книги / Физика. Основы электромагнетизма

сти электрического поля. Вспомним теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (теорема Гаусса, см. формулу (1.18)):

Смысл этой теоремы в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Они и создают поток вектора напряженности электрического поля. Силовые линии начинаются на зарядах и обрываются на них же. А смысл теоремы о потоке вектора магнитной индукции в том, что магнитных зарядов в природе не существует. Поэтому магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются, они замкнуты. Это и означает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий войдет внутрь поверхности, столько и выйдет).

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (уравне-

ние (1.34)):

(E, dl ) 0.

L

Смысл этого уравнения в том, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является полем потенциальным (подробнее см. подраздел 1.12). Электрическое поле, помимо напряженности силовой характеристики, имеет еще и энергетическую характеристику – потенциал. Теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции говорит о том, что источниками магнитного поля являются электрические токи (по сути, движущиеся электрические

заряды), которые и создают циркуляцию вектора B . Кроме того, поскольку циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может быть отлична от нуля, маг-

141

нитное поле – поле непотенциальное. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми или соленоидальными. Таковым и является магнитное поле.

Приведем несколько примеров с применением теоремы о циркуляции для магнитного поля.

Пример 3.6. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником с током I .

Решение. В качестве произвольного замкнутого контура L выберем окружность с радиусом R , центр которой находится на оси провода (такой контур совпадет с одной из силовых линий, см. рис. 3.13, а). В данном случае ска-

лярное произведение B, dl Bdlcos 0 Bdl . Поскольку

контур пронизывается всего одним током I , по теореме о циркуляции для магнитного поля получаем:

Bdl 0 I .

L

Величина вектора B одинакова во всех точках контура, следовательно, ее, как постоянную, можно вынести за знак интеграла:

B dl 0 I .

L

Интеграл dl 2 R представляет собой просто длину кон-

L

тура L . Таким образом,

B 2 R 0 I ,

откуда находим величину магнитного поля на расстоянии R от провода:

B 0 I . 2 R

142

Последнее выражение в точности совпадает с результатом, полученным в примере 3.3 (см. формулу (3.14)) из закона Био – Савара – Лапласа.

Отметим, что формулой 3.14 можно пользоваться и в случае проводника конечных размеров при расчете поля приблизительно напротив центральной части проводника в точках, отстоящих от него на расстояниях, гораздо меньших длины проводника.

Пример 3.7. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной l с числом витков N и током I .

Решение. В качестве контура обхода выберем прямоугольный контур АСDЕ (рис. 3.15) так, что отрезок АС приблизительно лежит в средней части соленоида, а отрезок DЕ удален на большое расстояние от со-

леноида. По теореме о циркуляции для магнитного поля имеем:

143

Таким образом, циркуляции магнитного поля по отрезкам

CD и ЕA равны нулю:

B, dl 0 , B,dl 0 ,

CD EA

а по отрезку АС:

B,dl Bdl B dl B AC

AC AC AC

(здесь величина вектора магнитной индукции вынесена за знак интеграла, поскольку она должна быть постоянна на отрезке АС из-за осевой симметрии системы). На большом расстоянии от соленоида величина магнитной индукции близка к нулю, поэтому и циркуляция магнитного поля по отрезку DЕ равна нулю:

ACDE (на рис. 3.15 эти витки показаны); n число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Тогда:

B AC 0 n AC I B 0nI .

Если число витков на единицу длины соленоида представить как n Nl , где N общее число витков, а l длина соленоида, то

B 0lNI .

144

Полученный результат совпадает с формулой (3.18) для поля на оси бесконечно длинного соленоида. Пользуясь теоремой о циркуляции, мы показали, что если соленоид достаточно длинный результат (3.18) можно использовать и для расчета поля в любой точке внутри соленоида в средней его части, а не только на оси.

3.8. Работа по перемещению контура с током

вмагнитном поле. Работа электродвигателя

Сточки зрения закона сохранения энергии принцип работы электродвигателя прост. Электрическая энергия, потребляемая из сети (или от источника тока) переходит

вмеханическую энергию. Каким образом это происходит? В простейшем варианте двигатель представляет собой катушку или рамку с током (якорь двигателя), помещенную

вмагнитное поле, создаваемое электромагнитом (индуктором двигателя). Подвижная часть двигателя называется ротором, а неподвижная – статором. Роли ротора и статора исполняют якорь и индуктор. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Очевидно, именно она и вращает или перемещает якорь электродвигателя, совершая при этом работу.

Определим работу по перемещению или деформации контура с постоянным электрическим током в магнитном поле. Рассмотрим простой частный случай контура АВСD с током I , одна из сторон

145

играет роль якоря. Контур находится в однородном посто-

некоторым индуктором. На перемычку CD длиной l действует сила Ампера F IBl , и она начнет движение. При перемещении перемычки контур деформируется – его площадь становится больше.

