книги / Методические указания по проведению научно-исследовательской работы для студентов бакалавриата по направлению 22.03.01 Материаловедение и технологии материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по проведению научно-исследовательской работы для студентов бакалавриата по направлению 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов»

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2017

Составители:

Е.Ю. Макарова, Ю.В. Соколкин, А.А. Чекалкин

УДК62-4

Рецензент доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой МКМК А.Н. Аношкин (Пермский национальный

исследовательский политехнический университет)

Методические указания по проведению научно-исследовательской работы для студентов бакалавриата по направлению 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов» / Е.Ю. Макарова, Ю.В. Соколкин, А.А. Чекалкин. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2017. – 40 с.

В методических указаниях по выполнению индивидуальной НИР рассматриваются постановка и решение краевой задачи микромеханики композитов с учетом конечных дисперсий физических свойств. Устанавливается важное свойство макроскопически однородных квазиизотропных сред, связывающее поля структурных деформаций с макродеформациями посредством случайного функционала относительно упругих свойств микронеоднородной среды. Построены замкнутые системы дифференциальных уравнений краевой задачи для моментных функций различных порядков. Формулы для прогнозирования эффективных модулей упругости приводятся к аналитическому виду. Разработана методика вычисления поправки как в первом, так и в последующих приближениях. Подчеркивается общность и универсальность разработанного подхода, так как для широкого класса квазиизотропных композитов данная методика прогнозирования упругих свойств композитов дает вполне приемлемые для практики результаты.

Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов».

Утверждено на заседании кафедры механики композиционных материалов и конструкций: протокол № 16 от 31.05.2017

УДК62-4

© ПНИПУ, 2017

2

3

Введение

Научно-исследовательская работа в семестре является составляющей учебного плана подготовки бакалавров по направлению 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов».

Целью НИР бакалавров является повышение уровня знаний в области прогнозирования упругих и прочностных свойств композитов, разработка новых структурно-феноменологических моделей композиционных материалов, получение навыков решения практических задач, ознакомление с методиками квазистатических испытаний.

Основные задачи выполнения НИР студентами заключаются в обосновании выбора актуальной темы научно-исследовательской работы в области прогнозирования упругих и прочностных свойств композитов, основанные на решении краевых задач микромеханики композитов. Результаты проведенного исследования должны стать доступными для научных работников и инженеров. Одна из форм представления результатов исследований — научная статья, опубликованная в реферируемом научном журнале.

Индивидуальные научно-исследовательские работы бакалавров могут выражаться в теоретических и экспериментальных исследованиях, выполненных в лабораторных условиях.

Важной и актуальной проблемой в исследованиях упругих и прочностных свойств современных композиционных материалов является свободное владение бакалаврами элементами тензорного анализа, поскольку как упругость, так и прочность — объекты сложной физической природы (тензоры четвертого ранга).

Внастоящей работе приводятся методические рекомендации по вычислению функционалов краевой задачи с получением простых аналитических зависимостей. Прогнозирование эффективных модулей упругости композитов проводится с учетом корреляционного решения, а также с учетом последующих приближений. Для некоторых моделей композитов полученные ряды удается просуммировать. Строятся вилки Фойгта–Рейсса, Хашина–Штрикмана.

Вданной работе рассматривается макроскопически однородный квазиизотропный композит, свойства которого описываются случайными локально–эргодическими полями. Примером выполнения работы служит статья «Структурно–феноменологические модели прогнозирования упругих свойств высокопористых композитов». Тема статьи-примера включает решение близкой задачи в рамках обозначенной проблемы исследований. Выполнение исследований в рамках индивидуальной исследовательской работы предусмотрено в 8 семестре программы бакалавриата: 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов» и основывается на материале ранее изученных дисциплин: механика анизотропных конструкций, сопротивление анизотропных материалов, механика композиционных материалов.

4

1 Наименование и описание проблемы

В последнее время в производстве крупногабаритных изделий из композиционных материалов наметилась тенденция к их созданию на основе технологии напыления. Основным преимуществом этой технологии является ее экономичность и высокая производительность. При этом реализуется предельный или близкий к предельному коэффициент накопления армирующих элементов, приводящий к существенному повышению жесткости конструкции. Полученный в результате этой технологии композит относится к классу макроскопически однородных квазиизотропных материалов. Хотя методы прогнозирования эффективных упругих свойств этого класса современных композитов достаточно хорошо разработаны, однако они нуждаются в дальнейшем развитии, так как основаны на использовании линейных моделей относительно объемной концентрации включений. Это обстоятельство приводит к тому, что вилки Фойгта–Рейса, Хашина–Штрикмана, внутри которых находятся истинные значения макроскопических упругих свойств композитов, остаются достаточно широкими. Этот факт убедительно свидетельствует о том, что первого приближения при решении краевой задачи может оказаться недостаточно. Возникает необходимость учета последующих приближений или даже привлечения результатов суммирования полученного ряда. Однако и в этом случае разработанная методика нуждается в уточнении.

