книги / Расчет на надежность композитной балки

УДК 539.3 Г12

Рецензент

канд. физ.-мат. наук А.В. Зайцев (Пермский государственный технический университет)

Газизов, Р.Я.

Г12 Расчет на надежность композитной балки: учеб.-метод. пособие / Р.Я. Газизов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 23 с.

Изложены теоретические основы и приведена схема поверочного расчета на надежность по критериям прочности двухопорной балки неоднородного сечения. Даны варианты заданий.

Рекомендуется для самостоятельных занятий студентам аэрокосмического факультета.

УДК 539.3

© ГОУ ВПО «Пермский государственный

технический университет», 2011

2

Рассмотрим «традиционный» расчет на прочность в детерминированной постановке.

Например, в методе расчёта по предельным состояниям максимальная действующая нагрузка (точнее, напряженно-деформирован- ное состояние, вызванное этой нагрузкой) сравнивается с нагрузкой, соответствующей предельному состоянию, которое определяет несущую способность конструкции. Несущая способность конструкции – наступление предельного напряженно-деформированного состояния, которое соответствует потере работоспособности конструкции или её разрушению. К таким предельным состояниям относятся: появление пластических деформаций, потеря статической устойчивости, разрушение.

В общем случае можно записать

где S – функция, характеризующая предельные возможности конструкции; F – функция, характеризующая реальное состояние конструкции.

Например, пусть S зависит от механических характеристик материала конструкции,

S = S (σТ , σВ, µ, E, G) ,

где σB – предел прочности; µ – коэффициент Пуассона; E, G –

модули упругости соответственно первого и второго рода. Тогда функция F зависит от напряжений, возникающих в элементах конструкции при нагружении,

F = F (σx , σy , σz , τxy , τxz , τyz ).

В общем случае предельные состояния могут быть связаны не только с прочностными характеристиками конструкции, но и с другими свойствами (траектория движения тела, геометрические характеристики и т.д.).

Традиционные методы расчета по предельным состояниям и по допускаемым напряжениям в явном виде не учитывают возможные

3

случайные разбросы, т.е. не учитывается вероятностный характер предельных состояний конструкции или вероятностный характер реального состояния конструкции. Поэтому оценивать работоспособность конструкции логичнее не по детерминированным неравенствам типа (1), а по вероятности выполнения этих неравенств, т.е.

Под надежностью понимается способность машин, приборов и конструкций безотказно работать в течение определенного отрезка времени. Безотказной работой технических объектов считается выполнение ими всех своих функций в заданных условиях эксплуата-

ции [1].

Чтобы найти вероятность P, надо знать совместный закон распределения f (z) случайной величины Z = S − F при известных за-

Для получения численных значений H надо знать (определить) закон распределения случайной величины Z, функционально зави-

при известном их совместном законе распределения плотности вероятности f (x, y).

В общем случае закон распределения случайной величины Z имеет следующий вид:

4

лучаем конкретные пределы интегрирования, т.е.

Рис. 1

5

Поскольку случайные величины X и Y равноправны, то можно было исключать не y, а x и получить ещё одно выражение для

При определении вероятности безотказной работы требуется найти функцию распределения F (z) случайной величины z, равной разности двух случайных величин s и f:

z = s − f .

Рис. 2

Закон распределения случайной величины z (12) в этом случае имеет вид

Введя новое обозначение

8

β= z −(ms −mf0 ) ,

σz

получим

График подынтегральной функции показан на рис. 3. Функция f (β) симметрична относительно вертикальной оси, поэтому

Интеграл, входящий в правую часть (20), является табличным интегралом («интеграл вероятности»).

Пусть распределение несущей способности (прочности) подчиняется нормальному закону с плотностью вероятности f1 (s), математическим ожиданием прочности ms и среднеквадратическим (стандартным) отклонением σs , и распределение сил (нагрузки) подчиняется нормальному закону с плотностью вероятности f2 (s0 ), математическим ожиданием усилия mf0 и среднеквадратическим (стандартным) отклонением σf0 (рис. 4).

9

Рис. 4. Распределение плотностей вероятностей усилий и прочности в узлах металлоконструкций

Функцию надёжности такой системы определяют, используя зависимость [1]:

где Ф(up ) – нормированная нормальная функция распределения

(см. таблицу приложения).

Оценим надёжность двухопорной балки сложного сечения (рис. 5). На рисунке представлена схема нагружения с эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов M .

10