книги / Современные проблемы биомеханики
..pdfНа рис. 5.4 Т есть время до разрушения с учетом только установившейся ползучести. Очевидно, что Т > T1.
Контрольные вопросы
1.Чем отличается хрупкое разрушение от вязкого?
2.Объясните отличие повреждаемости от ползучести?
3.Чем отличаются большие и малые деформации?
4.Какие критерии разрушения вы знаете?
91
ГЛАВА 6. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ
Определяющие соотношения для сплошной среды вводятся как соотношения между напряженным и деформированным состояниями бесконечно малого элемента среды, зависящие также от ряда других параметров (температура, химический состав, структура, внешние электромагнитные поля и т.д.). Установление определяющего соотношения является важнейшей задачей механики. В ряде случаев эти соотношения хорошо известны, например, линейно упругое тело, ньютоновская жидкость и др. Однако даже для неживых систем, например при сложных нагружениях, эти соотношения до сих пор известны не полностью и являются предметом многочисленных исследований. Еще более сложной задачей является установление определяющих соотношений для живых систем (in vitro и in vivo). Данная глава посвящена этому важному вопросу.
Возможные формы определяющих соотношений ограничены некоторыми фундаментальными постулатами, основанными на физических и интуитивных соображениях. Основные принципы для механических и биомеханических материалов (неживые и живые ткани) формулируются ниже [13–15].
Прежде всего введем важные понятия «система отсчета» и «система координат». Часто эти понятия используют как синонимы. Имеются, однако, и серьезные отличия.
Система отсчета – это твердое тело, где неподвижно находится наблюдатель. Она неподвижна относительно наблюдателя, это тело может двигаться относительно других тел с другими возможными наблюдателями.
В каждой системе отсчета можно ввести одну или больше систем координат и использовать их для локализации точки
92
в этом теле. По определению, система координат в данной системе отсчета фиксирована в этой системе.
На рис. 6.1 системы отсчета А и В имеют прикрепленные к ним системы координат. Система В движется относительно системы А.
|
z |
|
z1 |
|
|
a |
|
y1 |
|
|
y |
|
||
|
O |
|
O1 |
|
|
r |
|
|
|
x |
|
x1 |
B |
|
θ |
|
|||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
u |
|
а |
|
|
б |
Рис. 6.1. Подвижная (а) и неподвижная (б) системы отсчета
Рассмотрим вектор a , фиксированный в системе отсчета А, которая содержит декартову систему координат ( x , y , z )
ицилиндрическую полярную систему координат ( r , θ, z ), возможно, имеющие различные начала. Относительно декартовой системы координат вектор a имеет компоненты ax , ay , az ,
иотносительно цилиндрической системы вектор a имеет компоненты ar , aθ , az . Различные компоненты описывают один
итот же вектор a . Преобразование компонент от декартовой
кцилиндрической системе есть пример не зависящего от времени преобразования координат.
Далее рассмотрим другую систему отсчета В, которая
движется поступательно со скоростью u и вращается с угловой скоростью ω относительно системы отсчета А (см. рис. 6.1). Вектор a фиксирован, т.е. геометрически инвариантен в системе отсчета А, но для наблюдения в системе отсчета В он кажется изменяющимся по направлению. Относительно декартовой сис-
93
темы координат ( x1 , y1 , z1 ), фиксированной в системе отсче-
та В, компоненты изменяются со временем. Преобразование координат опять может быть использовано, чтобы связать компоненты вектора a в какой-либо системе координат в системе отсчета А и декартовой системе в системе отсчета В, но это преобразование будет зависеть от времени.
Пока из рассмотренного видно, что единственная разница между системами отсчета и системами координат есть потенциальная зависимость преобразования компонент вектора от времени. Различие этих двух понятий становится более существенным в физических проблемах. Например, рассмотрим второй закон Ньютона для движения материальной точки f = ma , где f есть вектор силы, действующей на материальную точку массы m, движущуюся с ускорением а. Если А – инерциальная система отсчета (без вращения и без ускорения), то это уравнение верно в любой системе координат в А, хотя компоненты векторов, входящих в это уравнение, могут изменяться при переходе к другой инерциальной системе отсчета В, f = ma остается верным (если пренебречь релятивистскими эффектами).
