книги / Общая электротехника и электроника

Накопленный в конденсаторе заряд q пропорционален приложенному напряжению uab = uС:

где коэффициент пропорциональности С называется емкостью конденсатора.

С учетом выражений (2.6), (2.7) для емкости плоского вакуумного конденсатора получается:

Для увеличения емкости плоского конденсатора пространство между обкладками на практике заполнено диэлектри-

ком (рис. 2.2, б):

где εr – относительная диэлектрическая проницаемость запол-

няющего конденсатор диэлектрика, безразмерная величина (для слюды она, например, равна 7). Условное графическое изображение конденсатора на схемах представлено на рис. 2.2, в.

Произведение относительной диэлектрической проницаемости εr на электрическую постоянную (в вакууме) ε0 называется

абсолютной диэлектрической проницаемостью:

Основная единица измерения емкости в системе СИ– фара-

да(Ф), 1 Ф= 1 Кл/В= 1 А·с/В.

Поскольку электрическое поле всегда существует между различными деталями электротехнических устройств, находящихся под напряжением, между этими деталями имеется некоторая емкость.

Линейный емкостной элемент является составляющей схемы замещения любой части электротехнического устройства,

41

если значение заряда пропорционально напряжению. Его параметром служит емкость С = const.

По определению ток в конденсаторе равен скорости изменения заряда:

В линейном емкостном элементе с учетом формулы (2.7) ток равен

Знак дифференцирования при uC говорит о том, что вектор тока опережает вектор напряжения (сначала через конденсатор течет ток, в результате чего на обкладках появляется напряжение).

Если за время t1 напряжение на емкостном элементе изменится от нуля до uC1, то в электрическом поле элемента будет накоплена энергия:

Из выражения (2.13) с учетом формул (2.7) и (2.12) следу-

ет, что энергия электрического поля линейного емкостного эле-

мента при напряжении uC равна

Емкостные элементы можно, как и индуктивные элементы, рассматривать в качестве аккумуляторов энергии. Типовые условные графические изображения конденсаторов представлены в табл. 2.2.

42

5Изменяющийсянелинейно

взависимостиотпараметраП

2.5.Источники электрической энергии синусоидального тока

Промышленными источниками синусоидального тока являются электромеханические генераторы, в которых механическая энергия паровых или гидравлических турбин преобразуется в электрическую. Принципиальная конструкция двухполюсного электромеханического генератора изображена на рис. 2.3, а. Она содержит неподвижный плоский разомкнутый виток с выводами a и b и постоянный магнит, который вращается с постоянной скоростью. Магнитный поток постоянного магнита равен Фm (рис. 2.3, б). Схема замещения неподвижного витка представлена на рис. 2.3, в.

Постоянный магнит наводит в неподвижном витке по синусоидальному закону максимальную ЭДС, если он пересекает

43

Синусоидальные токи напряжения и ЭДС – величины периодические.

Рис. 2.5. Временная диаграмма

Перечислим основные параметры синусоидальных токов, напряжений и ЭДС.

Мгновенные значения (u, i, e) – значения синусоидальных величин в рассматриваемый момент времени t = t1 (например,

для тока i1 = Imsin(ωt1 + ψi)).

Период (Т, с) – промежуток времени, по истечении которого синусоидальный ток (напряжение, ЭДС) принимает одно и то же мгновенное значение:

где n – целое число.

Частота (f, Гц) – число полных изменений (колебаний) периодической величины в течение одной секунды:

Амплитуда (Im, Um, Em) – наибольшее значение синусоидальной величины.

Фаза (фазовый угол, рад) – аргумент синусоидальной величины. Например, для тока

45

Начальная фаза (ψ, рад) – значение фазы в момент време-

ни t = 0.

Начальная фаза считается положительной, если в момент времени t = 0 мгновенное значение синусоидальной величины положительно, и, наоборот, отрицательно, если в тот же момент времени мгновенное значение синусоидальной величины отрицательно. На временных диаграммах положительную начальную фазу откладывают влево, а отрицательную – вправо от начала координат. На приведенных временных диаграммах тока и напряжения (см. рис. 2.5) ψu > 0, а ψi < 0.

Угловая частота (ω, рад/с) – скорость изменения фазы (фазового угла):

Сдвиг фаз – разность фаз двух синусоидальных величин. Сдвиг фаз между напряжением и током обозначают буквой φ. В соответствии с определением

Возможны следующие варианты:

а) φ = 0 – в этом случаеток и напряжениесовпадают по фазе; б) φ = ±π – ток и напряжение находятся в противофазе; в) φ > 0 – ток отстает по фазе от напряжения на угол φ

(ток достигает амплитудного значения позднее напряжения); г) φ < 0 – ток опережает по фазе напряжение на угол φ. Под действующими значениями периодических перемен-

ных тока, напряжения и ЭДС понимают среднеквадратичные значения этих величин за время, равное одному периоду. Например, для тока

аналогично для напряжения и ЭДС.

