книги / Математическое моделирование процессов механической обработки

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

В.А. Лосев, А.О. Трофимов, А.М. Ханов, Л.Д. Сиротенко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2017

1

УДК 621.9.06529:004.384(035)

М33

Рецензенты:

д-р техн. наук И.К. Березин (Институт механики сплошных сред, г. Пермь)

генеральный директор О.Г. Хурматуллин (ООО «Урал-инструмент-Пумори»)

Математическое моделирование процессов механичеМ33 ской обработки : учеб. пособие / В.А. Лосев, А.О. Трофимов, А.М. Ханов, Л.Д. Сиротенко. – Пермь : Изд-во Перм.

нац. исслед. политехн. ун-та, 2017. – 74 с.

ISBN 978-5-398-01857-8

Изложены начальные разделы курса «Моделирование технологических процессов в машиностроении». Рассмотрено содержание современной теории электрического моделирования и ее использование для исследования таких технических систем, как металлорежущие станки и станочные комплексы.

Предназначено для студентов технических специальностей вузов по направлению «Машиностроение».

УДК 621.9.06529:004.384(035)

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование как метод исследования известно очень давно, однако, несмотря на это, находит все новые области применения, все более многообразными становятся его формы. Метод моделирования является тем методом, который позволяет учитывать как единство содержания научных знаний, так и их различия. Модель может быть взята из одной науки, а ее прототип, то есть предмет, который исследуется с помощью модели, – из другой. К методу моделирования прибегают, когда почему-либо невозможно, затруднительно или нецелесообразно проведение прямых экспериментов. В так называемом модельном эксперименте исследованию подвергается уже не сам объект, а заменяющая его модель. Во многих случаях метод моделирования, в частности, моделирования математического, является единственно возможным способом изучения поведения сложных систем в различных состояниях, к которым можно отнести и металлорежущие станки.

Математическая модель представляет собой описание реальной системы, то есть некоторый ее образ, выраженный средствами математики. Сущность метода исследования, характерного для математической физики, заключается в том, что исследуемое явление рассматривается как объект, на который распространяются основные законы физики. Явление определяется при помощи системы математических уравнений, которые отражают наиболее общие, основные законы природы в приложении к изучаемому явлению (объекту). Таким образом, система математических уравнений представляет собой математическую модель изучаемого объекта.

Математическая модель является средством, позволяющим исследователю описать одни стороны явлений и одновременно абстрагироваться от других сторон этих явлений. Поэтому именно математические модели позволяют выявить аналогии и одновременно установить границы этих аналогий, которые являются одними из самых существенных свойств модели.

4

Аналогией вообще в логическом смысле называют суждение о каком-либо сходстве двух объектов, позволяющее на основании сходства рассматриваемых объектов в каком-либо отношении сделать вывод об их сходстве и в других отношениях. Модель и отображаемый с ее помощью объект находятся в отношении сходства, а не тождества. Математическое обоснование аналогии базируется на принципе материального единства мира, который выражает тот объективный факт, что в самой природе, несмотря на колоссальное разнообразие различных явлений и форм движения материи, эти явления и формы в то же время характеризуются единообразием, единством и общностью.

В то время как физическое моделирование базируется на том, что явления в натуре и модели имеют одинаковую природу и математическое описание, метод прямой аналогии основан только на одинаковости математического описания, то есть на аналогиях: здесь все соответствующие параметры натуры и модели (или только часть из них) имеют различную физическую природу. Характерной особенностью моделей прямой аналогии является то, что в них происходит расчленение исследуемой системы на составляющие ее физические элементы. Модель прямой аналогии имитирует на основе аналогий натурную физическую систему по ее элементам, то есть таким образом, что каждому из физических элементов натуры в модели соответствует определенный изображающий его эквивалент. Чем конкретнее и подробнее требуется представить в модели элементы исследуемой физической системы, тем в большей степени сказываются достоинства моделей прямой аналогии. Особенно это относится к моделированию систем с распределенными параметрами.

Моделями прямой аналогии служат электрические модели, реализуемые с помощью электрических и электронных устройств. Электрическое моделирование и оптимизация физических явлений характеризуются применением законов электротехники для искусственного моделирования уравнений самых

5

различных физических явлений на основе аналогии между явлениями и тождества уравнений.

Задачи, решаемые методом электрического моделирования, можно сформулировать следующим образом: требуется изучить некоторое сложное явление, изменяющееся под влиянием некоторых факторов. Известны уравнения процесса и всех сопряженных с ним условий. При решении подобных задач вместо изучения конкретно заданного физического явления создают модель и исследуют электрическое явление, при котором изменение токов и напряжений описывают уравнениями того же типа. Результаты исследования распространяются с помощью аналогии на заданное явление.

