Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
2.94 Mб
Скачать
☆
Рис. 1.7. Однородная плоская стенка

 

В силу того что длина

 

пластины многократно пре-

 

вышает её толщину, тепло-

 

обменом на торцах пла-

 

стины можно

пренебречь.

 

Единственным

направле-

 

нием переноса теплоты бу-

 

дет направление х, перпен-

0

дикулярное боковым граням

плоской стенки.

Условие

стационарно-

сти задачи выражается в по-

δстоянстве удельного теплового потока q в направлении

координаты х.

В данной постановке закон Фурье запишется в следующем виде:

λλ .

Разделив переменные и проинтегрировав, получим следующую зависимость:

,

(1.45)

где С – константа интегрирования.

Неизвестные постоянные величины q и С определяются из граничных условий

t 0 t ;1t t2 .

Послеподстановкиих в(1.45) получимсистемудвухуравнений

30

t1

q

0 C;

 

 

 

 

q

 

t2

C,

 

 

 

после разрешения которой имеем выражения для температурного поля в стенке и формулу для плотности теплового потока, Вт/м2:

 

 

 

∆ ;

(1.46)

 

 

∆/

.

(1.47)

где

 

называется температурным напором.

 

 

(1.47) называют ещё формулой теплопроводно-

 

∆Выражение, К,

 

 

 

сти плоской стенки. Знаменатель формулы представляет собой

термическое сопротивление плоского слоя, м2 К/ Вт. Термическое сопротивление обычно обозначают . Оно представляет собой падение температуры в стенке при единичном удельном тепловом потокеипоказывает, насколькохорошотелопрепятствуетраспространениютеплоты.

Таким образом, распределение температуры по толщине плоской стенки в стационарном режиме (1.46) линейно и не зависит от теплофизических свойств материала, а определяется только толщиной стенки и температурами обеих границ. Следует напомнить, что данное решение и выводы справедливы только для случая постоянной, не зависящей от температуры, величины коэффициента теплопроводности. Если же теплопроводность материала зависит от температуры, то решением будет более сложная функция, отличная от линейной.

Формулу(1.46) можнотакжеполучитьиздифференциального уравнения теплопроводности, которое в данной постановке при-

мет вид

 

0 .

(1.48)

31

Решением уравнения (1.48) является семейство линейных функций:

t x C1 x C2 .

Константы интегрирования С1 и С2 находятся из граничных условий:

C1 t , C2 t1 .

Таким образом, тепловые потери W (Дж) через стенку пло-

щадью F, за время с учетом (1.47) составят

∙ ∙ .

1.5.2. Многослойная плоская стенка

Немного усложним задачу и рассмотрим двухслойную стенку с идеальным тепловым контактом между слоями и при от-

 

 

 

 

сутствии

внутренних

теп-

 

 

 

 

ловых источников. Геомет-

 

 

 

 

рия и

теплофизические

 

 

 

 

свойства слоев также счи-

 

 

 

 

 

 

 

 

таются известными.

 

 

 

 

 

Граничныеусловияос-

 

 

 

 

таются теми же – известны

 

 

 

 

температуры на внешних

0

 

 

 

границах

стенки:

и ,

 

 

 

однако

появляется

неиз-

 

 

 

вестная температура

на

 

 

 

границе раздела слоёв.

 

 

 

 

Условие стационарно-

 

 

 

 

Рис. 1.8. Двухслойная

стенка

сти для поставленной за-

дачи примет вид

 

 

 

 

 

 

const.

32

Для решения задачи применим формулу теплопроводности (1.47) к каждому слою:

;

.

После преобразований системы и использования условия стационарности получим следующее соотношение:

q δt1 tδ3

1 2

λ1 λ2

 

t1

t3

.

(1.49)

 

 

2

 

δi

 

 

i 1

 

 

 

 

λi

 

Неизвестная температура

 

на границе раздела слоёв нахо-

дится из соотношения

 

 

 

 

 

можно.

