
|
|||
|
|
|
'УУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 600. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
и f? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 '= |
г а |
^ |
|
- |
0,П |
10s |
|
|||
|
|
|
Н ч -- u + jv e -ÿ - J K q S i j |
|
|||||||||
£ r r = |
0 ,8 I * I 0 - ^ |
(удлинение); |
|
|
= -0 ,3 6 * 1 0 “^ |
(укорочение); |
|||||||
£ z z = |
- 0 , 4 9 *I 0 - 3 (укорочение); 0 |
= |
-0 ,0 4 * 1 0 “^ (уменьшение |
объема). |
|||||||||
Хху~ |
ïïy% |
|
<£Г ~ 0 *5 2*10 |
о |
(уменьшение |
прямого у г л а ); |
|
||||||
$ЖХг 0 ,7 8 * 1 0 ^ |
(уменьшение |
прямого у гл а ). |
|
|
|
||||||||
1 .5 . |
Определить, |
какие |
внешние нагрузки |
вызвали |
перемещения |
||||||||
точек тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = -- j- (1 ~ 2ju)x ; |
ir= - A |
(1-2ju)y; иг=--£-0-2р)1 |
|||||||||||
ди |
= - -ï-(f-i/ûs |
2ju)i |
£z = дх |
P |
|
|
|
f . = O 64
Следовательно, линейные деформации по всем направлениям одинаковы,
угловые равны нулю.
8 = |
£х + £у |
+ |
= |
|
2.JU) |
|
|
Запишем постоянные Ляме: |
|
|
|
|
|||
£г = |
|
|
Л = |
juE |
|
|
|
l(i+ ju ) |
’ |
(l-Zju)U +ju) |
5 |
||||
|
~ |
||||||
0x - e r |
e^2O sx |
+ J 8 = -p ' - / f j |
& |
- - P; |
|||
X;. = 0.
Нормальное напряжение на любой площадке
Щ- 6 2 * бут2 *6^п2=. -рС£&+ т2+ пР) = - р .
Полное давление на любой площадке
P f '/pà |
+Рг\ + Psi = ' P ’ |
|
где |
|
|
P tr*zl> |
Рм=в!/т > |
Рз9= % п |
Касательное напряжение по любой площадке |
||
X) - |
/ р Г Ч |
~ 0. |
Таким образом, заданные перемещения определяются всесторонним равномерным сжатием тела нагрузкой р .
10