ДЗ / ДЗ1

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что

= − ( )

решение системы { , удовлетворяющее начальным условиям

= ( )(0) = 0, (0) = 0 устойчиво.

Решение:

Для того, чтобы понять, устойчиво ли решение или нет, нам нужно узнать, удовлетворяет ли оно определению устойчивости по Ляпунову.

Решение ( ) системы дифференциальных уравнений устойчиво, если для любого > 0 существует ( ) > 0 такое, что для каждого 0 начальные условия ( 0), обеспечивающие ‖ ( 0) − ( )‖ < , удовлетворяют ‖ ( )‖ <

при всех ≥ 0.

Внашем случае, система уравнений имеет следующий вид:

= − ( ) {

= ( )

Решение, удовлетворяющее начальным условиям:

( ) ≡ 0; ( ) ≡ 0

Допустим, начальное условие имеет вид ( 0) = 0 и ( 0) = 0. Тогда решение этой системы уравнений будет иметь вид:

( ) = 0 cos( − 0) + 0 sin( − 0) ;( ) = − 0 sin( − 0) + 0 cos( − 0).

Чтобы показать устойчивость данного решения, нужно показать, что для любого > 0 можно найти ( ) > 0 так, чтобы для всех _0 и всех начальных условий ( 0), удовлетворяющих ‖( ( 0) − ( 0), ( 0) −( 0)‖ < , выполнялось ‖( ( ) − ( ), ( ) − ( )‖ < для всех ≥ 0.

Выбираем = , потому что ||( ( ) − ( ), ( ) − ( ))|| = ||( 0 − 0, 0 −0)|| ≤ ||( 0, 0)||.

Таким образом, для любого начального условия ( 0, 0), такого, что

||( _0, _0)|| < , имеем||( ( ) − ( ), ( ) − ( ))|| ≤ ||( _0, _0)|| <

для всех .

В итоге было показано, что решение устойчиво по Ляпунову и удовлетворяет определению устойчивости.