книги / Моделирование функционирования изделий и технологических процессов в системах компьютерной математики

УДК 004.42:658.512.2–047.58(075.8) К85

ских процессов в системах компьютерной математики : учеб. пособие / А.Ю. Крюков. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2020. – 92 с.

ISBN 978-5-398-02307-7

Приведены методы исследования математических моделей, показаны возможности использования современных систем компьютерной математики при организации вычислений для анализа функционирования изделий и технологических процессов обработки конструкционных материалов. Рассмотрены возможности применения СКМ MathCAD для решения типовых инженерных задач и стандартные функции их решения.

Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 15.03.01 «Машиностроение».

УДК 004.42:658.512.2–047.58(075.8)

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для освоения теории стандартных численных методов решения типовых научнотехнических задач, а также для приобретения знаний и умений, необходимых для использования в профессиональной деятельности современных типовых систем компьютерной математики выпускниками технических вузов.

Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата 3-го или 4-го курсов дневной и заочной форм обучения по направлениям подготовки 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и 15.03.01 «Машиностроение» [1, 2]. Также может быть использовано студентами других инженерных машиностроительных направлений и специальностей, где для обучающихся являются актуальными компетенции, связанные с применением аналитических и численных методов при математическом моделировании в разработке проектов изделий машиностроения и технологических процессов с использованием современных математических пакетов для получения результатов и проведения параметрических исследований.

Структура пособия соответствует подготовке студентов, которым необходимо приобрести следующие знания и умения:

– знание теории решения стандартных инженерных задач с помощью современных вычислительных технологий: численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, функционального назначения и математических основ решения задач интерполяции и аппроксимации при обработке экспериментальных данных;

–знание функционального назначения систем компьютерной математики, технических аспектов их прикладного использования

иобщей методологии их практического освоения;

–знание функций и алгоритмов реализации стандартных инженерных задач с помощью системы компьютерной математики

MathCAD;

5

–умение адаптировать знания математики, физики, теоретической механики и других базовых дисциплин и дисциплин профиля подготовки к анализу конкретных рабочих процессов функционирования машин и обработки материалов, правильно определять цели расчёта параметров конструкций изделий, осуществлять постановку задач для математического анализа проектной ситуации;

–умение работать с системой MathCAD как основной программной средой, предназначенной для математического моделирования при решении типовых инженерных задач, решать их с помощью встроенных функций систем компьютерной математики;

–умение использовать численные методы при решении задач определения параметров и режимов стационарных и нестационарных физических процессов функционирования машин и обработки материалов.

Во введении кратко описана роль численных методов решения научно-технических задач и систем компьютерной математики (СКМ) в инженерной подготовке, даётся обзор учебно-методической

инаучно-технической литературы по тематике учебного пособия.

Впервом разделе представлены сведения по общей теории численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений и математические основы решения задач интерполяции и аппроксимации при обработке экспериментальных данных.

Во втором разделе представлены общие сведения о системах компьютерной математики, их появлении и развитии. Описано значение СКМ для инженерной практики, общая технология их использования и методология получения умений работы с данным программным обеспечением. Приведено описание системы MathCAD как типичного представителя СКМ.

Втрёх последующих разделах (третьем, четвёртом и пятом) содержатся сведения о решении типовых задач инженерной практики: алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений

исистем уравнений, задач интерполяции и аппроксимации экспери-

6

ментальных данных с применением функционала системы компьютерной математики MathCAD. Приведены различные примеры прикладных задач проектно-конструкторской и производственнотехнологической деятельности.

Вшестом разделе содержатся краткие сведения о возможностях применения классических процедур программирования в СКМ MathCAD (по аналогии с языками программирования высокого уровня). Показана возможность расширения функциональных возможностей СКМ за счёт программных модулей и соответствующих управляющих структур входного языка.

Взаключении представлены общие выводы по изложенным материалам и методические рекомендации по развитию приобретённых компетенций (знаний, умений, навыков).

Для качественного восприятия излагаемого материала студенту необходимы знания математики и физики в объёме стандартного курса технического вуза, обязательно хорошее владение персональным компьютером на уровне пользователя – знание основных приёмов работы с программами, предназначенными для функционирования под управлением операционной системы «Windows», способности и умение самостоятельно рассуждать, обобщать и систематизировать информацию, логически мыслить.

Основой успешного освоения современных СКМ является системный подход, сочетающий одновременное обучение теоретическим основам инструментов моделирования и практическому использованию соответствующего программного обеспечения. И настоящее учебное пособие представляет собой ещё один опыт подобного обобщения теоретических основ и прикладных аспектов изучения и применения СКМ в деятельности инженера-машино- строителя. Пособие рекомендуется к совместному использованию

скурсами практических занятий [6, 13, 16], в которых хорошо и лаконично изложены технологии использования функционала прикладного программного обеспечения СКМ.

