книги / Строительная механика зданий и сооружений

Раскрыв определитель, получим уравнение, которое называется вековым. Из векового уравнения найдем 12 , а затем положительные значения собственных частот .

Пример 4.4. Вычислить частоты собственных колебаний рамы (рис. 4.9, а) при условии, что Q = 20 кН, L = 4 м, сечение

ригеля и стойки одинаковы и имеют I 8950см4,

E2,1 104 кН/см2. Массы считать точечными.

аб

вг

Рис. 4.9

131

Статически определимая рама имеет две степени свободы. По направлению возможных перемещений масс приложим силы инерции X1 и X2 (рис. 4.9, б). Для определения частот собственных колебаний нужно составить определитель второго порядка:

132

Раскрываем определитель и получаем вековое уравнение:

Для симметричных систем с симметрично расположенными массами возможны либо симметричные, либо кососимметричные формы колебаний. В этом случае удобнее рассмотреть группировку симметричных и кососимметричных сил инерции, система уравнений (4.15) распадется на две, но меньшего порядка. Да и сами эпюры проще строить исходя из принципов симметрии. При этом так как некоторые групповые перемещения будут находиться от парных единичных сил, то соответствующая масса должна входить в уравнение с коэффициентом ½.

Пример 4.5. Определить собственные колебания невесомой рамы с сосредоточенными массами посредине стоек (рис. 4.10, а). Жесткости стержней рамы считать постоянными.

Система имеет 3 степени свободы, так как всего три массы, каждая из которых может двигаться только по горизонтали.

Поскольку система симметрична и массы на ней располагаются симметрично, то удобно произвести группировку неизвестных (рис. 4.11) на симметричные и кососимметричные.

133

Вековое уравнение (4.15) для колебаний составляем с учетом того, что перемещения от групповых сил X1 и X3, состоящих из двух сил, получились удвоенными, поэтому соответствующая масса вводится с коэффициентом ½.

Так, для кососимметричных колебаний вековое уравнение будет:

135

0,34 EIm .

По результатам расчета видно, что частота основного тона

1 0,094 EIm соответствует кососимметричным колебаниям.

Значит, наиболее опасной является кососимметричная форма колебаний.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие дополнительные силы необходимо учитывать при динамическом расчете?

2.В чем отличие статического расчета от динамического?

3.Что является основной мерой инертности?

4.Сколько форм колебаний имеет любая строительная конструкция?

5.Что такое степень свободы системы в динамическом расчете?

6.Сколько форм собственных колебаний имеет простая балка с тремя сосредоточенными массами?

7.Сколько полуволн будет образовываться при колебаниях основного тона в простой балке?

8.Что такое амплитуда собственных колебаний?

9.Как возникают собственные колебания систем?

10.Какой основной метод приближенного расчета?

11.Сколько степеней свободы имеет каждая дискрет-

ная масса конструкции при учете ее пространственной работы?

136

12. Каким методом рационально строить эпюры моментов для определения перемещений с последующим определением частот колебаний?

13. На какой частоте резонанс приводит к наибольшему динамическому эффекту?

14. Что такое вековое уравнение?

ГЛАВА 5

§ 5.1. Свободные колебания многопролетных многоэтажных рам со многими степенями свободы

Cтепень статической неопределимости многоэтажных рам очень велика, что сильно затрудняет нахождение перемещений.

Для дальнейшей работы докажем вспомогательную лемму. Лемма. Сумма моментов по краям стоек каждого этажа рамы есть величина постоянная, равная моменту, создаваемому всеми вертикальными нагрузками выше лежащих этажей относительно точек начала этажа, за вычетом моментов по краям

стоек вышележащих этажей.

Для рамы (рис. 5.1) расмотрим сечение, приведенное на рис. 5.2. Очевидно, что продольные силы в стержнях, компенсируя друг друга, не дадут момента относительно т. 1. Также компенсируются и верхние поперечные силы, равные сумме продольных сил верхних ригелей (продольные силы одного и того же элемента равны между собой). Нижние поперечные силы не дадут момента, так как линия действия силы проходит через т. 1.

Рассмотрим следующее сечение (рис. 5.3), захватывающее еще один этаж. Аналогично рассуждая, получим, что сумма моментов от внешних сил относительно т. 2 равна сумме моментов, создаваемых моментами по концам стоек (так как

137

сумма моментов равна нулю). Проведя такие рассуждения, вновь получим доказательство вышеизложенной леммы.

Рис. 5.3

Первым этапом расчета является замена масс распределенных по всей длине стержней на точечные. Наиболее удобно приводить массы на уровень ригелей, что, во-первых, позволяет значительно снизить количество степеней свободы, вовторых, вносит в расчет небольшую погрешность, поскольку наибольшие массы приходятся на уровень перекрытий этажа.

Но величина приведенной массы будет зависеть от жесткости рамы. Если жесткость ригеля равна бесконечности, то

138

верхние узлы рамы закреплены от поворота (см. Введение), но имеют возможность перемещаться в горизонтальном направлении. Это соответствует стержню с двумя жесткими концами, один из которых подвижен и для него приведенная масса равна 0,39 массы стержня. Если изгибная жесткость ригеля стремится к нулю, то узлы рамы не воспринимают момент, стойка является консольной и приведенная масса равна 0,244 массы стержня. В каркасах, применяемых в строительстве, жесткости ригелей составляют весьма большие величины, поэтому приведенную массу целесообразно принимать равной 0,39 массы стержня, что пойдет в запас надежности сооружения.

Приводя массы всех стоек к массе на уровне ригеля, получаем количество степеней свободы, равное количеству этажей здания (рис. 5.4).

n

M mi .

i 1

Рис. 5.4

Выполнив предложенное приведение масс, мы сильно упростим решение, но нахождение перемещений по направлению возможных колебаний по-прежнему останется трудоемкой задачей.

Рассмотрим раму, жесткость всех ригелей которой равна бесконечности (рис. 5.5). Построим эпюру моментов от единичной силы, приложенной в точку сосредоточения масс по направлению возможных колебаний рамы. В данном случае эпюру моментов очень легко построить, несмотря на многократную статическую неопределимость системы. При беско-

139

нечно большой изгибной жесткости ригеля узлы рамы закреплены от поворота [6], следовательно, моменты по краям стоек будут равны между собой и согласно вышеизложенной лемме

n

1 h 2 ai . Кроме того, ai пропорционально жесткости соот-

i 1

ветствующей стойки.

Рис. 5.5

Рассмотрим раму, изгибная жесткость всех ригелей которой равна нулю (рис. 5.6), что эквивалентно шарнирному креп-

n

лению ригелей. Поскольку 1 h 2 ai и в точках крепления

i 1

ригелей с колонной момент равен нулю, то на опорах значение

Mi 2ai .

Рис. 5.6

Очевидно, что при изгибной жесткости ригелей, равной нулю, перемещения будут максимальны max, в четыре (судя

140