Пусть перемычка CD переместилась на расстоя-

B S представляет собой приращение магнитного потокаФ, пронизывающего контур ABCD. Таким образом, работа силы Ампера, совершенная при деформации контура,

Формула (3.22) получена нами в частном случае. Отметим, однако, что можно строго доказать справедливость этой формулы и для любого контура с постоянным током при произвольном его перемещении или деформации в неоднородном постоянном поле. Например, формулой (3.22) можно воспользоваться при вычислении работы магнитного поля (или, другими словами, работы силы Ампера), совершаемой при повороте рамки с постоянным током в однородном магнитном поле:

A I Ф I Ф2 Ф1 I BS cos 2 BS cos 1

ISB cos 2 cos 1 ,

где 1 и 2 углы, которые составляет нормаль к плоско-

сти рамки с направлением вектора магнитной индукции в начальном и конечном положении. Учитывая, что магнитный момент рамки pm IS , получим:

A pm B cos 2 cos 1 .

146

Если рамка поворачивается из устойчивого положения равновесия, то 1 0 и

A pm B 1 cos 2 .

На первый взгляд проблема обсуждаемая в настоящем разделе, может показаться решенной. Сила Ампера приводит в движение ротор двигателя, ее работа рассчитывается по формуле (3.22). Но в подразделе 3.3 мы говорили о том, что сила Ампера, действующая на проводник с током, представляет собой сумму всех сил Лоренца, действующих на каждый свободный электрон в проводнике. А работа силы Лоренца всегда равна нулю (см. подраздел 3.1). Каким образом тогда может быть отличной от нуля работа силы Ампера?

Рассмотрим еще раз движущийся проводник (якорь) с током (перемычка CD на рис. 3.16). По проводнику течет ток I снизу вверх, следовательно, электроны движутся упорядоченно сверху вниз с некоторой скоростью v1 отно-

сительно проводника. Поскольку сам проводник движется с некоторой скоростью v2 слева направо, результирующая

147

т.е. совершает положительную работу. Такая сила действует на каждый электрон в проводе. Именно сумму всех сил

F1 мы называли силой Ампера при выводе формулы для работы, совершаемой магнитным полем по перемещению якоря двигателя (формула (3.22)). Составляющая F2 тормозит электроны и совершает отрицательную работу. В результате суммарная работа сил F1 и F2 , т.е. работа силы Лоренца, как и полагается, равна нулю.

Работа силы F2 привела бы к остановке электронов

и прекращению тока, если бы еще одну положительную работу не совершал источник тока. Напряжение источника поддерживает ток в проводе, несмотря на торможение, вы-

званное силой F2 и наличие сопротивления провода. В ко-

нечном счете, электродвигатель работает за счет энергии источника тока. За счет работы источника совершается механическая работа (вращается ротор) и нагревается обмотка электродвигателя. Закон сохранения энергии для электродвигателя можно записать следующим образом:

Аист Q Амех ,

где Аист q I t работа источника тока с ЭДС ; Q I 2 R t тепло, выделяющееся в обмотке ( R – общее сопротивление цепи); Aмех I Ф механическая работа, равна работе силы Ампера (составляющих силы Лоренца F1 ). Получим:

Таким образом, сила тока, текущего через якорь электродвигателя, определяется выражением:

I Ф/ t .

R

148

Этот результат можно трактовать так: при изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур с током (якорь), в контуре, помимо действия ЭДС , возникает

дополнительная ЭДС, равная Ф/ t (работа этой ЭДС

есть, конечно, работа составляющих сил Лоренца F2 ). Эту дополнительную ЭДС называют ЭДС индукции и обозначают i . В итоге можно записать

I R i , где i Фt .

Об ЭДС индукции и причинах ее возникновения пойдет речь в последующих подразделах.

3.9. Индуктивность

Пусть в некотором контуре течет ток I . Этот ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Силовые линии магнитного поля пронизывают данный контур и создают магнитный поток. Магнитный поток через контур, созданный током самого контура, называется собственным магнитным потоком контура. Величина магнитного поля, создаваемого каждым небольшим элементом контура, согласно закону Био – Савара – Лапласа прямо пропорцио-

нальна току I . Следовательно, магнитная индукция B в каждой точке пространства прямо пропорциональна току, а значит, и собственный магнитный поток всегда прямо пропорционален току. Таким образом, можно записать:

где L некоторый коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент пропорциональности L между собственным магнитным потоком и током называется индуктивностью. В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн).

149

Индуктивность контура зависит от геометрических характеристик контура и магнитных свойств среды, в которой находится данный контур.

Рассчитаем, например, индуктивность длинного соленоида без сердечника. Магнитное поле внутри длинного соленоида (см. формулу (3.18) и пример 3.7)

B 0lNI ,

причем силовые магнитные линии параллельны оси соленоида. Следовательно, полный собственный магнитный поток соленоида

Сравнение с формулой (3.23) дает:

Отметим, что наличие ферромагнитного сердечника, безусловно, скажется на величинах магнитного поля и магнитного потока, пронизывающего витки соленоида. Это значит, что изменится и индуктивность. Этого вопроса мы еще коснемся в дальнейшем, а пока отметим, что причина зависимости индуктивности от вещества сердечника – намагниченность вещества. В результате вещество создает дополнительное магнитное поле, складывающееся с полем, создаваемым током, текущим по виткам соленоида.

3.10. Закон электромагнитной индукции

Пусть произвольный контур (может быть, с током) находится во внешнем магнитном поле. Тогда полный магнитный поток через этот контур будет складываться из магнитного потока от внешнего поля и собственного магнитного потока, обусловленного током в самом контуре:внеш собств. Сформулируем закон электромагнитной

150