Если В есть неинерциальная (вращающаяся и/или с ускорением) система отсчета, то форма закона Ньютона изменяется. Причина этого лежит в векторе ускорения a . Переход вектора f от системы отсчета А к системе отсчета В включает только одно зависящее от времени преобразование, но преобразование вектора a более сложно. Например, если f = a = 0
всистеме отсчета А, то вектор f также равен нулю при определении силы наблюдателем в системе отсчета В, но масса движется с ускорением a ≠ 0 относительно этого наблюдателя
внеинерциальной системе отсчета В, так как в анализе появляются сила Кориолиса и переносная сила инерции. Вектор силы есть пример величины, не зависящей от системы отсчета, или объективной, в то время как вектор ускорения a есть инвариантный к преобразованиям координат, но не индиффе-
94
рентный по отношению к системе отсчета (индифферентный = независимый).
Тензорный анализ имеет дело с преобразованиями координат.
6.1. КООРДИНАТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ (НЕИЗМЕННОСТЬ)
Определяющие соотношения в различных системах координат данной системы отсчета могут быть получены друг из друга с помощью не зависящего от времени преобразования координат.
Очевидно, что любая система координат может быть использована для описания движения тела, поэтому, как и другие основные уравнения механики, определяющие соотношения должны быть записаны в тензорной форме. Это обеспечивает выполнение принципа координатной инвариантности.
6.2. ДЕТЕРМИНИЗМ
Значения напряжений в некоторой точке тела определяются историей изменения параметров во всех точках тела.
В общем случае распределение напряжений в некоторый момент времени зависит не только от мгновенных деформаций, температуры и других параметров, но также от всей истории этих величин, вплоть до этого момента. Деформирование вязкоупругого материала, например, включает вязкую диссипацию энергии, которая не может быть восстановлена. Поскольку величина потери энергии зависит от траектории, приводящей к данной конфигурации, то напряжениязависят от всей истории деформирования.
При деформации идеального термоупругого материала диссипация энергии отсутствует, поэтому состояние напряже-
95
ний в момент t зависит только от деформации и температуры в момент t. В идеальном упругом материале и в идеальном гиперупругом материале (со скалярной плотностью энергии деформации) температурные эффекты не учитываются, и поэтому напряжения зависят только от мгновенной деформации.
6.3. ЛОКАЛЬНОЕ ДЕЙСТВИЕ
Значения напряжений в точке Р тела существенно не зависят от значений независимых переменных вне некоторой малой окрестности точки Р.
Чтобы пояснить теоретическое значение принципа локального действия, рассмотрим, например, движение r(R,t) и темпе-
ратуру θ(R,t) в точке Р в термоупругом теле. Вдобавок к этому
движение и температура в произвольной точке внутри малой окрестности точки Р задаются как r(R ',t) и θ (R ',t) . Здесь R и R ' –
радиусы-векторы точек в недеформированной конфигурации (лагранжевы координаты), а r(R,t) и r(R ',t) – радиусы-векторы
этих точек в текущей конфигурации в момент t (эйлеровы координаты) (рис. 6.2).
На рис. 6.2 u (R ,t )= r (R ,t )− R – перемещение точки с начальным радиусом-вектором R за время t.
M |
|
u(R,t) |
M |
|
|
||
t = 0 |
R |
|
t > 0 |
|
|
r(R,t) |
|
|
|
|
O
Рис. 6.2. Движение деформируемого твердого тела
96
При достаточно гладкой деформации в окрестности точки Р можно применить разложение в ряд Тейлора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(R ',t) = r(R,t) + (R '− R) r(R,t) + ... |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ(R ',t) = θ(R,t) + (R '− R) θ(R,t) + |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|||
где |
= |
|
– символический вектор набла, |
или оператор Га- |
|||||||||
∂R |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , |
y , |
z , равные |
мильтона, вектор имеет проекции на оси |
|||||||||||||
|
∂ |
, |
|
∂ |
, |
|
∂ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂X |
|
∂Y |
|
∂Z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
С помощью принципа локального действия эти соотноше- |
|||||||||
ния указывают, что движение и температура в точке (частице) термоупругого тела могут быть определены через значения этих величин и их производные по координатам в соседней точке.
В соответствии с классическими работами Трусделла |
|
и Нолла материалы называются простыми, если производные |
|
выше первой игнорируются в соотношении (6.1). Тогда эти со- |
|
отношения и принцип детерминизма утверждают, |
что опреде- |
ляющие соотношения в термоупругом материале |
могут быть |
записаны в виде
|
|
σ=σ R, r, θ, θ . |
|
|
|
Зависимость от R имеет место в неоднородном материале. Следовательно, в начально однородном термоупругом теле напряжения зависят только от мгновенных значений тензора
|
θ и градиента температуры |
|
градиента r , температуры |
θ |
|
в этой точке. |
|
|
(6.1)
(6.
