доп.материалы.Neopr_Integr_Jun_08_2011

11

Случай 2: ax2 + bx + c = a(x ¡ x1)(x ¡ x2):

В этом случае применяется подстановка

p

ax2 + bx + c = t(x ¡ x1):

Выразим x через t: Имеем

ax2+bx+c = t2(x¡x1)2; a(x¡x1)(x¡x2) = t2(x¡x1)2; a(x¡x2) = t2(x¡x1);

при этом множитель перед dt представляет собой рациональную функцию по переменной t: Таким образом, приходим к равенству

в правой части которого под интегралом стоит рациональная функция по переменной t:

Другие случаи и способы интегрирования иррациональностей вида (8) приведены в таблице из книги “Сборник задач по курсу высшей математики” под редакцией П.Е.Дюбюка и Г.И.Кручковича (изд. второе, Москва, изд-во “Высшая школа”, 1965 г.) на стр. 300, номера 16–17; а также в книге “Сборник задач по математики для Втузов” под редакцией А.В.Ефимова и А.С.Поспелова (4-е издание, Москва, изд-во Физ.-мат. лит., 2001) с. 130.

А именно, выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей заменой переменной

u = x + 2ba

интеграл (8) приводится к интегралу одного из следующих трех типов:

Z p Z p Z p

1) R(u; `2 ¡ u2) du; 2) R(u; `2 + u2) du; 3) R(u; u2 ¡ `2) du:

12

Эти интегралы с помощью тригонометрической или гиперболической подстановкой соответственно