7

ВВЕДЕНИЕ

Можно сказать, что решение любой физической задачи теоретическим путём есть математическое моделирование [1, 2, 3]. Однако возможность теоретического решения задачи ограничивается степенью сложности её математической модели. Математическая модель тем сложнее, чем сложнее описываемый с её помощью физический процесс, и тем проблематичнее становится использование такой модели для расчётов.

В простейшей ситуации решение задачи можно получить «вручную» аналитически. В большинстве же практически важных ситуаций найти аналитическое решение не удаётся из-за математической сложности модели. В таком случае используются численные методы решения задачи, эффективная реализация которых возможна только на компьютере [1]. Также в связи с широким внедрением компьютерной техники в процессы машиностроения и непрерывным развитием её аппаратных возможностей численные методы становятся стандартной технологией решения научно-технических задач. Указанное обстоятельство было необходимо учитывать уже и во второй половине XX в., а в современном мире его актуальность возросла многократно по отношению даже к периоду 1990–2000 гг.

Кроме того, требуются удобные инструменты, совмещающие возможности как непосредственно моделирования, так и проведения последующих параметрических исследований для анализа и обработки результатов [1, 6–9].

Таким образом, исследования и расчёты на основе сложных и даже относительно простых математических моделей в настоящее время производятся путём компьютерного математического моделирования [8, 9]. В связи с этим в XX в. наряду с традиционными направлениями физики (теоретическим и экспериментальным) возникло новое направление – вычислительная физика.

Исследование физических процессов на компьютере называют вычислительным экспериментом. Таким образом, вычислительная физика прокладывает мост между теоретической физикой, из кото-

8

рой она черпает математические модели, и экспериментальной физикой, реализуя виртуальный физический эксперимент на компьютере. Использование компьютерной графики при обработке результатов вычислений обеспечивает наглядность этих результатов, что является важнейшим условием для их восприятия и интерпретации исследователем.

Что касается численных методов, то их реализация позволяет анализировать и применять на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались исследованию, т.е. получать компьютерные математические модели и выполнять вычислительные эксперименты [1, 10, 11].

Следовательно, для студентов машиностроительных направлений и специальностей инженерных вузов особенно важно применение систем автоматизации расчётов и моделирования, являющихся необходимыми инструментами деятельности в период обучения и профессиональной деятельности.

Анализ учебно-методической и научно-технической литературы показал, что существует достаточно большое количество специализированных книг, связанных с предметными областями настоящей работы. Небольшая их часть приводится в списке литературы. В частности, в изданиях [12, 13] представлена информация по теории численных методов решения научно-технических задач, в [3–5, 14] – по общим подходам к практике расчётов и моделирования, а в [8, 9, 13, 15–19] – по функционалу СКМ и технологии работы с программным обеспечением.

Вся представленная литература может быть использована для приобретения необходимых знаний и умений при работе с соответствующим программным обеспечением. При этом следует отметить, что для начинающего пользователя не слишком важен год выпуска книги, поскольку базовые приёмы работы, например, с СКМ MathCAD примерно одинаковы для разных поколений данной программы, предназначенной для функционирования в операционной системе «Windows». Объём и содержание материала из литературы отбираются студентами самостоятельно в зависимости от изучаемой темы и решаемых задач.

9

РАЗДЕЛ 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ

1.1.Некоторые сведения по теории

ипрактике моделирования

Моделирование − метод познания окружающего мира (а также часть инженерной практики), предназначенный для изучения и анализа физических процессов – процессов функционирования изделий и обработки материалов – на основе построения и использования их моделей и выполнения численных экспериментов [3, 5, 14].

Модель – способ замещения реального объекта, используемый для его изучения. Модель вместо исходного объекта используется в случаях, когда эксперимент с реальным объектом опасен, дорог, происходит в неудобном масштабе пространства и времени (долговременен, слишком кратковременен, протяжён…), невозможен, не повторим, не нагляден и т.д.

Моделирование – процесс построения и использования модели. Моделирование (как основной инструмент инженерной практики) можно понимать как средство овладения информацией, её преобразования, хранения и отображения в некоторой материальной среде (в человеческом мозге, на запоминающих устройствах ЭВМ,

на экране дисплея или на листе бумаги).

Таким образом, под моделью будем понимать заменитель реального объекта в тех свойствах и отношениях, которые требуются для решения практических задач. Соответственно, моделирование будем рассматривать как метод опосредованного познания, в котором объект-модель находится в некотором неполном соответствии с объектом-оригиналом.

Моделей может быть несколько: приближённая, более точная, ещё точнее и так далее. Модели как бы образуют ряд.

С точки зрения информатики решение любой задачи представляет собой замкнутую технологическую последовательность, изображённую на рис. 1.

10