книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
В.И. Колесниченко, В.В. Бурдин
ОБЩАЯ ФИЗИКА
Часть IV
ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2011
УДК 536.24 К60
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Г.Н. Вотинов (Пермский государственный технический университет) д-р физ.-мат. наук С.Ю. Хрипченко
(Институт механики сплошных сред УрО РАН)
Колесниченко, В.И.
К60 Общая физика: учеб. пособие. Ч. IV. Гидродинамика и теплообмен / В.И. Колесниченко, В.В. Бурдин. − Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. − 167 с.
ISBN 978-5-398-00588-2
Рассмотрены вопросы теплопроводности, физики жидкого состояния, гидродинамики и теплообмена. Предлагается большое количество задач с примерами решений.
Предназначено для студентов технических вузов.
УДК 536.24
ISBN 978-5-398-00588-2 |
© ГОУ ВПО |
|
«Пермский государственный |
|
технический университет», 2011 |
2 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие......................................................................................... |
5 |
1. Теплопередача в твердых телах...................................................... |
6 |
1.1. Температурное поле. Закон Фурье........................................... |
6 |
1.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности................. |
9 |
1.3. Краевые условия........................................................................ |
13 |
1.4. Стационарная передача теплоты через плоскую стенку........ |
14 |
2. Физика жидкого состояния............................................................. |
20 |
2.1. Особенности жидкого состояния вещества............................. |
20 |
2.2. Явления переноса в жидкостях................................................. |
22 |
2.3. Физические свойства жидкостей.............................................. |
25 |
2.3.1. Приближение сплошной среды....................................... |
25 |
2.3.2. Некоторые свойства жидкостей...................................... |
25 |
2.3.3. Вязкость жидкостей......................................................... |
27 |
2.3.4. Неньютоновские жидкости.............................................. |
29 |
2.4. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления................. |
30 |
2.4.1. Коэффициент поверхностного натяжения..................... |
30 |
2.4.2. Граница жидкости и твердого тела................................. |
33 |
2.4.3. Силы, возникающие на кривой поверхности |
|
жидкости..................................................................................... |
34 |
2.4.4. Капиллярные явления...................................................... |
36 |
2.4.5. Зависимость коэффициента поверхностного |
|
натяжения от температуры........................................................ |
38 |
2.4.6. Капиллярное движение.................................................... |
39 |
3. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена...... |
40 |
3.1. Субстанциональная производная............................................. |
40 |
3.2. Уравнение энергии (теплопереноса) ........................................ |
41 |
3.3. Уравнения движения................................................................. |
42 |
3.4. Уравнение неразрывности (сплошности) ................................ |
45 |
3.5. Краевые условия........................................................................ |
46 |
4. Некоторые точные решения уравнений движения |
|
вязкой несжимаемой жидкости........................................................... |
48 |
4.1. Установившееся движение жидкости |
|
между параллельными плоскостями – течение Куэтта................. |
48 |
|
3 |
4.2. Движение жидкости в круглой трубе – течение Пуазейля .... |
51 |
5. Свободная конвекция несжимаемой жидкости.………................ |
56 |
5.1. Уравнения свободной конвекции............................................. |
56 |
5.2. Конвективное течение в вертикальном слое........................... |
58 |
6. Пограничный слой........................................................................... |
62 |
6.1. Гидродинамический пограничный слой.................................. |
62 |
6.2. Интегральные уравнения пограничного слоя ......................... |
65 |
6.3. Распределение скорости в пограничном слое......................... |
68 |
6.4. Толщина пограничного слоя при обтекании пластины.......... |
69 |
6.5. Тепловой пограничный слой.................................................... |
72 |
6.6. Аппроксимация профиля температуры................................... |
74 |
6.7. Толщина теплового пограничного слоя................................... |
74 |
6.8. Коэффициент теплоотдачи ....................................................... |
77 |
7. Турбулентность................................................................................ |
79 |
7.1. Гидродинамическая устойчивость........................................... |
79 |
7.2. Уравнения Рейнольдса для развитого |
|
турбулентного движения ................................................................. |
81 |
7.3. Турбулентная вязкость.............................................................. |
86 |
7.4. Путь перемешивания Прандтля................................................ |
87 |
7.5. Турбулентное течение жидкости около стенки...................... |
88 |
7.5.1. Ламинарное движение..................................................... |
88 |
7.5.2. Турбулентное движение.................................................. |
89 |
8. Подобие и размерность ................................................................... |
94 |
8.1. Подобие течений вязкой жидкости. Числа подобия............... |
94 |
8.2. Условия подобия физических процессов ................................ |
98 |
9. Идеальная жидкость........................................................................ |
101 |
9.1. Уравнения Эйлера ..................................................................... |
101 |
9.2. Уравнение Громеки–Лэмба ...................................................... |
102 |
9.3. Интеграл Бернулли.................................................................... |
104 |
9.4. Уравнение Гельмгольца. Теорема Томсона ............................ |
105 |
Задачи ................................................................................................... |
108 |
1. Теплопередача. Дифференциальное уравнение |
|
теплопроводности............................................................................. |
108 |
2. Физика жидкого состояния. Гидродинамика............................. |
135 |
Список литературы.............................................................................. |
165 |
4 |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
В данном учебном пособии представлена IV часть курса общей физики – «Гидродинамика и теплообмен». Авторы стремились изложить без усложнений, но в то же время «без вульгаризации» некоторые вопросы теплопроводности, физики жидкого состояния, гидродинамики и теплообмена, при этом больше внимания уделять физике рассматриваемых вопросов. Студенты, освоившие данный курс, с большим вниманием и пониманием должны подойти к изучению прикладных разделов гидравлики и теплопередачи.
