книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Н.А. Лойко, Э.В. Плехова, А.А. Савочкина, Т.В. Смышляева

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Часть 2

Теория пределов. Производная и дифференциал.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2021

1

УДК 51(075.8) Т36

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор А.Р. Абдуллаев (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

канд. физ.-мат. наук, доцент В.Н. Павелкин (Пермский государственный национальный исследовательский университет)

Т36 Тестовые задания по курсу высшей математики: в 2 ч. / Н.А. Лойко, Э.В. Плехова, А.А. Савочкина, Т.В. Смышляева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2020–2021.

ISBN 978-5-398-02323-6 (ч. 2) ISBN 978-5-398-02322-0

Ч. 2: Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций. – 100 с.

Содержит подробно разобранные типовые тестовые задания различного уровня сложности по теории пределов, дифференциальному исчислению функции одной переменной и ее приложение к исследованию функций и построению графиков. Каждое задание сопровождаетсянеобходимым теоретическимматериалом.

Предназначены для студентов технических вузов, изучающих высшую математику, а также для преподавателей, ведущих практическиезанятия. Будутполезны приподготовкектестированию.

2

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное издание является продолжением первой части тестовых заданий по курсу высшей математики.

В издании представлены и разобраны задания на знания и умения в виде теоретических вопросов и практических задач.

Первая глава «Теория пределов» посвящена следующим темам: предел последовательности и предел функции, раскрытие простейших неопределенностей, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых величин, непрерывность и точки разрыва.

Во второй главе «Производная и дифференциал» рассмотрены вопросы по следующим темам: определение производной, ее геометрический и физический смысл, производные простейших элементарных функций, производная сложной и обратной функций; дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически; логарифмическое дифференцирование, производные высших порядков, дифференциал функции.

Третья глава «Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций» посвящена применению дифференциального исчисления к исследованию функций.

Издание предназначено для студентов всех направлений подготовки технических вузов.

4

I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§1.1. Вопросы тестовых заданий

Вопрос 1.1.1

Пределом числовой последовательности называется …, к которому стремятся ее члены при неограниченном увеличении номеров членов.

Решение:

Число a называется пределом числовой последовательности { xn } при n → ∞, если для любого положительного ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство xn − a < ε . Таким образом, пределом числовой по-

следовательности называется число, к которому стремятся ее члены при неограниченном увеличении номеров членов.

Ответ: число.

Вопрос 1.1.2

Последовательность, имеющаяконечныйпредел, называется… .

Решение:

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, не имеющая предела, – расходящейся.

Ответ: сходящейся.

Вопрос 1.1.3

Выберите верные высказывания (утверждения):

1.Сумма двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность.

2.Разность двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3.Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

4.Частное двух бесконечно малых последовательностей есть сходящаяся последовательность.

5

5.Произведение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

6.Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность.

7.Ограниченная последовательность сходится.

Решение:

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если последовательность { xn } имеет конечный

Таким образом, утверждения 1 и 6 верные.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности наограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Таким образом, верным является утверждение 3. Напомним, что последовательность {xn } называется ограни-

ченной, если найдется такое число М > 0, что для всех членов последовательности выполняется неравенство xn ≤ M.

Из ограниченности последовательности не следует сходимость. В качестве примера рассмотрим последовательность

xn = (−1)n . Данная последовательность является ограниченной; действительно, для любого n справедливо неравенство xn = (−1)n = 1 < 2. Однако данная последовательность предела не

имеет. Утверждение 7 неверно.

Разность двух бесконечно больших последовательностей представляет собой неопределенное выражение и может иметь своим пределом как конечное число, так и бесконечно большое число или не иметьпредела вовсе. Такимобразом, утверждение 2 неверно.

6

Частное двух бесконечно малых последовательностей также представляет собой неопределенное выражение. Следовательно, высказывание 4 неверно.

Произведение бесконечно большой последовательности на бесконечно малую является неопределенным выражением типа

(0 ∞ ) и может либо не иметь предела вообще, либо иметь конеч-

ный илибесконечный предел, поэтому утверждение5 ошибочно.

Ответ: 1, 3, 6.

нечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами.

Ответ: нулю (ноль).

Вопрос 1.1.5

Переменные величины α ( x) и β(x) называются … беско-

β(x) называют эквивалентными бесконечно малыми при x → a. Ответ: эквивалентными.

7

Вопрос 1.1.6

Выберите верные высказывания (утверждения):

1.Если функции f ( x) и g (x) имеют конечный предел в точке x0 , то существует пределпроизведения f ( x) g ( x) в точке x0 .

2.Если функция f (x) имеет предел в точке x0 и C – про-

f (x)

равные нулю, то выражение g (x) представляет собой неопреде-

8

нечному числу, бесконечности, нулю или может просто не существовать. Таким образом, утверждение 3 неверно.

Ответ: 1, 2, 4.

Вопрос 1.1.7

Выберите верные высказывания (утверждения):

1)sin x x при x → 0 ;

2)cos x x при x → 0 ;

3)arcsin x x при x → 0 ;

4)arctg x x при x → +∞;

5)tg x x при x → 0 ;

6)ctg x x при x → 0 .

Решение:

Две бесконечно малые α ( x) и β(x) при x → x 0 называются

эквивалентными, если предел их отношения равен единице, т.е.

вивалентенбесконечномалой x при x → 0. Утверждение2 неверно.

9

Если x → 0, то y → 0.

Утверждение 3 верно.

При x → +∞ переменные величины x и arctg x не являются

бесконечно малыми, поэтому не могут быть эквивалентными. Утверждение 4 неверно.

валентен x при x → 0. Утверждение 6 неверно.

Ответ: 1, 3, 5.

Вопрос 1.1.8

Если предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке, то функция называется … в точке x0 .

Решение:

Функция y = f (x) называется непрерывной (рис. 1.1) в точке x0 , если выполняются условия:

1.Функцияопределенавточке x0 инекоторойееокрестности.

2.Функция имеет предел при x → x0 .

3.Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

10