 

По аналогии с формулой (1.49)

записать общую фор-

мулу теплопроводности многослойной плоской стенки

q

t t

n 1 ,

(1.50)

1 n

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

i 1

 

 

где n – количество слоёв стенки.

Числитель формулы (1.50) представляет собой полный температурныйнапор, азнаменатель– общеетермическоесопротивление стенки, равное сумме термических сопротивлений всех слоев.

Неизвестные температуры на границах раздела слоёв находятся из соотношения

 

 

 

 

 

 

(1.51)

 

 

 

 

 

 

где k

 

, а тепловой поток q

задаётся формулой (1.50).

1, … ,

∑

,

 

 

 

 

 

 

 

Формулы (1.50) и (1.51) получены при условии идеального теплового контакта на границах раздела слоёв. При наличии

33

термических сопротивлений в зонах контакта формула (1.50) примет вид

 

 

 

 

q

 

 

 

t1 tn 1

 

,

 

 

 

(1.52)

 

 

 

 

 

n

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Rкi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 i

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

где

– контактноетермическоесопротивление награницеi и i +1

слоёвк.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График

изменения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

температуры в этом слу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чае представляет

собой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ступенчато-ломаную ли-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нию. На рис.1.9 приведён

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подобный

график для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двухслойной стенки.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неизвестные

темпе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ратуры на границах слоев

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-слойной стенки нахо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дятся из следующих ре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

куррентных

соотноше-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ний:

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.9. Двухслойная стенка

 

 

 

 

(1.53)

 

 

 

 

 

 

 

наличии контактного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

при сопротивления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(1.54)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где k

2, … , .

 

.

 

 

 

 

 

 

к,

 

 

 

(1.55)

где k

1, … ,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плотность теплового потока q в соотношениях (1.53)–(1.55) определяется по формуле (1.52).

34

1.5.3. Теплопроводность цилиндрической стенки

Тепловой поток передается через боковую поверхность бес-

конечно длинного полого цилиндра (трубы) длиной

внутренним

радиусом и наружным радиусом

(рис.1.10). Заданы,

коэффи-

циент теплопроводности материала

трубы

, а также тем-

пературы

её внутренней и наружной

 

 

поверхностей.

 

λ

 

 

const

 

В силу заданной геомет-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рии трубы теплообменом на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

её торцах можно пренебречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому единственным

 

на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правлением

переноса

 

теп-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лоты будет радиальное на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

const

правление,

перпендикуляр-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ное боковым поверхностям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Какивпредыдущемслу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чае, задача является одномер-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ной, но в цилиндрической си-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стеме

координат.

В общем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

случае

уравнение

теплопро-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

водности в

цилиндрических

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координатах имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.10. Однослойная труба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

2

t

 

1

t

 

1

 

2

t

 

 

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(1.56)

 

 

 

 

 

r

2

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

r

 

 

 

 

 

z

 

 

В наших условиях (стационарная одномерная задача) уравне-

ние теплопроводности запишется следующим образом:

 

 

 

 

d

2

t

 

 

1

dt

 

 

 

 

 

 

1

d

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

0

или

r

0.

(1.57)

 

 

 

d r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r d r

 

 

 

 

 

 

r d r

 

d r

 

 

35

Граничные условия

 

t1

;

 

t r1

(1.58)

 

t2 .

t r2

 

 

 

 

 

Общимрешениемуравнения(1.57) являетсялогарифмическая функция:

r

dt

C

dt C1 d r t r C

ln r C .

(1.59)

 

 

d r

1

r

1

2

 

 

 

 

 

 

Подставляя граничные условия (1.58) в уравнение (1.59) и решая систему алгебраических уравнений

t1 C1 ln r1 C2 ;t2 C1 ln r2 C2 ,

находим константы интегрирования:

C t2 t1

,

C t t2 t1 ln r ,

1

r2

 

 

2

1

1

ln

 

 

 

 

ln

r2

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

и получаем частное решение задачи:

t r t t2

t1 ln

r

.

