книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, И.Б. Кухарчук
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Часть 3
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2017
1
УДК 681.3.01 (075.8) ББК 31.21
К89
Рецензенты:
д-р техн. наук А.Г. Щербинин (Пермский национальный исследовательский
политехнический университет); канд. техн. наук В.В. Смильгевич (ООО «ИНКАБ», г. Пермь)
Кузнецова, Т.А.
К89 Теория линейных электрических цепей : учеб. пособие / Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, И.Б. Кухарчук. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2017.
ISBN 978-5-398-01806-6 Ч. 3. – 185 с.
ISBN 978-5-398-01808-0
Рассмотрены методы расчета переходных процесов в линейных электрических цепях. Приведены основные положения теории, методы решения задач, вопросы и задачи для самоконтроля, варианты заданий расчетно-графических работ.
Предназначено для студентов, обучающихся по электротехническим и радиотехническим направлениям бакалавриата, изучающих курсы «Теория электрических цепей», «Основы теории цепей», «Теоретические основы электротехники», «Электротехника», «Общая электротехника».
|
УДК 681.3.01 (075.8) |
|
ББК 31.21 |
ISBN 978-5-398-01808-0 (ч. 3) |
ПНИПУ, 2017 |
ISBN 978-5-398-01806-6 |
|
2 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение......................................................................................................... |
6 |
Общие вопросы теории переходных процессов..................................... |
7 |
1. Классический метод расчета переходных процессов...................... |
10 |
1.1. Определение принужденной составляющей................................. |
12 |
1.2. Определение порядка цепи n.......................................................... |
13 |
1.3. Определение корней характеристического уравнения................ |
15 |
1.3.1. Метод входного сопротивления |
|
(входной проводимости) .......................................................... |
15 |
1.3.2. Метод главного определителя................................................. |
16 |
1.4. Определение постоянных интегрирования................................... |
19 |
1.5. Применение резистивных схем замещения.................................. |
20 |
1.6. Переходные процессы в цепях I порядка...................................... |
22 |
1.6.1. Разряд заряженной емкости через сопротивление R ............. |
23 |
1.6.2. Подключение RC-цепи к источнику постоянного |
|
напряжения ............................................................................... |
26 |
1.6.3. Подключение RL-цепи к источнику постоянного |
|
напряжения............................................................................... |
28 |
1.6.4. Подключение RC-цепи к источнику гармонического |
|
напряжения................................................................................ |
29 |
1.7. Переходные процессы в цепях II порядка..................................... |
34 |
1.7.1. Разряд емкости на цепь RL....................................................... |
34 |
1.7.2. Апериодический разряд емкости на цепь RL ......................... |
35 |
1.7.3. Предельный апериодический разряд....................................... |
41 |
1.7.4. Колебательный разряд конденсатора...................................... |
42 |
1.7.5. Подключение RLC-контура к источнику |
|
постоянного напряжения ......................................................... |
49 |
1.7.6. Общий случай расчета переходного процесса |
|
в цепях II порядка классическим методом............................. |
52 |
1.8. Задачи и вопросы............................................................................. |
58 |
Типовые задачи............................................................................... |
58 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля................................... |
70 |
1.9. Расчетно-графическая работа № 5................................................. |
77 |
Задание............................................................................................. |
77 |
Выбор варианта и расчет параметров элементов цепи................ |
78 |
Пример расчета ............................................................................... |
81 |
|
3 |
2. Операторный метод расчета переходных процессов...................... |
89 |
2.1. Преобразование Лапласа................................................................ |
90 |
2.1.1. Условия существования, ограничения.................................... |
90 |
2.1.2. Теоремы операторного метода................................................ |
91 |
2.1.3. Некоторые типовые преобразования Лапласа ....................... |
92 |
2.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме............................ |
92 |
2.3. Эквивалентные операторные схемы.............................................. |
94 |
2.4. Порядок расчета переходных процессов операторным |
|
методом ........................................................................................... |
94 |
2.5. Нахождение оригинала по изображению...................................... |
95 |
2.6. Расчет свободных составляющих операторным методом......... |
102 |
2.7. Задачи и вопросы.......................................................................... |
104 |
Типовая задача.............................................................................. |
104 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля................................. |
107 |
3. Метод пространства состояний......................................................... |
111 |
3.1. Задачи и вопросы.......................................................................... |
118 |
Типовые задачи............................................................................. |
