книги / Обработка и представление результатов эксперимента

УДК 530

К60

Колесниченко В.И.

К60 Обработка и представление результатов эксперимента: Учеб, по­

собие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2000.74 с.

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. К.Н.Лоскутов

Книга является введением в теорию ошибок и содержит, наряду с тради­ ционным, материал, который обычно не читается в курсе физического практи­ кума. Приводятся сведения о структуре отчета о НИР и правила его оформле­ ния. Изложены практические рекомендации, которые следует учитывать начи­ нающим исследователям при проведении научной работы. Содержатся приме­ ры и задачи с подробными решениями.

Табл. 1. Ил. 13. Библиогр.: 9 назв.

УДК 530

© Пермский государственный технический университет, 2000

Оглавление

s

Предисловие

На практических занятиях студенты приобретают навыки обработки по­ лученных результатов, построения графиков, оформления отчетов. Однако не у всех вырабатывается сознательное отношение к данной работе, что может быть частично объяснено недостаточной теоретической подготовкой.

Данное учебное пособие является введением в углубленный курс теории ошибок.

В первом разделе даются основные сведения о погрешностях. В разделах 2 - 4 приводится расширенный материал о случайных погрешностях. В разде­ лах 5, 6, 9, 10, 11 изложен нетрадиционный материал, который обычно не чита­ ется в курсе физического практикума. Достаточно подробно изложен и обосно­ ван метод наименьших квадратов в разделе 8. Большое место в учебном посо­ бии отведено практическим рекомендациям (раздел 12), которые следует учи­ тывать начинающим исследователям при проведении научной работы. В разде­ лах 13-14 даются сведения о структуре и правила оформления отчетов о науч­ но-исследовательской работе, что поможет сразу же выполнять отчеты в над­ лежащем виде. Наконец, в разделе 7 приведен ряд задач с подробными реше­ ниями, что позволит закрепить достаточно абстрактный теоретический матери­ ал и в дальнейшем применять его сознательно на практике. Список литературы содержит издания, которыми пользовался автор при написании учебного посо­ бия и которые он рекомендует для более углубленной проработки материала.

Данный элективный курс читался студентам второго курса электротехнического факультета Пермского государственного технического университета (специальности АСУ и ЭВТ) в 1996 - 1999 гг.

Все замечания и рекомендации будут приняты автором с благодарностью.

1. Погрешности при измерениях физических величин

1.1. Основные понятия

Измерение физической величины заключается в сравнении ее с однород­ ной ей физической величиной, принятой за единицу. Результат измерения фи­ зической величины х представляют в виде х = {х}[х], где {х} - числовое значение величины х, [х] - единица величины х.

Различают прямые и косвенные измерения физических величин. При

прямом измерении значение искомой величины непосредственно определяют с помощью измерительного прибора, при косвенном измерении значение величины находят, основываясь на результатах прямых измерений других физических величин, с которыми искомая величина связана известной функциональной зависимостью.

Из-за действия множества искажающих факторов результат каждого отдельного измерения физической величины не совпадает с ее истинным значением. Разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется погрешностью измерений {ошибкой измерений).

Погрешности измерений могут быть связаны с техническими трудностями (несовершенство измерительных приборов, ограниченные возможности органов зрения человека, с помощью которых во многих случаях производится регистрация показаний приборов, и т.д.), а также с рядом факторов, влияние которых трудно учесть (колебания температуры воздуха, его движение вблизи измерительного прибора, малые вибрации измерительной установки и т.д.).

Различают три типа погрешностей измерений: грубые ошибки (промахи), систематические и случайные погрешности.

промахи, обусловлены неисправностью

измерительной аппаратуры либо ошибками экспериментатора в отсчете или записи показаний приборов. Эти результаты нужно отбрасывать и взамен проводить новые измерения.

Систематическими погрешностями измерений называются погрешности, которые при многократном измерении одной и той же величины остаются постоянными либо изменяются по определенному закону. Систематические погрешности включают в себя методические и инструментальные (приборные) погрешности измерений.

Методические погрешности вызываются недостатками применяемого метода измерений, несовершенством теории физического явления и неточностью расчетной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины. Эти погрешности можно уменьшить путем совершенствования метода измерений, а также путем введения уточнений в расчетную формулу.

Инструментальные, или приборные, погрешности вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов (например, небольшое различие в длинах плеч рычажных весов, изменение хода стрелки прибора при изменении температуры и т.п.). Уменьшение этих погрешностей достигается применением более совершенных и точных приборов, однако полностью устранить эти погрешности невозможно.