 

1

 

r2

 

r

ln r

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(1.60)

(1.61)

(1.62)

Изотермические поверхности врассматриваемой задачепредставляют собой коаксиальные цилиндры. В соответствии с законом Фурье плотность теплового потока через произвольную изотермическую поверхность радиусом r1 r r2 будет определяться

выражением

q

λ t1 t2

1

.

(1.63)

ln

r2

 

r

 

 

 

r1

36

Вцилиндрическойстенке, вотличиеотплоской, площадьизотермических поверхностей в радиальном направлении возрастает, а согласно уравнению (1.63), плотность теплового потока уменьшается с увеличением радиуса.

Тепловойпотокчерезпроизвольнуюизотермическуюповерхность площадью Fип и длиной l рассчитывается так:

Q q F

2 l

λ t1 t2

 

.

(1.64)

 

r2

 

 

ип

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

Помимо плотности теплового потока для цилиндрических тел рассматривают погонный (линейный, удельный) тепловой поток, т.е. тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, Вт/м:

q

 

t1

t2

.

(1.65)

1

 

r2

l

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

2 λ

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Всоответствиисформулой(1.65) внутреннеетермическоесопротивлениецилиндрическогослоявразмерности(К∙м)/Втможно определить как

R

1

ln

r2

.

(1.66)

2 λ

 

t

 

r

 

 

 

1

 

 

Задача о многослойной цилиндрической стенке решается ана-

логично задаче о многослойной плоской стенке с той лишь разницей, что общеетермическоесопротивление(сучетом межслойных контактных сопротивлений) будет иметь другую форму записи и размерность:

 

n

1

 

 

ri 1

n 1

 

общ

 

 

 

RKi .

 

Rt

 

 

ln

 

(1.67)

2

i

r

 

i 1

 

 

i

i 1

 

Погонный тепловой поток в этом случае рассчитывается как

q

t1 tn 1

 

.

(1.68)

Rобщ

 

l

 

 

 

 

t

 

 

 

37

1.5.4. Однослойная шаровая стенка

Рассматривается полый шар (сфера) с известным коэффици-

ентом теплопроводности материала

λ

const

. Стенка шара имеет

толщину

. Внутренняя

 

 

 

поверхностьсферыимеет темпе-

ратуру

,δа внешняя – (рис. 1.11).

 

 

 

Единственным направлением переноса теплоты в этом случае будет радиальное направление, то есть задача теплопроводности в сферических координатах, каки предыдущие, являетсяодномерной.

Рис.1.11. Однослойная сферическая стенка

Одномерное уравнение теплопроводности в сферических координатах имеет вид

d 2t

 

2 dt

0 .

(1.69)

 

 

 

d r2

r d r

 

 

 

38

Граничные условия

 

t1

;

 

t r1

(1.70)

 

t2 .

t r2

 

 

 

 

 

Если использовать подстановку u rt , то уравнение (1.69)

примет вид

du

 

2u

0 .

(1.71)

d r

 

r

 

 

Разделяя переменные и интегрируя, получим

d u

 

2 d r

lnu ln r2 lnC

u C1 .

(1.72)

u

 

r

1

r2

 

После второго интегрирования имеем общее решение задачи:

dt

C1

dt C

d r

t r C1

C .

(1.73)

d r

r2

r2

1

r

2

 

Таким образом, распределение температуры по толщине сферической стенки в стационарном режиме имеет гиперболический характер.

Для нахождения констант интегрирования используем граничные условия

t

 

C1

C

;

 

 

1

r1

2

 

 

 

 

 

 

 

(1.74)

 

 

 

C1

 

 

t

 

C

 

,

 

 

2

r2

2

 

 

 

 

 

 

 

откуда

39

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности