книги / Математический анализ динамических моделей
..pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
В.А. Соколов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2022
1
УДК 519.8:330.4 С593
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент М.А. Севодин (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);
канд. физ.-мат. наук, доцент Л.М. Култышева (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)
Соколов, В.А.
С593 Математический анализ динамических моделей : учеб.-метод. пособие / В.А. Соколов. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2022. – 58 с.
ISBN 978-5-398-02782-2
Представлены индивидуальные задания по дисциплинам: «Модели экономического роста», «Непрерывные математические модели», «Дискретные математические модели». Предназначено для студентов, обучающихся по программе магистратуры «Математический анализ и управление экономическими процессами».
УДК 519.8:330.4
ISBN 978-5-398-02782-2 |
© ПНИПУ, 2022 |
2
СОДЕРЖАНИЕ
Индивидуальное задание № 1. Операционное исчисление............................ |
4 |
Индивидуальное задание № 2. Решение ЛОДУ, систем |
|
ЛОДУ, ЛДРУ и ИУ с помощью операционного исчисления. |
|
Решение ЛРУ с помощью характеристического уравнения......................... |
16 |
Индивидуальное задание № 3. Исследование на устойчивость ЛОДУ, |
|
систем ЛОДУ, ЛРУ и ЛДРУ ............................................................................ |
38 |
Индивидуальное задание № 4. Производственные функции....................... |
46 |
Индивидуальное задание № 5. Моделирование рыночной динамики ........ |
47 |
Индивидуальное задание № 6. Линейные модели макроэкономики........... |
49 |
Индивидуальное задание № 7. Нелинейные модели для валового |
|
внутреннего продукта....................................................................................... |
51 |
Индивидуальное задание № 8. Модели Леонтьева........................................ |
55 |
Список рекомендуемой литературы................................................................ |
57 |
3
Индивидуальное задание № 1
Операционное исчисление
Упражнение 1. Пользуясь свойством линейности, найти изображе-
ния следующих функций. |
|
|
|
|
|||
1. sint t2 |
13. |
t2 |
t |
25. |
sinht cost |
||
2. |
2sint cos(2t) |
14. |
4cosh(2t) e 3t |
26. |
sint cosht |
||
3. |
e t e2t |
15. |
4e i(5 i)t |
27. |
e2it +1 |
||
4. |
3 sint et |
16. |
sinh (2 5i)t |
28. |
e(1 i)t |
||
5. |
sin(2t) e t |
17. |
e(2 5i)t |
29. |
e(1 t )t |
||
6. |
sint cos(2t) |
18. |
t sin(3t) |
30. |
1 t2 |
||
7. |
t 1 2e t |
19. |
( 3 i)t |
31. |
sint e t |
||
8. |
t 1 |
20. |
e it t |
32. |
e2t cos(2t) |
||
9. |
sinht 1 |
21. |
sin (2 5i)t |
33. |
e t 2sinht |
||
10. |
cosht 1 |
22. |
sinh(5t) 1 |
34. |
2cosht e t |
||
11. |
t cost |
23. |
t2 |
cost |
35. |
sinht cosht |
|
12. |
t sint |
24. |
t2 |
sint |
36. |
1 t2 2t |
|
Упражнение 2. Пользуясь свойствами подобия и линейности, найти
изображения следующих функций. |
|
|
|
|||
1. |
e2t 2t |
13. |
sin(2t) i cos(2t) |
25. |
e2t |
e 2t |
2. |
eit e it |
14. |
cos(3t) e2t |
26. |
e2it |
e 2it |
3. |
cos(3t) isin(3t) |
15. |
sin(4t) sinh(2t) |
27. |
sinh(2t) cos(2t)+1 |
|
4. |
eit ie it |
16. |
sin2 t |
28. |
cosh(2t) sin(2t) |
|
5. |
t2 (2it)2 |
17. |
sin(4t)cos(2t) |
29. |
sinh(2t) i cos(2t) |
|
6. 1 t4i3 |
18. |
e3t 5t3 |
30. |
isinh(2t) cos(2t) |
||
7. |
cos(2t) isin(2t) |
19. |
sin(2t)cos(4t) |
31. |
4t2 sinh(2t) |
|
8. |
cosh(2t) 2t |
20. |
(2t)2 2t |
32. |
i cosh(2t) sin(2t) |
|
9. |
2t 2 |
21. |
4t2 cos(2t) |
33. |
isinh(2t) cosh(2t) |
|
10. t2 2t 1 |
22. |
4t2 sin(2t) |
34. |
t2 /4 2t |
||
4 |
|
|
|
|
|
|
11. |
e2it e 2it |
23. |
sinh(2t) cosh(2t) |
35. |
cos2 t |
12. |
e2t e 2t |
24. |
sinh(2t) cosh(2t) |
36. |
sint cost |
Упражнение 3. Пользуясь свойством затухания, найти изображения следующих функций.