Наиболее точную оценку эффективных упругих свойств дают нелинейные относительно объемной концентрации модели микронеоднородной среды, существенно сужающие вилки Фойгта–Рейса, Хашина–Штрикмана. В этом случае хорошее совпадение с экспериментом дает первое приближение, учитывающее только корреляционную поправку. Последующие приближения не вносят заметных уточнений. Данное обстоятельство убедительно свидетельствует о том, что в результате решения стохастической краевой задачи получаются простые аналитические зависимости для прогнозирования эффективных упругих свойств композитов. Эти модели охватывают и предельные случаи: класс высокопористых композитов и класс гранулированных композитов с жесткими сферическими включениями. Таким образом, данный подход является существенным шагом в развитии математических методов прогнозирования упругих свойств квазиизотропных композитов.

2 Анализ состояния проблемы

Первые работы в области механики структурно–неоднородных сред относятся к концу двадцатых годов ХХ-го столетия, когда Фойгт и Рейсс предложили вычислять соответственно эффективные модули упругости и коэффициенты податливости по правилу механического смешивания. Эти подходы допускают интерпретацию в виде простых механических моделей: модель параллельно соединенных стержней (модель Фойгта) и модель последовательного соединения стержней (модель Рейса). В первом случае

5

реализуется однородное поле макродеформаций, во втором случае — однородное поле макронапряжений. Ввиду сказанного выше эти подходы приводят соответственно к линейным зависимостям от объемной концентрации макроскопических модулей упругости и коэффициентов податливости. При этом, как это показано исходя из вариационных принципов, подход Фойгта дает верхнюю оценку эффективных свойств, а подход Рейсса — нижнюю оценку. Таким образом, истинные значения эффективных модулей лежат внутри этой вилки. В 1946 году И.М. Лифшиц и Л.Н. Розенцвейг предложили метод расчета макроскопических свойств поликристаллов на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости. Впоследствии этот метод получил широкое развитие в работах отечественных и зарубежных ученых. Полученные в этом направлении результаты обобщены в ряде монографий, где дается также современное

состояние исследований в этом направлении 3, 4,17, 19, 24 – 26, 36 .

С начала шестидесятых годов двадцатого столетия разрабатывается подход, связанный с применением вариационных методов для вычисления границ эффективных модулей упругости. Перспективным в этом направлении является метод самосогласования, развитый в работах Хашина и Штрикмана, получивших более узкую вилку, по сравнению с вилкой Фойгта–Рейса. Вилка Хашина–Штрикмана для эффективных модулей упругости и решение, соответствующее методу самосогласования, можно получить с помощью обобщенного сингулярного приближения, предложенного Т.Д. Шермергором 36 .

Один из основных недостатков вариационных методов заключается в том, что в рамках этих подходов, как правило, не удается изучить такие тонкие эффекты микромеханики как влияние геометрии формы структурных элементов и полей деформирования в каждом из структурных элементов на эффективные упругие свойства композита. Поэтому актуальными остаются работы, в которых объектом исследования являются среды с регулярной структурой. В 1975 году Н.С. Бахвалов предложил метод осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, который нашел успешное развитие в механике композитов. Одной из основных особенностей предложенного подхода является то обстоятельство, что в этом методе на искомое решение накладываются условия периодичности. Этот метод получил дальнейшее развитие в работах Б.Е. Победри и его учеников при решении краевых задач теории упругости и вязкоупругости, разработке методов прогнозирования эффективных модулей упругости и полей деформирования в микронеоднородных средах 19 .

На кафедре механики композиционных материалов и конструкций (МКМК) активно развиваются как традиционные подходы к решению стохастических краевых задач, так и альтернативные известным в настоящее время методам решения, основанные на физике взаимодействия структурных элементов 3, 17, 24 – 26 . Сформулирован принцип локальности, согласно которому в расположении и во взаимодействии

6

структурных неоднородностей имеет место ближний порядок. Из этого метода вытекают два основных численно–аналитических метода решения краевых задач микромеханики композитов: метод локального приближения и метод периодических составляющих. Метод локального приближения учитывает геометрическую форму структурных элементов, неоднородные поля напряжений и деформаций в волокне и матрице, инверсию физико– механических свойств. Этот метод основан на расчете полей микронапряжений и микродеформаций в структурных элементах и осреднении полученных результатов по представительному объему. Зная макронапряжения и макродеформации, из закона Гука для макрооднородной среды находятся эффективные модули упругости композита. Метод периодических составляющих основан на разложении полей деформирования на периодическую и пульсационную составляющие. Таким образом, стохастической структуре ставится в соответствие периодическая структура, в отличие от традиционного подхода, когда периодической среде ставится в соответствие среда с однородными свойствами. В этом случае эффективные модули упругости определяются из следующих соотношений:

— макроскопические модули упругости регулярной среды сравнения, h 1

ijmn

— поправка к регулярной среде сравнения. Как первое, так и второе слагаемое в соотношении (2.1) определяются из решения краевых задач микромеханики композитов. В первом случае для определения эффективных модулей упругости периодической структуры рассматривается решение краевой задачи микромеханики композитов для периодической структуры. Эффективным методом ее решения является

метод локального приближения 26 и метод асимптотического разложения по малому параметру 19 . В результате решения получаются следующие соотношения:

где через Cijmn обозначены модули упругости композита, вычисленные по

Фойгту, а через — поправка, получаемая из решения для среды с периодическойструктурой. Такимобразом, вобщемслучае имеютсядвепоправки ксредниммодулямупругостипериодическойструктуры. Приэтомвтрадиционном

методеосредненияпоправка Cijmn1 неучитывается.

7

В результате анализа указанных выше результатов задачи прогнозирования упругих свойств квазиизотропных материалов актуальны и могут быть исследованы в рамках 8 семестра при обучении бакалавров по направлению 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов».

3 Определение и обоснование пути решения проблемы

Определение и обоснование пути решения проблемы связано с построением новых моделей микронеоднородных сред, с постановкой и решением краевых задач микромеханики композитов. Построение моделей микронеоднородных сред сводится к определению класса локально– статистически однородных, локально эргодических и квази-локально- эргодических случайных полей.

Случайное поле r есть локально-статистически однородное поле, если

на равные расстояния, не превышающие характерного размера некоторой области статистической зависимости V* V. Под областью V* понимается

шар, радиус которого равен 2l, (0 < 1, l — характерный размер конструкции).

Случайное поле r есть локально-эргодическое поле если r

локально-статистически однородно и моментные функции произвольного порядкаk финитнывобластиV* V, тоесть

rm max ri rj , i, j 1, k , D – характерный размер областиV*.

Микронеоднородная среда макрооднородна, если упругие свойства микронеоднородной среды описываются случайными локально– эргодическими полями.

Микронеоднородная среда квазиизотропна, если: 1) С = θ r — есть тензор модулей упругости изотропной упругой среды; 2)моментные функции K k r1,r2,...,rk в окрестности второго порядка малости (в 2l–окрестности

произвольно взятой точки среды) зависят от модулей всех расстояний между точкамитвердоготела

K k r1,r2,...,rk K k r1 r2 , r1 r3 , r2 r3 ,..., rk rk 1 .

При сформулированных выше ограничениях ставится и решается краевая задачамикромеханикикомпозитов. Итогомрешениязадачиявляетсяпостроение

8

случайного функционала краевой задачи, позволяющего вычислять эффективныесвойствакомпозита.

4 Формулировказадачисследования

При выполнении исследований в области прогнозирования упругих свойствквазиизотропныхкомпозитовнеобходиморешитьцелыйрядзадач:

1) Провести аналитическое или численное описание структуры реальногокомпозита.

2)ПостроитьфункциюГринадляпериодическойструктуры.

3)Провести решение краевой задачи, сведя систему дифференциальных уравнений к системе интегральных уравнений, используя функцию Гринадляпериодическойструктуры.

4)Построитьфункционалкраевойзадачиввидеитерационногоряда.

5)Получить формулу для вычисления эффективных модулей упругости композита.

6)Получить зависимость эффективных модулей объемного сжатия и модулей сдвига во всем диапазоне объемной концентрации армирующих элементов.

7)Провести сравнение расчетных зависимостей с экспериментальными данными.

8)Построить вилки Фойгта–Рейсса, Хашина–Штрикмана.

9)Сделать заключение о возможности применения данной методики к расчету определенного класса композитов.

5 Формулировка темы исследования

Актуальность темы исследования определяется тем, что композиционный материал не существует сам по себе, а проектируется одновременно с конструкцией. Поэтому прогнозирование макроскопических упругих свойств является первым этапом в проектировании конструкций. Зная макроскопические упругие свойства, определяется напряженно–деформированное состояние конструкций. Задача заключается в определении полей напряжений, перемещений и определении устойчивости конструкции при различных схемах нагружения. Расчеты проводятся в конечно–элементном пакете ANSYS. Зная напряженно–деформированное состояние конструкции, проводится оценка прочности, устойчивости и живучести композиционных конструкций.

Последний заключительный этап состоит в оптимизации конструкции, например, по критерию минимальной массы, что позволяет повысить экономическую эффективность результатов исследования.

6 Задание на выполнение исследований

Прогнозирование упругих свойств данного класса квазиизотропных композитов.

9