Вывод основных уравнений (построение математических моделей процессов) сопровождается примерами, в которых сложные исходные уравнения в частных производных существенно упрощаются, что позволяет получить аналитическое решение.
Учебное пособие содержит большое количество задач. Внимательный разбор примеров решений и самостоятельное решение задач позволит закрепить изучаемый материал.
При составлении учебного пособия необходимо было принять во внимание некоторые обстоятельства, связанные с преподаванием фи- зико-математических предметов в техническом вузе. В стандартном курсе общей физики изучению закономерностей движения жидкостей отведено весьма скромное место. Студенты получают лишь некоторые сведения об уравнении Бернулли, вязкости и некоторых других свойствах жидкости. В курсе высшей математики не рассматриваются элементы тензорного исчисления. В связи с этим вывод уравнений движения Навье−Стокса дан в упрощенном, но достаточно наглядном виде, так, как это предложено академиком М.А. Михеевым в учебнике «Основы теплопередачи».
Главы 1–9 написаны В.И. Колесниченко, глава 10 подготовлена В.В. Бурдиным.
Авторы выражают благодарность А.В. Перминову за обсуждение учебного пособия и рекомендации по его улучшению.
5
1. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
1.1. Температурное поле. Закон Фурье
Теплопроводностью называется перенос теплоты (или внутренней энергии) в телах или между ними, обусловленный переменностью температуры в рассматриваемом пространстве. В чистом виде теплопроводность характерна лишь для твердых тел.
Твердые тела рассматриваются как сплошная однородная и изотропная среда, в которой не учитывается ее дискретное строение (атомы, молекулы, ионы и т.д.). Физические свойства конкретного вещества учитываются коэффициентами, которые определяются опытным путем. Такой феноменологический подход правомерен, если размеры объектов исследования существенно превышают расстояния межмолекулярного взаимодействия.
Аналитическое или теоретическое исследование теплопроводности сводится к определению температурного поля, т.е. вида функции
T = f1 (x, y, z,t) ,
которая определяет совокупность значений температуры во всех точках тела для любого момента времени t. Наиболее общее поле, зависящее от времени, является нестационарным. Оно отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности.
Если тепловой режим является установившимся, то соответствующее ему температурное поле называется стационарным. В этом случае температурное поле не зависит от времени, а является функцией только пространственных координат:
T = f2 (x, y, z); |
∂T = 0 . |
|
∂t |
Температурное поле может быть трехмерным, двухмерным и одномерным. В случае простейшего одномерного стационарного температурного поля
6
T = f3 (x); |
∂T = 0; |
∂T = |
∂T = 0 . |
|
∂t |
∂y |
∂z |
Изотермической поверхностью называется геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру. При пересечении изотермических поверхностей плоскостью получаем на ней семейство изотерм (рис. 1.1), температуры которых отличаются на ∆T. На этом рисунке nr1 − единичный вектор, нормальный
к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры Т. Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали (оси) n.
Математически возрастание Т |
n |
|||||
в направлении нормали характе- |
|
|
|
|||
ризуется векторной |
величиной – |
|
|
|
||
градиентом температуры, направ- |
|
n |
1 |
|||
ленным в сторону |
возрастания |
|
|
T + ∆T |
||
∆n |
||||||
температуры: |
|
|
|
|
|
T |
gradT = nr |
∂T = nr |
lim |
∆T . |
|
|
T − ∆T |
|
|
|
||||
1 |
∂n 1 |
∆ n → 0 |
∆n |
Рис. 1.1 |
||
|
|
|
|
|||
Если направление нормали n не совпадает с какой-либо координатной осью, то соответствующие проекции вектора gradT вычисляются следующим образом:
(gradT
(gradT
(gradT
) |
|
= |
∂T = |
∂T cos (n, x) , |
|
x |
|
∂x |
∂n |
|
|
|
|
|
) |
|
= |
∂T = |
∂T cos (n, y) , |
|
y |
|
∂y |
∂n |
|
|
|
|
|
) |
|
= |
∂T = |
∂T cos (n, z) . |
|
z |
|
∂z |
∂n |
|
|
|
|
Для процесса распространения тепла теплопроводностью необходима неравномерность распределения температуры в теле, т.е. температурный градиент должен бытьотличен от нуляв разных точках.