Случайными погрешностями измерений называются погрешности, абсолютная величина и знак которых изменяются при многократных измерениях одной и той же физической величины. Эти погрешности вызываются многими факторами, не поддающимися учету. Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но их можно уменьшить путем многократного повторения измерений. При этом происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения. Расчет случайных погрешностей производится методами теории вероятностей и математической статистики.

За наиболее достоверное значение непосредственно измеряемой физиче­

ской величины х принимают среднее арифметическое (х) (иногда обозначают как х ) из всех п результатов ее измерений - xj, х2, ..., хп:

1 п w — l * /

",=1

Окончательный результат измерения величины х представляют в форме х = (х)±Ах,

где AJC— положительная величина, называемая абсолютной погрешностью

найденного значения х. При записи результата соблюдаются следующие пра­ вила:

1) величина погрешности AJC округляется до двух значащих цифр, если первая из них единица или двойка, и до одной значащей цифры во всех осталь­ ных случаях;

2) при записи значения (х) необходимо указывать все цифры, вплоть до последнего разряда, использованного для записи погрешности. Например: с/=(5,290±0,013)мм; р = (8,64 ±0,22) 103 кг/м3; V=(г^О .О бИ О "5м3

Относительной погрешностью значения х называется отношение

е* = Ах

(*)'

Надежностью полученного результата измерения физической величины

х называется вероятность Р (иногда обозначается как а ) того, что истинное значение величины х лежит в интервале от (х) - Ах до (х) + Ах.

1.2.Систематические погрешности

Эти погрешности оцениваются на основе анализа метода измерения и ис­ пользуемых средств измерения. Все систематические погрешности, поддаю­ щиеся исключению, должны быть устранены еще до начала обработки экспе­ риментальных данных путем введения соответствующих поправок к ним. Ин­

струментальная (приборная) погрешность определяется на основе паспортных данных прибора, его класса точности, точности нониуса, шкалы прибора и т.д.

Формула для расчета максимальной абсолютной приборной погрешности Ахприб имеет вид

А*приб = К *-*пшх/ 100,

где К - класс точности прибора; Хтах - верхний предел измерений прибора (либо данного его диапазона). Применяются следующие классы точности приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Обозначение класса точности прибора записывается на его шкале в виде соответствующего числа.

Например, для амперметра класса К= 0,5 на диапазоне /щах = 2 А Д/приб = 0,5 -2/100 = 0,01 А.

В качестве стандартной систематической погрешности этого амперметра можно принять половину от Д/приб >то есть 0,005 А.

Если класс точности прибора не указан и в паспорте прибора нет данных относительно его инструментальной погрешности, то считают, что эта погреш­ ность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается не равномерно, а «скачками» (например, у ручного секундомера), приборную погрешность считают равной цене деления шкалы.

Погрешность округления при измерениях равна произведению надежности на половину цены наименьшего деления шкалы прибора.

Погрешность округления приближенных чисел при вычислениях равна половине единицы того разряда, который имеет сомнительные цифры [7,8].

1.3.Случайные погрешности

Эти погрешности подробно будут обсуждаться далее. Здесь же укажем следующее. Если случайные погрешности подчиняются нормальному распределению (распределению Гаусса), то с надежностью Р » 70 % можно

принять, что абсолютная погрешность Ах равна стандартной (среднеквадра­

тичной) погрешности

Если необходимо повысить надежность Р результата, то используют коэффи­ циенты Стьюдента t, которые зависят от п и Р, тогда A x - t- A S .

С увеличением п стандартная погрешность AS уменьшается. Поэтому точность результата измерений, лимитируемая случайными погрешностями, растет с увеличением числа измерений.

1.4.Суммарная погрешность прямых измерений

Вобщем случае необходимо принять во внимание как случайные, так и систематические погрешности. При этом стандартная погрешность измеряемой величины х рассчитывается по формуле

>случ •

Если погрешности отличаются в 2 или более раза, то практически можно считать, что Ах равна большей из них:

Ах = шах {(Ах)сист,(Ах)слун}.

Окосвенных измерениях подробно будет говориться в разделе 4.

2.Гистограммы и распределения

2.1.Гистограмма для дискретной величины

Пусть мы провели многократные измерения некоторой физической вели­ чины. Необходимо полученные результаты статистически обработать и пред-