ПП_15_Неопр_инт_1
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Найдите ∫(x2 −2x +3)ln(x +1) dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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∫(x2 −2x +3)ln(x +1)dx = |
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u =ln(x +1) dv =(x −2x + |
3)dx |
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du = |
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x3 |
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x3 |
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−x +3x ln |
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x +1 |
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+1 |
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t = x + |
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x = t −1, |
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− x |
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+ 3x ln |
x +1 |
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dx = dt |
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−∫ |
(t −1)3 / 3 −(t −1)2 + 3(t −1) |
dt = |
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t |
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−x |
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+3x ln(x +1)− |
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ПП 15.№51. |
−∫ (t −1)3 / 3−(t −1)2 +3(t −1)dt = |
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x |
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+3x ln(x +1)− |
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3 −3t2 +3t −1 |
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t2 −2t +1 |
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3− |
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dt |
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||||||||||
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1 t2 −t +1− |
1 |
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−t +2 −1 +3−3 |
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− |
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dt = |
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∫ |
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3 |
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3t |
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t |
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t |
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3 |
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2 |
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1 |
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t |
3 |
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x |
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(x +1)− |
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= |
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−x |
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+3x ln |
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+ |
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3 |
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3 |
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3 |
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+2 |
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t2 |
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−6t + |
13 |
ln |
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t |
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+C = |
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2 |
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3 |
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3 |
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2 |
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1 |
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3 |
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x |
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−x |
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+3x ln(x |
+1) |
− |
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(x + |
1) |
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+ |
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3 |
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9 |
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+(x +1)2 −6(x +1)+ |
13 |
ln(x +1)+C = |
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3 |
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x3 |
2 |
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13 |
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−x |
+3x + |
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3 |
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3 |
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||
ln(x +1)−
−x3 + 2 x2 −
9 3
−133 x +C
21
|
x3 |
2 |
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13 |
|
|
= |
|
−x |
+3x + |
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ln(x +1)− |
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||||
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3 |
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3 |
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|||
−x3 + 2 x2 −13 x +C. 9 3 3
|
Найдите I = ∫ex sin x dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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||||
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∫ |
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u = e |
x |
|
dv = sin x dx |
|
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||
|
I = |
ex sin x dx = |
|
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
du = ex dx |
v = −cos x |
|
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|
|||||
|
= −ex cos x + ∫ex cos x dx = −ex cos x + I1 . |
|
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|
||||||||
|
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|
|
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|
|
|
x |
|
|
|
|
|
I1 = |
∫ |
ex cos x dx = |
u = e |
dv = cos x dx = |
1 |
ex (sin x −cos x)+C |
|||||
ПП 15.№52. |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
du = exdx |
v = sin x |
|
|
||||||
=−ex cos x +{ex sin x − ∫ex sin x dx}=
=−ex cos x +{ex sin x − I}.
I = −ex cos x +ex sin x − I . |
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I = ∫ex sin x dx = |
1 |
ex (sin x −cos x)+C |
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2 |
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Найдите ∫ ln ln x |
dx |
. |
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|
РЕШЕНИЕ: |
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x |
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t =ln x, |
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dx |
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∫ |
ln ln x |
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∫ |
ln t dt = |
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= |
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dx |
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= |
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x |
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= |
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ln x(ln ln x −1)+C |
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ПП 15.№53. |
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dt |
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x |
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||||
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=ln t |
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dv |
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u |
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=dt |
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t |
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||||||
= |
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=t ln t − |
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dt = |
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|||||||||||
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1 |
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∫ t |
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du = |
|
dt |
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v |
=t |
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t |
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=t ln t −t +C =ln x (ln ln x −1)+C. |
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Найдите I = ∫ |
a2 + x2 |
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dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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= |
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a |
2 |
+ x |
2 |
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dv =dx |
|
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x a |
2 |
+ x |
2 |
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I = |
∫ |
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a |
2 |
+x |
2 |
dx = |
u |
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= |
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+ |
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2 |
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x dx |
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ПП 15.№54. |
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du |
= |
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v = x |
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+ a |
2 |
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|||||||||||||
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a2 + x2 |
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ln |
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x + |
a2 + x2 |
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+ |
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∫ |
x2 |
+a2 −a2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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+C |
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= x a |
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+ x |
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− |
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dx = x a |
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+ x |
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− |
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a |
2 |
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+ x |
2 |
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−∫ a2 + x2 dx +a2 ∫ |
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dx |
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dx = |
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a |
2 |
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2 |
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+ x |
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22
= x a2 + x2 − I + a2 ln x + a2 + x2 .
Аналогично |
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∫ |
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a2 − x2 |
dx = |
x a2 − x2 |
+ |
a2 |
arcsin |
|
x |
+C . |
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a |
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2 |
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2 |
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Найдите I = ∫cos (ln x)dx . |
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РЕШЕНИЕ: |
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x cos (ln x) |
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I = ∫cos (ln x)dx = ∫ |
dx = |
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x |
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cos (ln x) |
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u = x |
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dv = |
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dx |
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x |
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= |
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v = sin(ln x) |
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du = dx |
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= x sin (ln x)−∫sin (ln x)dx = x sin (ln x)− |
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|
x |
(sin (ln x)+ cos (ln x ))+ |
||||||||||||||||||||||
ПП 15.№55. |
∫ |
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x sin |
(ln x) |
dx = x sin (ln x)− I1 . |
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2 |
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− |
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+C |
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x |
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sin (ln x) |
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x sin (ln x) |
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I1 |
= |
∫ |
dx = |
u |
= x |
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dv = |
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dx |
= |
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x |
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x |
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v = −cos (ln x) |
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du = dx |
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= −x cos (ln x)+∫cos (ln x)dx.
I = x sin(ln x)+ x cos (ln x)− I ,
I = ∫cos (ln x)dx = 2x (sin(ln x)+cos(ln x))+C .
23