1. |
e t cos(2t) |
13. |
e t e 2t |
25. |
e t sin(3t)cost |
|||
2. |
ett2 |
14. |
et |
et sinht |
26. |
cos(2t)(1 e 3t ) |
||
3. |
e t sin(2t) |
15. |
t5e2t |
|
27. |
e2tt4 |
||
4. |
et sinht |
16. |
t6e t |
|
28. |
et sin2(2t) |
||
5. |
e t cosht |
17. |
et sinh(3t) |
29. |
e t cos2 t |
|||
6. |
e 2tt3 |
18. |
e 2t sinh(2t) |
30. |
e 2t sin2 t |
|||
7. |
e 3t sinh(4t) |
19. |
t2 /e2t |
|
31. |
e 3t (1 cos(2t)) |
||
8. |
e3t sin2 t |
20. |
sint /et |
|
32. |
e 5t (1 sint) |
||
9. |
et cos2 t |
21. |
sinht /e2t |
33. |
e 2t sin(4t) |
|||
10. e2t sin(3t) |
22. |
t5 /e5t |
|
34. |
e 5t (1 sint) |
|||
11. te t e2tt |
23. |
et |
e t |
/et |
35. |
e5t (t3 t2) |
||
12. et sint cost |
24. |
et |
e t |
/e t |
36. |
e2t cos2 t |
||
|
Упражнение 4. Пользуясь свойством запаздывания, найти изображе- |
|||||||
ния следующих функций. |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
(t 2)2η(t 1) |
13. |
cosh(t 1)η(t 1) |
25. |
tη(t 4) 4(t 1)η(t) |
|||
2. |
sin(t 1)η(t 1) |
14. |
et 1η(t 2) |
26. |
t2η(t 2) (t 2)2η(t) |
|||
3. |
et 2η(t 2) |
15. |
sinh(t 1)η(t 2) |
21. |
t3η(t 1) (t 1)2η(t) |
|||
4. |
(t 1)2η(t) |
16. |
et 1η(t 3) |
28. |
t2η(t 1) (t 1)2η(t) |
|||
5. |
cos(t 1)2η(t 1) |
17. |
sinh(t 3)η(t 1) |
29. |
tη(t 1) (t 2)η(t) |
|||
6. |
η(t 1)sinh(3t) |
18. |
(t 1)2η(t 1) |
30. |
et 1η(t) et η(t 1) |
|||
5
7. |
(t 3)3 |
19. |
cosh(t 2)η(t 3) |
31. |
(1 t) η(t) tη(t 1) |
||
8. |
(t 2)4 |
20. |
cos(t)2η(t 1) |
32. |
sinh(t 1)η(t) |
||
9. |
et 2 |
η(t 1) |
21. |
et 5η(t 3) |
33. |
cos(t 1)η(t) |
|
10. |
(t |
15)2 |
22. |
(t 3)3η(t) t3η(t 3) |
34. |
cos(t)η(t 1) |
|
11. |
(t |
2)5 |
23. 1 t2η(t 1) |
35. |
sin(t 1)η(t) |
||
12. |
cosh t 1 |
24. |
tη(t 1) (2 t)η(t 2) |
36. |
sinh(t )η(t 1) |
||
Упражнение 5. Найти изоб ражение функций, заданн ых графи чески.
6
7
Упражнение 6. Найти изоб ражение функций.
