книги / Неопределенный интеграл

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для успешного усвоения раздела «Интегральное исчисление функции одной переменной» требуется регулярная систематическая работа по изучению теоретического материала и решению практических заданий. Показателем усвоения материала служит успешное выполнение заданий расчетной и контрольных работ.

Особое внимание надо обращать на активную самостоятельную работу как при подготовке, так и в процессе проведения теоретических и практических занятий.

После проведения теоретического занятия необходимо разобрать пройденный материал самостоятельно, воспользовавшись конспектом лекций и учебником. Для лучшего усвоения теории материал сгруппирован по разделам, в которых излагаются методы решения типовых задач интегрального исчисления. В каждом разделе приведены подробные решения практических примеров. Необходимо тщательно проанализировать каждый пример. После этого решить аналогичные примеры самостоятельно.

После изучения каждого раздела проводится контрольная работа. После изучения всего раздела выполняется индивидуальная расчетная работа.

3

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов. Самостоятельная работа является важной частью учебной программы, способствует развитию творческого мышления, повышает академическую активность студента. Выполнение индивидуального задания в сроки, указанные преподавателем, обеспечивает ритмическую работу студента в течение семестра.

Пособие соответствует программе изучения интегрального исчисления функции одной переменной. Приведены краткие теоретические сведения. Изложены основные методы интегрирования. Перечислены основные классы интегрируемых функций. Изложение сопровождается большим количеством разобранных примеров. Приведены задания для самостоятельного решения.

Пособие содержит вопросы для самоконтроля, тексты контрольных работ и индивидуальные задания.

4

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§1. Основная задача интегрального исчисления

Основная задача интегрального исчисления: найти функцию F(x), зная её производную F′(x) = f (x) или дифференциал

dF(x) = f (x)dx.

Задача интегрального исчисления является обратной задаче дифференциального исчисления. В дифференциальном исчислении функция F(x) была задана. Требовалось найти ее производную или

дифференциал.

§2. Понятие неопределенного интеграла

1. Первообразная функция

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f (x) на конечном или бесконечном интервале (a,b), если

для любого x (a,b) выполняется равенство

Замечание. Отметим, что для любой первообразной F(x) справедливо равенство

5

Теорема об общем виде первообразной

1. Если F(x) – первообразная для функции f (x) на интервале

Определение 2. Множество всех первообразных функции f (x)

называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обо-

Здесь f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx –

подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, С – произвольной постоянной.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрическое истолкование неопределенного интеграла

График каждой первообразной y = F(x) называется инте-

гральной кривой. Неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых y = F (x)+C , каждая из которых

получается путем сдвига графика y = F(x) вдоль оси Oy на величину С.

Теорема о существовании неопределенного интеграла

Если функция f (x) непрерывна на интервале (a,b), то она интегрируема на этом интервале.

6

§3. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынте-

гральной функции: ( f (x)dx)′ = f (x).

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d ( f (x)dx)= f (x)dx.

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF(x) = F(x)+ C.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интегра-

ла: k f (x)dx = k f (x)dx, k – постоянное число.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегра-

ловотслагаемыхфункции: ( f (x)± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx. 6. Инвариантность формулы интегрирования. Если

f (x)dx = F(x)+ C , то f (u)du = F(u)+ C , где u = ϕ(x) – произ-

вольная функция, имеющая непрерывную производную. Свойства 1, 2 и 3 показывают, что операции дифференци-

рования и интегрирования являются взаимно обратными.

С помощью свойств 1 и 2 мы можем проверить правильность интегрирования. Например, равенство (4x3 + 2x)dx = x4 + x2 + C

верно, так как (x4 + x2 + C )′ = 4x3 + 2x .

Свойства 4 и 5 называются свойствами линейности неопределенного интеграла.

Свойство 6 означает, что формула для неопределенного интеграла остается справедливой при замене независимой переменной х на произвольную функцию u = ϕ(x), имеющую непрерыв-

ную производную.

7

§4. Таблица основных неопределенных интегралов

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы интегрирования функции сводятся к указанию приёмов, приводящих искомый интеграл к табличному. Поэтому необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (табл. 1).

Таблица 1

Таблица основных интегралов

8

Формулы I–X и XII получены путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления. Справедливость формул XI и XIII легко проверить дифференцированием (воспользуйтесь свойствами 1 или 2 неопределенного интеграла).

Если умножить обе части формулы XI на –1, то она примет вид:

В дальнейшем номером XI будем обозначать обе формулы. Таблицу основных интегралов дополним еще несколькими

формулами. Эти формулы нужно уметь выводить. Методы получения таких формул будут рассмотрены ниже (табл. 2).

9

Таблица 2 Дополнение к таблице основных интегралов

10