Конспект часть 1 (1)

Если было бы проведено 20 измерений, то с вероятностью 90% истинное зна-

чение генеральной дисперсии будет находиться в следующем интервале: для

ν=19 и α=0,95 χ2кр=10,12; для α=0,05 χ2кр=30,14.

При двух измерениях для ν=1 и α=0,95 χ2р=0,00393; для α=0,05 χ2р=3,841.

При измерении одних и тех же величин различными способами или в различ- ные периоды времени результаты, как правило, несколько отличаются друг от

друга. Если исходить из того, что каждый результат может быть отягощен некото- рой ошибкой, абсолютная величина и знак которой неизвестны, то при сопостав-

лении результатов возникает неопределенность в оценке: соответствует ли

наблюдаемое между ними различие различию между измеряемыми параметрами или же мы наблюдаем две реализации одной случайной величины, а видимое

различие связано только со случайными колебаниями неконтролируемых пара-

метров. Эта неопределенность проясняется при решении двух взаимосвязанных вопросов: значимо ли различается воспроизводимость результатов (другими сло-

вами, равноточны ли измерения) в разных сериях опытов и значимо ли различа-

ются средние значения результатов в сериях?

Вопрос о равноточности двух серий измерений решается путем сопоставле- ния дисперсий результатов измерений в этих сериях. Мерой оценки статистически

значимого различия дисперсий является критерий Фишера

Рассчитанное по этой формуле значение критерия сравнивают с критическим , величина которого для разных уровней значимости α и степеней свободы ν1=n1-1

и ν2=n2-1 приводятся в соответствующих таблицах. Здесь n1 и n2 - количество па- раллельных измерений в сериях опытов соответственно с результатами, имею- щими наибольшую и наименьшую дисперсии.

При F>Fкр c доверительной вероятностью β=1-α можно считать, что дисперсии

в первой и второй сериях опытов статистически неодинаковы, воспроизводимость

опытов во второй серии выше (в этой серии разброс данных относительно сред-

63

него значимо меньше). При F<Fкр данные измерений не дают основания считать, что разброс значений во второй серии меньше, чем в первой.

Риск ошибки в признании двух дисперсий статистически неравными при F>Fкр

составляет величину α только в том случае, если есть основания полагать, что в

одной серии опытов разброс результатов относительно среднего должен быть

меньше, в частности за счет применения более совершенных приборов или более сложных методик измерения. Если этого заранее утверждать нельзя, то необхо-

димо пользоваться двухсторонними доверительными границами, предполагая, что разброс данных, т.е. величина дисперсии в одной серии опытов может быть как больше, так и меньше, чем в другой серии. Тогда, используя таблицы значе- ний для Fкр с односторонними пределами для уровня значимости α, получим риск ошибки 2α.

Если дисперсии двух серий опытов не отличаются значимо друг от друга, то

определить, есть ли статистически значимая разница в результатах серий, можно с помощью t-распределения Стьюдента. Для этого вычисляют среднее взвешен-

ное двух дисперсий

Далее по соответствующей таблице для числа степеней свободы ν=n1+n2-2 и

уровня значимости α определяют критическое значение tкр. Если t<tкр, то прини-

мают, что x1 и x2 являются оценками одного математического ожидания, т.е.

предполагается, что наблюдаемое различие между этими величинами статисти-

чески незначимо. При t>tкр с вероятностью ошибки α считают, что величины x1 и

x2 статистически неодинаковы.

Втех случаях, когда средние значения исследуемой величины Х статистиче- ски неразличимы, можно объединить обе серии опытов, рассматривая n1+n2 ре-

зультатов как данные одной серии. Суммарное среднее арифметическое будет

равно

64

Частным случаем является сравнение среднего арифметического с некоторой

постоянной величиной. Такая задача встречается, например, когда некоторую ве- личину, вычисленную теоретически или заданную нормативными характеристика-

ми, необходимо проверить экспериментально. В этом случае имеется только одно

Далее по таблице для принятого уровня значимости α и числа степеней сво-

боды ν=n-1 определяют значение критерия tкр. При t > tкр с вероятностью ошибки α можно считать, что экспериментальные данные не соответствуют нормативным или теоретическим величинам. В противном случае принимается, что наблюдае-

мое в опытах различие между средним значением и величиной а статистически несущественно.

При неравноточных измерениях, когда F > Fкр, при n1=n2=n проверку однород-

ности результатов в двух сериях опытов можно осуществить лишь приближенно.

В этом случае вычисляют параметр

Для выбора критического значения tкр число степеней свободы ν рассчитыва-

ют по формуле

При t > tкр результаты признаются статистически различимыми, в противном случае считается, что различие между ними незначимо.

65

Для оценки однородности дисперсий k серий опытов с числом степенней сво-

Величина В распределена как c2 с k-1 степенями свободы. Значение c2 опре-

деляется из соответствующей таблицы по уровню значимости a и числу степеней свободы n=k-1.

Если найденное значение критерия В > c2, то нельзя считать, что измерения равноточны во всех точках. При В < c2 измерения признаются равноточными.

Если число степеней свободы для всех выборок одинаково, то есть если в

каждой точке проведено одинаковое количество измерений, то для сравнения дисперсий используется более точный критерий Кохрена:

Здесь Sмах2 - максимальное значение дисперсии из дисперсий всех серий опытов. Для сравнения с вычисленным значением Gмах по соответствующей таб-

лице для уровня значимости a, числа степеней свободы n=n-1 и количества серий

опытов k находится значение Gкр. Если Gмах > Gкр, то с вероятностью ошибки a

принимается, что дисперсия Sмах2 значимо отличается от среднего значения

остальных дисперсий. При Gмах < Gкр можно считать, что все дисперсии однород- ны, разброс результатов во всех точках относительно средних значений имеет один порядок, измерения во всех точках равноточны.

66