Основным содержанием современной теории электрического моделирования является синтез – составление электрической цепи из известных элементов. Синтез электрических аналоговых моделей производится на основе свойств небольшого числа элементарных двухполюсников-резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, трансформаторов, полупроводниковых диодов и транзисторов.

В отличие от теории электрических цепей, согласно которой двухполюсники – это элементы, которые сосредоточены в пространстве и размеры которых пренебрежительно малы по сравнению с длиной электрических волн, в теории электрического моделирования этим элементам условно приписываются геометрические размеры. Другими словами, параметры этих элементов становятся функциями геометрических размеров. В этом случае всякое сплошное тело или среда рассматриваются как совокупность большого, но конечного числа элементарных объемов. Физические параметры таких элементов, распределенных в объеме, замещаются в модели электрическими.

Рекомендуя язык электрических цепей в качестве общего языка моделирования по методу прямой аналогии, следует указать на возможную альтернативу в виде языка графов связи. Язык электрических цепей является более удобным и наглядным для

6

анализа динамических процессов в непрерывных системах и для непосредственной реализации моделей прямой аналогии, чем более абстрактный язык теории графов.

Моделирование – это не формализованная процедура, а в ка- кой-то мере поиск с элементами эвристики. Поэтому можно говорить об «искусстве моделирования» так же, как говорят об «искусстве эксперимента». Оно выражается в возможности получения правильных результатов с помощью наиболее простых моделей. Опытный специалист для понимания сути явлений будет стремиться свести систему к минимальному методу переменных, наиболее простой эквивалентной электрической цепи. Можно утверждать, что степень понимания явления прямо пропорциональна числу переменных, участвующих в его построении.

7

1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КАК ИНСТРУМЕНТ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ СТАНКОВ

1.1.Аналогии компонентных уравнений

Вабсолютном большинстве технических систем, к которым относятся металлорежущие станки и станочные комплексы, можно выделить две основные группы элементов:

1) пассивные элементы;

2) активные элементы.

Пассивными будем считать элементы, не имеющие независимых источников энергии. Например, в механических системах пассивными будут элементы, не имеющие независимых источников силы (крутящего момента) или линейной угловой скорости, либо имеющие несколько источников силы или скорости, алгебраическая сумма которых равна нулю.

Активные элементы – это источники фазовых переменных (источники энергии, зависящие от времени).

Среди пассивных элементов выделяются три простейших типа: 1. Фрикционный элемент типа R (сопротивление) – элемент диссипации энергии: на этом элементе, как правило, происходит

преобразование исходной энергии в тепловую. 2. Инерционный элемент типа С (емкость).

3. Элемент упругости типа L (индуктивность).

На элементах С и L происходит накопление потенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также источников фазовых переменных может быть получена математическая модель технического объекта практически любой сложности. Поведение большинства технических подсистем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в математической модели технической системы. Так, в электрической системе фазовыми переменными являются источники тока и напряжения.

8

Рассмотрим основные физические подсистемы с точки зрения аналогии компонентных уравнений. Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой.

1.1.1. Электрическая подсистема

Фазовыми переменными являются точки I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов

1.Уравнение сопротивления (закон Ома)

где I – ток, А; U – напряжение, В; R – электрическое сопротивление, Ом.

2. Уравнение емкости

где L – электрическая индуктивность, Гн.

1.1.2. Механическая вращательная подсистема

Основными (базисными) характеристиками процессов, протекающих во вращательной механической системе, являются крутящий момент М и угловая скорость , а также параметры системы: моменты инерции массы J, крутильная податливость элементов Lвр, сопротивление трения Rвр.

9

Фазовые переменные – крутящий момент М и угловая скорость – являются соответственно аналогами токов I и напряжений U по принятой системе электромеханической аналогии. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.

1. Уравнение вязкого сопротивления трения вращения

где – угловая скорость, рад/с; Rвр 1k – аналог электрического

сопротивления, рад/(Н м с); k – коэффициент сопротивления трения вращения, величина которого выбирается на основании экспериментальных данных.

Наименее конкретным понятием в механике, описываемым значительным количеством поправочных коэффициентов, является понятие сопротивления, которое возникает от взаимодействия двух перемещающихся сред. В результате этого получается необратимый процесс преобразования кинетической энергии в тепло.

При деформации упругих элементов механических систем возникают не только упругие силы, но и силы сопротивления, приводящие к рассеиванию (диссипации) механической энергии и называемые поэтому диссипативными. Диссипативные силы вызываются как внутренним трением в материале упругого элемента, так и конструктивным демпфированием – трением, возникающим на поверхностях соприкосновения деталей. Диссипативные силы зависят от любых случайных факторов, учет которых практически невозможен. Поэтому при введении диссипативных сил в динамическую модель передаточного механизма обычно ограничиваются некоторой суммарной оценкой их влияния, полагая, что в первом приближении они могут быть учтены введением силы сопротивления (момента сопротивления), пропорциональной скорости деформации (первой производной по перемещению).

10