7
Согласно гипотезе Фурье количество теплоты dQ, проходящее через элемент изотермической поверхности dS за промежуток времени dt, пропорционально температурному градиенту:
dQ = −λ ∂T dS dt ,
∂n
где λ – коэффициент теплопроводности (Вт/(м·К)), физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту.
Введем вектор плотности теплового потока
r |
= |
dQ r |
= −λ |
∂T r |
, |
|
q |
|
n1 |
∂n n1 |
|||
dS dt |
||||||
который направлен вдоль нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры (знак минус), так как теплота всегда передается от более горячих частей тела к холодным. Размерность величины q в СИ: джоуль на квадратный метр в секунду (ватт на квадратный метр) – Дж/(м2·с) = Вт/м2. Плотность теплового потока равна количеству теплоты, которое переносится через единичную площадку в единицу времени при условии, что площадка ориентирована перпендикулярно направлению распространения теплоты.
Основной закон теплопроводности можно сформулировать так: плотность теплового потокапропорциональна градиенту температуры.
Закон Фурье в декартовой системе координат может быть записан следующим образом:
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
∂T r |
+ |
∂T |
r |
+ |
∂T |
r |
(1.1) |
|||
|
q |
= qxi |
+ qy j |
+ qz k |
= −λ |
∂x |
i |
|
∂y |
j |
∂z |
k , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
r r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i , j,k – единичные векторы или орты декартовой системы коор- |
||||||||||||||||||
динат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
(1.1) |
с использованием |
математического |
оператора |
|||||||||||||
«набла» : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= grad = |
|
∂ r |
|
∂ |
r |
|
|
∂ |
r |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i + |
|
|
j |
+ |
|
|
k , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приобретает более компактный вид: |
|
qr = −λ T = −λ gradT . |
(1.2) |
Полное количество теплоты, прошедшее за конечное время t через заданную поверхность S,
Q = −∫ ∫t λ ∂∂Tn dS dt .
S 0
Здесь поверхность S перпендикулярна нормали n.
Опыты показывают, что для многих материалов зависимость λ(t) является линейной (t – температура, °C):
λ(t) = λ0 (1+ b t) ,
где значение λ0 берется при температуре t = 0 °C, постоянные b определяются для разных веществ опытным путем.
Пример. Рассмотрим изменение коэффициента теплопроводности с температурой для некоторых веществ.
1.Сталь углеродистая 30: λ = 50,2 Вт/(м·К) при t = 100 °C; λ =
=29,3 Вт/(м·К) при t = 600 °C, т.е. с повышением температуры коэффициент λ уменьшается.
2.Латунь (90 % Cu; 10 % Zn): λ = 102 Вт/(м·К) при t = 0 °C; λ =
=195 Вт/(м·К) при t = 600 °C, т.е. значение λ возрастает с повышением температуры.
3.Асбест: λ = 0,087 + 0,24 10−3 t , Вт/(м·К).
1.2.Дифференциальное уравнение теплопроводности
Воснову вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии.
Выделим в твердом теле элементарный объем dV = dx dy dz
в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Пусть, для простоты, грани параллелепипеда будут параллельны координатным плоскостям (рис. 1.2). Элементарный промежуток времени обозначим dt. Тогда можно записать
9
dQ = dQ1 + dQ2 , |
(1.3) |
где dQ – изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в dV за dt; dQ1 – количество теплоты, введенное в dV за dt путем теплопроводности; dQ2 – количество теплоты, которое за dt выделилось в dV за счет внутренних источников: химических реакций, фазовых переходов, нагрева проводников, по которым течет электрический ток и т.д.
Теперь более подробно рассмотрим члены уравнения (1.3).
1. dQ1. Количество теплоты, подводимое к грани dydz объема dV за время dt в направлении оси 0х, обозначим dQx ; отводимое от про-
тивоположной грани в том же направлении − dQ′ . Запишем выраже-
x
ния для этих величин:
|
x = |
|
x |
dydzdt ; |
|
|
x |
|
= |
x |
|
|
||||
|
dQ |
q |
|
dQ′ |
|
|
|
q′ dydzdt , |
|
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = |
|
x |
− |
|
x |
= |
(q |
x − |
|
|
x |
|
(1.4) |
||
|
dQ |
|
dQ |
|
dQ′ |
|
|
|
q′ )dydzdt . |
|
||||||
Функция |
x является непрерывной и на интервале |
dx |
может |
|||||||||||||
|
q′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть разложена в ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
q |
x + |
∂x |
|
+ |
... |
|
|
|||
|
|
|
|
q′ |
|
|
∂qx dx |
|
|
|
|
|||||
Подставим разложение, в котором оставлены первые два члена, в предыдущее уравнение (1.4) и получим
dQx1 |
= − |
∂qx |
dxdydzdt = − |
∂qx dVdt . |
|
||||
|
|
∂x |
∂x |
|
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к dV через соответствующие пары других граней элементарного объема. Суммируя, получим
10