118 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля................................. |
125 |
3.2. Расчетно-графическая работа № 6............................................... |
126 |
Задание........................................................................................... |
127 |
Выбор варианта и расчет параметров элементов цепи.............. |
127 |
4. Интеграл Дюамеля.............................................................................. |
130 |
4.1. Переходные и импульсные характеристики............................... |
130 |
4.2. Формы записи интеграла Дюамеля............................................. |
136 |
4.3. Последовательность расчета переходных процессов |
|
при помощи интеграла Дюамеля................................................. |
140 |
4.4. Задачи и вопросы.......................................................................... |
141 |
Типовые задачи............................................................................. |
141 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля................................. |
150 |
4.5. Расчетно-графическая работа № 7............................................... |
153 |
Задание........................................................................................... |
153 |
Выбор варианта и расчет параметров элементов цепи.............. |
154 |
Пример расчета............................................................................. |
159 |
4
5. Расчет переходных процессов частотным |
|
(спектральным) методом........................................................................ |
163 |
5.1. Применение преобразования Фурье для определения |
|
спектра сигнала............................................................................. |
163 |
5.2. Определение частотных характеристик заданной |
|
функции времени.......................................................................... |
166 |
5.3. Расчет переходных процессов частотным методом................... |
170 |
5.4. Связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа........ |
173 |
5.5. Задачи и вопросы........................................................................... |
175 |
Типовые задачи............................................................................. |
175 |
Вопросы и упражнения для самоконтроля................................. |
177 |
Ответы и рекомендации......................................................................... |
179 |
Список литературы................................................................................. |
184 |
5
ВВЕДЕНИЕ
В первой части были рассмотрены основные понятия и законы теории линейных электрических цепей, методы расчета линейных электрических цепей с источниками постоянных и гармонических воздействий, с взаимоиндукцией, особое внимание было уделено резонансным режимам в электрических цепях. Изложение теории сопровождалось значительным количеством примеров, приведены задания к расчетно-графическим работам.
Во второй части изложены вопросы, связанные с расчетом линейных электрических цепей с источниками периодических негармонических воздействий, а также теория четырехполюсников и фильтров. Изложение теоретических вопросов сопровождается практическими материалами, вопросами и заданиями для самоконтроля разной степени сложности. Часть заданий носит характер проверочных и предполагает краткие ответы, большинство же требует понимания основных теоретических положений, используемых методов и особенностей их применения. Такие задания сопровождаются ответами, расположенными в конце учебного пособия. Несмотря на кажущуюся легкость некоторых заданий, рекомендуется их не пропускать, поскольку сформулировать на них правильный ответ не всегда просто.
Следует отметить особую роль одного из авторов настоящего учебного пособия, ученого-электротехника, доцента А.А. Рябухи, в развитии предмета и курса «Теоретические основы электротехники» на электротехническом факультете ПНИПУ, в подготовке этого пособия, в котором обобщен, кроме прочего, и его многолетний опыт работы, и большинство практических заданий разработаны также А.А. Рябухой.
6
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассматривая работу электрической цепи, следует различать установившиеся или стационарные режимы и переходные или динамические режимы.
Установившийся или стационарный режим работы электрической цепи характеризуется вполне определенной картиной распределения токов, напряжений и электромагнитной энергии между элементами. Это распределение является либо неизменным во времени, если в цепи действуют источники постоянных воздействий, либо периодически меняющимся, как это имеет место при гармоническихилинегармоническихпериодическихвоздействиях.
Установившееся распределение напряжений и токов в электрических цепях может быть нарушено в результате действия возмущений. Возмущением называют некоторое воздействие на электрическую цепь, повлекшее за собой изменение ее состояния. В общем случае возмущения делятся на параметрические и коммутационные. Параметрические возмущения привносят изменение параметров элементов цепи вследствие каких-либо внешних или внутренних причин. Коммутационные возмущения приводят к изменению структуры цепи вследствие коммутации – присоединения или отключениянекоторых элементовцепиили ее частей.
Действие коммутационного возмущения эквивалентируется в расчетных моделях идеализированным элементом – коммутатором, который может замыкать или размыкать контакты 1 и 2 (рис. 1.1), изменяя режим работы цепи.
Изменение состояния коммутатора происходит в течение времени t . Идеализация заключается в устремлении промежутка t 0 . Именно этот момент времени соответствует началу переходного процесса (t 0) .