46

Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС справедливы соотношения

Действующие значения тока, напряжения и ЭДС не зависят от времени и являются эквивалентными некоторым постоянным току, напряжению и ЭДС, которые производят в электрической цепи такое же действие (например, выделение тепла, тепловой эффект), что и переменные ток, напряжение и ЭДС за одинаковый промежуток времени.

Средние значения периодических тока, напряжения и ЭДС определяют за полпериода. Например, для тока

T

Icр = 2 2 i(t)dt; (2.23)

T 0

аналогично для напряжения и ЭДС. Средние значения применяют в гальванических процессах.

Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС в соответствии с формулой (2.23)

Коэффициент формы кривой – это отношение действую-

щего значения переменной величины к ее среднему значению. Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС в соответствии с уравнениями (2.22) и (2.24) коэффициент формы равен

47

2.7.Основы комплексного (символического) метода расчета электрических цепей

Символический метод позволяет достаточно просто описывать сложные синусоидальные цепи. Для вектора Ā с начальной фазой φ, вращающегося в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью ωt, по его проекции на ось ординат в любой момент времени можно найти его мгновенное значение а [см. формулу (2.15)]. В связи

с этим вектор Ām называют вектором, изображающим функцию времени (рис. 2.6).

Если считать ось абсцисс осью вещественных (реальных) величин (+1), а ось ординат – осью мнимых (имидж)

величин (j – символ комплексной плоскости), то вектор Ā соответствует на комплексной плоскости с началом, проведенным из начала координат под углом φ к оси вещественных комплексному числу с модулем А и аргументом φ, который называют комплексной амплитудой, не зависящей от времени. Мнимая еди-

ница – это число, дающее в квадрате –1: j = −1. Введение мнимой единицы дает возможность перейти к комплексному числу. Применяются три формы записи комплексной величины: показательную, тригонометрическую и алгебраическую соответственно:

Переход от показательной формы к геометрической назы-

вают формулой Эйлера.

На рис. 2.6 ReA – вещественная часть комплексного числа Ā (проекция вектора на ось вещественных, ось х), ReA = Acosφ,

48

а ImА – мнимая часть комплексного числа Ā (проекция вектора на ось мнимых, ось у), ImА = Asinφ; A = A = Re2 + Im2 – мо-

дуль комплексного числа; φ = arg (A) – главное значение аргумента комплексного числа, причем φ = arctg Im/Re.

Угол φ отсчитывают от положительного направления оси вещественных (ось +1). Положительный угол отсчитывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки, отрицательный – в направлении движения часовой стрелки.

Два комплексных числа, имеющих равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными. Для комплексного числа Ā = ReА + jImА = Аеjφ сопряженным является комплексное число Ā* = ReА – jImА = = Ае–jφ, причем ĀĀ* = А2.

Согласно формулам (2.15), (2.26) мгновенному значению токa (оригиналу) i (а также u и е) можно поставить в соответст-

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Диаграмма применяется для качественной оценки расчетов и их наглядности, является графическим отображением математических соотношений.

Умножение любого комплексного числа на еjφ приводит к изменению его аргумента на угол φ и повороту вектора, соответствующего этому числу, на тот же угол в положительном или

49

отрицательном направлении относительно положительного на-

ние комплексного числа Ā на j приводит к увеличению его ар-

гумента на + π2 и повороту вектора, изображающего комплекс-

ное число Ā, на угол + π2 в положительном направлении.

Умножение на –j приводит к уменьшению аргумента на π2

и повороту вектора на тот же угол в отрицательном направле-

Пусть синусоидальный ток, изменяющийся в соответствии с уравнением (2.15), и комплексное число Ime j(ωt + ψi ) , модуль

и аргумент которого соответственно равны амплитуде и фазе синусоидального тока, преобразуются по формуле

Данное комплексное число представляет аналитическую запись вектора с модулем Im, вращающегося в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω, равной угловой частоте синусоидального тока, в направлении, противоположном движению часовой стрелки (см. рис. 2.6).

Комплексным действующим током (комплексным током) называют комплексное число

Соответствующие преобразования можно сделать для u и e. Режим работы электрической цепи переменного тока, как правило, описывается системой дифференциальных уравнений

50