книги / Методические указания к проведению практических занятий по разделу Элементы теории корреляции дисциплины Основы системного анализа и математической статистики

3

1. Статистическая и корреляционная зависимости

Одной из основных задач математической статистики является нахождение зависимости между двумя или несколькими случайными величинами.

Две случайные величины X и Y могут быть связаны функциональной зависимостью, когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой. Однако строгая функциональная зависимость реализуется редко, т. к. случайные величины подвержены действию случайных факторов. В этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Корреляционной называется статистическая зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение среднего значения другой.

Условным средним y х называют среднее арифметическое значений Y ,

зависимость x y (y) X от Y .

4

2.Основные задачи теории корреляции

1.Установление формы корреляционной связи, т. е. вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т. д.). Если обе функции регрессии f (x) и (y) линейные, то корреляцию называют линейной, в

противном случае - нелинейной.

2. Оценка тесноты корреляционной связи Y от X , которая оценивается величиной рассеяния значений Y около y х . Большое рассеяние означает слабую зависимость Y от X , либо вообще отсутствие таковой. Малое рассеяние указывает на наличие достаточно сильной зависимости Y от X .

2.1. Определение коэффициентов линейной регрессии

Пусть даны результаты n измерений двух случайных величин X и Y :

(x1,y1), (x2,y2 ), ..., (xn ,yn ).

Пусть принята гипотеза о линейной зависимости между величинами X и Y . Рассмотрим простейший случай: различные значения x признака X и соответствующие им значения y признака Y наблюдались по одному разу. В этом случае нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение yx a bx можно записать так: Y a bx.

Параметры a и b можно найти различными способами. Наиболее известным является метод наименьших квадратов (МНК).

Подберем a и b так, чтобы точки

построенные на плоскости xOy по данным наблюдений, лежали как можно ближе к прямой в смысле МНК.. Это требование означает, что параметры a и b будем выбирать из условия, чтобы сумма квадратов

5

Для отыскания минимума приравниваем к нулю соответствующие частные производные (необходимое условие экстремума):

линейных уравнений относительно a и b:

Решая эту систему, найдем искомые параметры:

6

Решение:

По данным табл.1 составим таблицу, в которую занесем значения xi , yi , xi2 и xi yi .

Искомое уравнение регрессии имеет вид: Y 1,024 0,202x .

Для того чтобы получить представление, насколько хорошо вычисленные

Как видно из таблицы, не все отклонения достаточно малы. Это объясняется малым числом наблюдений

7

2.2. Выборочный коэффициент корреляции

отклонения.

Выборочный коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости между двумя наблюдаемыми величинами, характеризует

8

yx y rв y (x x).

x

Аналогично можно получить уравнение линейной регрессии X наY :

На практике совместное распределение СВ(X ,Y ) зачастую неизвестно, а известны только результаты наблюдений, поэтому в полученных уравнениях заменяем x и y их несмещенными оценками :

Получим эмпирические функции линейной регрессии в виде:

Уравнения линейной регрессии получены в предположении, что все измерения встречаются по одному разу.

2.3. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение СВX может повторяться nx раз, а СВ Y −n y раз. Одна и та же пара чисел (x, y) может наблюдаться n xy раз. Поэтому данные наблюдений группируют, подсчитывая частоты nx , n y , n xy . Все данные записывают в корреляционную таблицу.

Пример 3.

Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам X (тыс. ден. ед.) и по суточной выработке Y (т).

9

Известно, что между X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Требуется: найти уравнение прямой регрессии Y на X и коэффициент корреляции.

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения признака Y , а в первом столбце – наблюдаемые значения признака X . На пересечении строк и столбцов указаны частоты n xy наблюдаемых пар значений признаков.

Прочерк означает, что соответствующая пара чисел не наблюдалась.

Впоследнем столбце указаны суммы частот каждой строки, в последней строке – суммы частот каждого столбца.

Вклетке, расположенной в правом нижнем углу, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений n 100 ).

Решение:

Очевидно, nx ny 100.

x 60 23 90 25 120 26 150 13 180 8 210 5 111,90, 100

nxy xy [(60 4,5 2) (60 6,0 4) (60 7,5 3) (60 9,0 10)

(60 10,5 4)] [(90 7,5 6) (90 9,0 14) (90 10,5 5)] [(120 10,5 17)

(120 12,0 5) (120 13,5 4)] [(150 12,0 8) (150 13,5 3) (150 15 2)]

[(180 12,0 4) (180 13,5 3) (180 15 1)] [(210 12,0 2) (210 13,5 1)

(210 15 2)] 124245,

Из уравнения следует, что с увеличением производственных средств на 1 тыс. ден. ед. суточная выработка увеличится на 0,04 т.