ДЗ / ДЗ1.2

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы , удовлетворяющее начальным условиям , устойчиво.

Решение:

Для того, чтобы понять, устойчиво ли решение или нет, нам нужно узнать, удовлетворяет ли оно определению устойчивости по Ляпунову.

Решение системы дифференциальных уравнений устойчиво, если для любого существует такое, что для каждого начальные условия , обеспечивающие , удовлетворяют при всех .

В нашем случае, система уравнений имеет следующий вид:

Решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Допустим, начальное условие имеет вид и . Тогда решение этой системы уравнений будет иметь вид:

Чтобы показать устойчивость данного решения, нужно показать, что для любого можно найти так, чтобы для всех и всех начальных условий , удовлетворяющих , выполнялось для всех .

Выбираем , потому что .

Таким образом, для любого начального условия , такого, что , имеем для всех

В итоге было показано, что решение устойчиво по Ляпунову и удовлетворяет определению устойчивости.