книги / Теоретическая механика

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ

Пермь 2010

Составители:

Н.А. Воронович, М.А. Осипенко

УДК 531.01 Т 34

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор М.Б. Гитман (ПГТУ); кандидат физико-математических наук,

доцент С.В. Лутманов (ПГУ)

Т 34 Теоретическая механика: избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ / сост. Н.А. Воронович, М.А. Осипенко. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – 76 с.

ISBN 978-5-398-00390-1

Приведены избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ (ППИ) по теоретической механике за 1974 – 2009 гг. Задачи сгруппированы в три раздела – статика, кинематика, динамика – и снабжены решениями. Пособие предназначено для студентов всех специальностей, где изучается теоретическая механика, а также для преподавателей теоретической механики и общей физики. Может быть использовано для подготовки к олимпиадам, а также для упражнений студентов.

УДК 531.01

Введение

Студенческие олимпиады ПГТУ (ППИ) по теоретической механике проводятся с 1974 г. В них приняли участие около 4600 студентов. Форма проведения олимпиад неоднократно изменялась, так как учитывался накопленный опыт и изменялись учебные планы.

В1974 г. все задачи были по динамике. В 1975 г. олимпиада проводилась в два тура. Первый (заочный) тур был отборочным, второй – основным. В каждом туре были задачи по статике и по динамике, причем соревнования по статике и динамике проходили отдельно (в них участвовали студенты разных курсов); фактически проводились параллельно две олимпиады. В 1976 г. олимпиада проводилась в один тур, и были задачи по всем трем разделам механики (статика, кинематика, динамика), соревнования по которым проходили отдельно; фактически проводились параллельно три олимпиады. В 1977–1999 гг. эта система проведения олимпиады в основном сохранялась. Изменения касались только соревнования по кинематике: иногда оно не проводилось, а иногда было объединено с соревнованием по статике. В 1974–1999 гг. олимпиада проходила (один раз в год) в апреле или в мае, за исключением 1990 г. (декабрь) и 1991 г. (не проходила по техническим причинам). Начиная

с2000 г., ежегодно проводятся две олимпиады – одна в апреле или в мае, другая – в декабре. В 2000 г. весенняя олимпиада проходила по всем трем разделам механики (отдельные соревнования), а зимняя – только по динамике. В 2001–2002 гг. весенняя олимпиада была посвящена только кинематике, а зимняя – только динамике. В 2003– 2006 гг. обе олимпиады были по динамике. Весенняя олимпиада 2007 г. также была только по динамике. Начиная с зимы 2007 г. и по настоящее время (2009 г.) каждая из двух ежегодных олимпиад содержит задачи по всем трем разделам механики; по ним проходит единое соревнование.

Вданном пособии собраны наиболее интересные задачи всех

олимпиад ПГТУ (ППИ) за 1974–2009 гг. Некоторые задачи заимствованы из [1–19]. В ряде случаев заимствовалась только идея, а со-

4

держание задачи подвергалось существенной переработке. Задачи сгруппированы по темам и снабжены решениями; поиск решений, отличных от приведенных, может составить дополнительное задание для читателя.

Авторы надеются, что пособие будет полезно для студентов всех специальностей при подготовке к олимпиадам (разных уровней) и при углубленном изучении курса теоретической механики. Преподаватели же теоретической механики и общей физики могут найти в пособии задачи для практических занятий.

5

Найти, при каких значениях угла 0 ≤α ≤ π2 стержень может находиться в равновесии.

К задаче С2

С4 (1992). На твердое тело действует система сил, главные моменты которой относительно точек O и A отличны от нуля и направлены так, как показано на рисунке.

Доказать, что такая система сил не имеет равнодействующей.

К задаче С3 К задаче С4

С5 (1993). Прямоугольная однородная плита ABDH массы m удерживается в равновесии шестью стержнями, массами которых пренебречь. На плиту действует вертикальная сила F .

Доказать, что усилия в стержнях не зависят от размеров конструкции.

7

С6 (1996). Однородный стержень AB массы m опирается концом A на шероховатую вертикальную плоскость (коэффициент трения равен f ), а концом B – на гладкую горизонтальную плоскость.

К точке B приложена заданная постоянная горизонтальная сила F . Найти область значений угла 0 <α < π2 , при которых воз-

можно равновесие стержня.

К задаче С5

К задаче С6 К задаче С7

С7 (1997). На твердое тело действует система сил, главные моменты которой относительно точек O, A, B направлены так, как показано на рисунке, и модули их: M O = M , M A = 4M , M B =5M ; расстояния OA =OB = l.

Доказать, что такая система сил приводится к равнодействующей, и найти модуль R равнодействующей.

С8 (2008). К балке ABH приложены сила F , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = Fl и пара сил, момент

8

которой M = Fl . Силой тяжести пренебречь. Расстояния

AK = KB = BH = l .

В какой точке D отрезка AB и под каким углом α следует расположить подвижную опору, чтобы балка находилась в равновесии (в показанном на рисунке положении) и при этом модуль реакции в шарнире A равнялся нулю?

AD = l, DE = EC =CK = KB = BH = l2 заданы. Система находится в равновесии.

Найти модуль RD реакции в шарнире D и мо-

мент M A в заделке A, составив минимальное число уравнений равновесия.

с горизонтом. Система находится в равновесии.

Найти, в каких пределах могут лежать значения коэффициентов трения: f1 – между цилиндром 1 и горизонтальной плоскостью,

9

f2 – между цилиндром 2 и вертикальной плоскостью, f – между цилиндрами.

С11 (1979). Система, состоящая из n одинаковых однородных горизонтальных стержней массы m каждый, находится в равновесии. Стержниукреплены посредством тросов.

D1B1/А1В1 = D2 B2 A2 B2 =... = Dn−1Bn−1 An−1Bn−1 = k ,

К задаче С11

С12 (1984). Система расположена в вертикальной плоскости. Однородные стержни OA и АВ имеют массы m1 и m2 соответст-

венно. Угол α задан. Точки D и K соединены нитью; OD = DA , AK = KB . Система находится в равновесии в показанном на рисунке положении.

Найти натяжение T нити DK.

С13 (1985). Шероховатая тяжелая однородная балка ОА, закрепленная одним концом в шарнире O, опирается в точке B на тяжелый шероховатый однородный цилиндр, лежащий на неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициенты трения между балкой и цилиндром и между плоскостью и цилиндром одинаковы и равны f.

Найти, при каких значениях угла 0 <α < π2 система может находиться в равновесии.

10