В результате коммутации образуется новая цепь, которую по истечении некоторого промежутка времени можно будет рассматривать как стационарную, характеризующуюся другим рас-
7
пределением токов, напряжений и электромагнитной энергии, нежели в исходной цепи. Переход из одного стационарного состояния в другое происходит не мгновенно, а с течением времени, что обусловлено наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей катушек и емкостей конденсаторов). Накопленная в электрической цепи на момент коммутации магнитная энергия катушек и электрическая энергия конденсаторов скачком измениться не могут, поскольку для осуществления мгновенного перехода из одного энергетического состояния в другое необходимы источники, имеющие бесконечно большую мощность. Процессы, сопровождающие этот переход, называются переходными.
а |
iк |
|
|
1 |
2 |
|
uк |
|
бiк
1 2
До коммутации |
После коммутации |
Rк = |
Rк = 0 |
iк = 0 |
iк 0 |
uк 0 |
uк = 0 |
|
|
После коммутации |
До коммутации |
uк
Рис. 1.1
Строго говоря, цепь снова приобретает характер стационарной через неограниченно большое время после действия возмущения (t ). Однако с достаточной для практических цепей степенью точности можно считать, что стационарное состояние наступает через некоторое конечное время, называемое временем переходного процесса (tпп). При этом токи и напряжения настолько приближаются к своим установившимся значениям, что расхождения между ними пренебрежимо малы.
Как было отмечено выше, возмущение действует так же не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени (рис. 1.2):
8
t = t2 – t1. Как правило, этот промежуток t значительно меньше рассматриваемого времени переходного процесса ( t << tпп), по-
этому принято считать, что t = 0, и моменты t1 |
и t2 сливаются |
||||||||
в момент возмущения t0. |
|
|
|
|
|||||
Старый |
|
Интервал |
Переходный |
|
Новый |
||||
стационарный |
|
действия |
процесс |
стационарный |
|||||
режим |
|
возмущения |
|
|
режим |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+ |
tпп |
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
Рис. 1.2
Значение исследуемой функции (тока или напряжения) f(t) не всегда одинаково в начале и в конце интервала возмущения. При устремлении этого интервала к 0 функция f(t) может изменяться скачкообразно. Таким образом, ее значение до и после (или, как принято определять в математике, – слева и справа) момента возмущения t0 могут не совпадать. Это влечет за собой необходимость различать моменты времени 0− и 0+.
Как было изложено выше, к накопителям энергии относят индуктивности катушек (Wм Li22 ) и емкости конденсаторов
(Wэл Cu2 2
торые не могут содержать источники, обладающие бесконечной мощностью, следуют правила сохранения, называемые также законами коммутации, исключающие возможность скачкообразного изменения напряжения на емкости и тока в индуктивности в момент возмущения:
u |
(0 ) u |
C |
(0 ), |
|
|
C |
|
|
(1.1) |
||
i |
(0 ) i |
|
(0 ). |
||
|
|
||||
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Начальные значения величин, сохраняющиеся неизменными в момент времени t = 0, называются независимыми начальными условиями (значениями). Таковыми являются токи индуктивностей и напряжения на емкостях, подчиняющиеся правилам коммутации. Токи и напряжения сопротивлений, токи емкостей и напряжения на индуктивностях в момент коммутации могут изменяться скачком. Их величины после коммутации (t = 0+) назы-
вают зависимыми начальными значениями. Последние не опре-
деляются непосредственно правилами сохранения, но всегда могут быть выражены через независимые начальные значения с помощью уравнений Кирхгофа, записанных для мгновенных значений токов и напряжений, действующих в послекоммутационной цепи для момента t = 0+.
1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классический метод расчета переходных процессов основан на составлении и последующем решении (интегрировании) дифференциальных уравнений, полученных по законам Кирхгофа и связывающих искомые токи и напряжения в послекоммутационной цепи и заданные воздействующие функции (источники электрической энергии). Преобразуя систему уравнений Кирхгофа методом исключения, можно вывести итоговое дифференциальное уравнение послекоммутационной цепи, составленное относительно какой-либо одной переменной величины x(t):
a |
d n x |
a |
d n 1x |
a x f (t). |
(1.2) |
|
dtn |
n 1 dtn 1 |
|||||
n |
|
0 |
|
Здесь x – некоторая электрическая величина (ток, напряжение и др.), n – порядок дифференциального уравнения, равный порядку цепи, ak – положительные коэффициенты, величина которых определяется параметрами пассивных элементов R, L, C цепи, f(t) – некоторая функция задающих воздействий (источников).
10