А5 Главы 1-4

Задача 6

От точки А є l отложить на прямой l отрезок AВ длиной

35 мм.

Решение: Алгоритм:

– на прямой l отметить произвольную точку 1;

– определить н.в. отрезка 1А методом прямоугольного треугольника;

– на н.в. А11* отложить 35 мм и отметить точку В*;

– построить точки В1 и В2.

3.5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ

С ПОМОЩЬЮ КОНКУРИРУЮЩИХ ТОЧЕК

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай:

1. Параллельные прямые.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Проекции параллель-

43

ных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проек-

ций, то есть если AB CD, то A1B1 C1D1; A2B2 C2D2; A3B3 C3D3

(рис.3.3). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

а) б) Рис. 3.3. Параллельные прямые: а – модель; б – эпюр

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны A1B1 C1D1; A2B2 C2D2 (рис.3.4,а), но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3.4, б).

В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П3 пересекаются A3B3∩C3D3, следовательно, они не параллельны.

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии связи (рис. 3.5).

44

(рис. 3.6), по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так, горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СD пересекаются и точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, однако точка их пересечения не лежит на одной линии связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.

а) б)

Рис. 3.6. Взаимное расположение прямых: а – двухкартинный чертеж; б – трехкартинный чертеж

2. Пересекающие прямые расположены в одной плоскости, например, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций (рис. 3.7). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции, например по проекции на горизонтальную плоскость проекций

(А1В1∩С1D1 АВ∩СD).

3. Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций (если они есть) не лежат на одной линии связи.

46

выше С2 относительно П1. Следовательно, точка D, принадлежащая прямой а, будет видима, а точка С, принадлежащая прямой b, будет не видима (D1 обозначена второй в совпадающих проекциях).

Понятие конкурирующих точек используется в решении позиционных задач, когда требуется определить видимость.

а) б)

Рис. 3.8. Скрещивающиеся прямые: а – модель; б – эпюр

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача 1

Определить взаимное положение прямых.

Решение:

Прямые c и d , m и n параллельны, так как c 1 || d1 , c2 || d2 и n1 || m1 , n2 || m2 .

48

Прямые k и l , t и u пересекаются, так как точки пересечения одноименных проекций принадлежат одной линии связи.

Прямые a и b , p и q скрещиваются, так как отсутствуют признаки параллельности и пересечения.

Задача 2

Пересечь прямые:

а) m и n горизонталью с высотой 15 мм; б) k и l фронталью с глубиной 20 мм;

в) а и b фронтально-проецирующей прямой.

Решение:

49

Задача 3

Определить конкурирующие точки на прямых а и b:

Решение:

50

Решение:

3.6. ТЕОРЕМА О ПРОЕЦИРОВАНИИ ПРЯМОГО УГЛА. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Угол геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и еѐ проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:

1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (теорема о проецировании прямого угла).

Дано: АВС 90о; ВС // П1; АС П1. Доказательство теоремы:

– продлим отрезок АС до пересечения с плоскостью П1

(рис. 3.9);

–получим горизонтальный след прямой – точку М = М1, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из свойства ортогонального проецирования следует, что ВС // В1С1;

51

– через точку М проведем прямую МD параллельно С1В1, она будет параллельна и СВ, а следовательно, СМD 90о.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, С1МD 90о. Таким образом, MD А1С1 и MD // В1С1, следовательно,А1С1В1= 90о, что и требовалось доказать.

В случае, когда АС П1, проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.

2. Если проекция угла представляет угол 900, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.10).

3.Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

4.Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

52