1. |
sin(2t π 4), |
|||
f (t) |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
2. |
cos(3t π 6), |
|||
f (t) |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
2t 4 |
, |
t 2, |
3. |
f (t) e |
|
||
|
0, |
|
t 2. |
|
t π
8, t π
8. t π
18,
0 t π
8.
8
4. |
sinh(4t 8), |
t 2, |
f (t) |
t 2. |
|
|
0, |
|
5. |
cosh(3t 12), |
t 4, |
f (t) |
t 4. |
|
|
0, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6. |
f (t) (3t 6) |
, |
t 2, |
|
|||
|
|
||||||
|
0, |
|
|
|
t 2. |
|
|
|
|
2t 2 |
sin(2t 2), |
t 1, |
|||
7. |
f (t) e |
|
|||||
|
0, |
|
|
|
|
t 1. |
|
|
|
2 2t |
cos(2 2t), |
t 1, |
|||
8. |
f (t) e |
|
|||||
|
0, |
|
|
|
|
t 1. |
|
|
e1 2t (1 2t)3, |
|
t |
1 |
, |
|
|
|||||||||
9. |
|
2 |
|
|
||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
4 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
f (t) (2t 4) |
e |
, |
|
t 2, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
f (t) cos(2t |
2) |
, |
|
t 1, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12. |
f (t) cos(2π 2t) |
, |
|
t π, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t π. |
|
|
|||
13. |
sinh(2t 2), |
|
t 1, |
|
|
|||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
cosh(6 3t), |
|
t 2, |
|
|
|||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
|
|
||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2t |
|
|
|
|
|
|
15. |
f (t) (t |
|
4t |
4)e |
|
|
, t 2, |
|
||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
|
|||
16. |
sin(4t 8)cos(4t 8), |
t 2, |
||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17. |
sinh(2t 2)cosh(2t 2), |
t 1, |
||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. |
sin(4t 8)cos(3t 6), |
t 2, |
||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19. |
sinh(4t 8)cosh(3t 6), |
t π 2, |
||||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t π 2. |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9
20. |
sin(3 2t), |
t 3 2, |
|||||
f (t) |
|
|
|
|
t 3 2. |
||
|
0, |
|
|||||
|
|
1 |
|
sinh(4 2t), |
t 2, |
||
21. |
2 |
|
|||||
f (t) |
|
|
|
|
t 2. |
||
|
0, |
|
|
||||
22. |
cosh(10t 2), |
t 5, |
|||||
f (t) |
|
|
|
|
|
t 5. |
|
|
0, |
|
|
|
|||
23. |
|
2 |
|
6t 9, |
t 3, |
||
f (t) t |
|
|
|||||
|
0, |
|
|
t 3. |
|||
24. |
|
|
|
2 |
8t 4, |
t 1, |
|
f (t) 4t |
|
||||||
|
0, |
|
|
t 1. |
|||
25. |
sin(2t 2π), |
|
t π, |
||||
f (t) |
|
|
|
|
|
t π. |
|
|
0, |
|
|
|
|||
26.f (t)
27.f (t)
28.f (t)
29.f (t)
30.f (t)
31.f (t)
32.f (t)
33.f (t)
34.f (t)
|
2t 2 |
sin(2t 2), |
t 1, |
|
|
|||||
e |
|
|
|
|||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
|
sin(4t 8) cos(4t 8), |
t 2, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
sinh(2t 2) cosh(2t 2), |
t 1, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1. |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sinh(2t 4) cos(4t 8), |
|
t 2, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2. |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sinh(2t 6) cosh(t 3), |
|
t 3, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3. |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin(t), |
0 t π, |
|
|
|
||||||
|
|
|
t 0 или t π. |
|
|
|||||
0, |
|
|
|
|||||||
|
2t 2 |
|
2 |
, |
|
|
t 1, |
|
|
|
e |
|
sin(t 2t) |
|
|
|
|
||||
0, |
|
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
|
|
3t 6 |
sinh(3t 6) |
2 |
, |
t 2, |
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|||||
0, |
|
|
|
|
|
|
t 2. |
|
|
|
|
2 2t |
|
|
2 |
, |
t 1, |
|
|
||
e |
|
cos(2 2t) |
|
|
|
|||||
0, |
|
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
|
10