97
6.4. РАВНОПРИСУТСТВИЕ
Независимая переменная, которая входит в какое-либо определяющее соотношение для данного материала, должна входить во все определяющие соотношения для данного материала.
Здесь мы имеем дело с ситуацией, когда кроме тензора напряжений σ определяющие соотношения определяют другие зависимые переменные, например внутреннюю энергию и или энтропию η. Например, если важны химические эффекты, то химический потенциал μ может быть добавлен к числу независимых переменных для каждого определяющего соотношения. Для термоупругого материала с химическими эффектами имеем
|
|
|
|
σ = σ(R, r, θ, θ,μ), |
u = u(R, r, θ, θ,μ). (6.3) |
||
6.5. ФИЗИЧЕСКАЯ ДОПУСТИМОСТЬ |
|||
Определяющие |
соотношения |
должны |
быть совместны |
с фундаментальными физическими законами сохранения (массы, количества движения, момента количества движения, энергии) и законом энтропии (вторым началом термодинамики).
Согласно принципу физической допустимости определяющие соотношения не должны противоречить основным законам механики сплошной среды. Например, известно, что теорема о моменте количества движения (в отсутствие распределенных моментов) ведет к заключению, что тензор напряжений Коши симметричен, поэтому определяющие соотношения не должны нарушать эту симметрию.
98
6.6. МАТЕРИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Определяющие соотношения должны быть инвариантны (неизменны) при не зависящих от времени преобразованиях системы координат, соответствующих симметриям, характерным для материала.
В биологических материалах часто имеют место некоторые типы материальной симметрии: ортотропная, траневерсально изотропная и изотропная. Определяющие соотношения также должны иметь эти типы симметрии. Например, для гиперупругого материала функция плотности энергии деформаций должна удовлетворять данным ограничениям.
6.7. МАТЕРИАЛЬНАЯ ОБЪЕКТИВНОСТЬ (ИЛИ МАТЕРИАЛЬНАЯ ИНДИФФЕРЕНТНОСТЬ)
Определяющие соотношения должны быть инвариантны (неизменны) при жестких вращениях пространственной системы отсчета (системы наблюдателя).
Этот постулат требует более подробного рассмотрения. В нем утверждается, что имеется система отсчета А (может быть, несколько систем отсчета), где определяющее соотношение верно и где производные по времени находятся наблюдателем, который неподвижен в этой системе отсчета. Например, второй закон Ньютона для материальной точки
f = ma
верен в инерциальных системах отсчета. Аналогичная ситуация, предполагается, имеет место для определяющих соотношений в представительных объемах сплошной среды.
По определению, тензор (в частности, вектор), который инвариантен (неизменен) в различных системах отсчета, называется индифферентным по отношению к системам отсчета, или
99
объективным. Например, таким является вектор силы f . Тензор (в частности, вектор), который неинвариантен (меняется) в различных системах отсчета, называется зависящим от системы отсчета, или необъективным. Например, вектор ускорения а зависит от системы отсчета наблюдателя.
При изменении системы отсчета (скажем, от А к В) форма определяющего соотношения не изменяется, но некоторые члены могут изменяться, а именно индифферентные члены остаются неизменными, но индифферентные члены в системах отсчета А и В должны быть связаны друг с другом.
Во многих случаях определяющее соотношение включает производные тензорных величин по времени. Эти производные могут зависеть от выбора системы отсчета. Например, эйлерова производная (в неподвижном пространстве) отличается от лагранжевой производной (вычисленной подвижным наблюдателем).
В частности, производные по времени могут быть неиндифферентными. Определяющее соотношение, содержащее эти производные, должно быть переформулировано, и производные по времени в системе отсчета В должны быть связаны с производными в системе отсчета А. В результате вместо производных по времени в системе отсчета В мы получим новые производные в системе В, которые называются коротационными, или объективными, производными.
Например, в неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона может быть переформулирован согласно теореме Кориолиса:
m(ae + ac + ar ) = f ,
где ae – переносное ускорение; ac = 2ωe × vr – ускорение Кориолиса; ar и vr – относительное ускорение и относительная
скорость, находимые наблюдателем в новой, вообще говоря, неинерциальной системе отсчета. Это эквивалентно использованию сил инерции ( −mac ) и ( −mae ).
100