Менеджмент.Финансовая математика

предприятия по производству некоторого нового вида продук­ ции. Выпуск продукции намечен в течение п лет в равных объ­ емах по годам. Что касается затрат, то сохраняется их деление на постоянные (не связанные с объемами производства) и пе­ ременные, пропорциональные выпуску продукции. Текущие за­ траты и поступления от реализации продукции можно предста­ вить в виде потоков платежей. Здесь возможны два конкуриру­ ющих подхода к определению барьерного выпуска. В первом, который условно назовем бухгалтерским, инвестиции не при­ нимаются во внимание непосредственно — они учитываются через амортизационные отчисления. Последние включают в те­ кущие затраты. Во втором, финансовом, подходе инвестиции иг­ рают ключевую роль — выступают в качестве самостоятельного фактора — в то время как амортизация не учитывается в теку­ щих расходах. Как видим, оба способа избегают двойного сче­ та по отношению к инвестиционным затратам.

Оба способа применяются на практике, однако они дают раз­ ные результаты. Начнем с бухгалтерского подхода, согласно кото­ рому необходимо определить тот минимальный объем выпуска, при котором затраты окупятся. Иначе говоря, сохраняется ориен­ тация на прибыль. Найдем размер прибыли для отдельного года:

где р и с имеют тот же смысл, что и выше (см. § 7.1), / — по­ стоянные расходы за год, d — сумма амортизационных списа­ ний за тот же период (d = const).

Барьерный объем выпуска продукции составит:

(7.12)

что, по существу, совпадает с формулой (7.3). Отличие от пос­ ледней только в выделении в числителе в качестве самостоя­ тельного слагаемого суммы амортизационных расходов.

Если принять во внимание тот факт, что выпуск продукции (поступления дохода) и затраты представляют собой потоки платежей, то “конкурирующие” функции определяются как со­ временные стоимости потоков, а именно:

PV{pQ) и PV(f + d + cQ),

где PV — оператор определения современной стоимости.

161

На основе этих функций получим равенство

РУ(рОк) = PV(f+ d + cQk).

Решение данного уравнения1 относительно критического объема выпуска приводит к формуле, аналогичной (7. 12).

Графическая иллюстрация положения барьерной точки вы­ пуска представлена на рис. 7.13.

П Р И М Е Р 7 .6 . Исходные данные: п = 5, d = 50, f = 20, р = 50, с = 30. Находим

Проверим этот результат, для чего определим современные стоимости денежных поступлений и затрат для барьерного выпу­ ска. Для дисконтирования примем / = 1 5 % , Находим а5;15 = = 3 ,3 5 216 . После чего получим

РОка5;15<1 + О 0,5 = 50 X 35 X 3,35216 х 1 . 1 50S = 629,

(f + d + с О Л)а 5:15( 1 + 0 W = (20 + 50 + 30 х 3 5 )3 ,3 5 2 16 х 1 , 1 50S =

= 629.

Предположим теперь, что все участвующие в расчете удель­ ные характеристики изменяются во времени, т.е. вместо р, c,f, d имеем рр срf p dr Переменные параметры, вероятно, более адек­

1См. Математическое приложение к главе.

162

ватны реальности. Например, затраты на производство могут расти в связи с увеличением расходов на ремонт по мере износа оборудования, в то же время постоянные затраты могут умень­ шаться и т. д. Исходное равенство в этом случае имеет вид:

2 (ft+ dtК ' + Qk2 СУ' - <?* 2 рУ'•

П Р И М Е Р 7 . 7 . В таблице приведены исходные данные для расче­ та барьерного выпуска. Все параметры кроме сумм амортизации здесь переменные величины.

Для дисконтирования применим процентную ставку 15 % . Н е ­ обходимые для расчета по формуле (7 . 13 ) данные приведены в следующей таблице.

На основе табличных данных получим 1 7 0 ,2

Перейдем к финансовому методу, который, повторяем, в от­ личие от бухгалтерского учитывает размер капитальных вложе­ ний, осуществленных для реализации проекта, и поток чистых

163

поступлений (доходов) без учета амортизационных отчислений. Поток платежей в случае, когда удельные характеристики по­ стоянны, отражается следующим рядом:

-К, (р - c ) Q - f , {р - c ) Q - f ... ,

где К — размер инвестиций.

Современная стоимость такого потока представляет собой

чистый приведенный доход (NPV) — важный показатель, с кото­ рым имеют дело в анализе производственных инвестиций (см. гл. 12). В принятых здесь обозначениях и с привязкой чистых поступлений к середине соответствующих периодов можно за­ писать:

NPV= - К + [ ( р - c ) Q - f \ a ni{\ +

По определению в барьерной точке NPV= 0. Отсюда

(7.14)

Первое слагаемое в скобках равно члену финансовой ренты, современная стоимость которой равна сумме инвестиций.

Поток чистых поступлений можно расчленить без потери в точности для последующих расчетов на два потока: поступле­ ний (положительные величины) и расходов (отрицательные ве­ личины). Графическая иллюстрация динамики современных стоимостей указанных потоков в зависимости от объема выпу­ ска представлена на рис. 7.14.

PV(pQ)

PV(cQ + f)

о

О.

Рис. 7.14

164

П Р И М Е Р 7 . 8 . Применим оба метода анализа, бухгалтерский и финансовый, для анализа инвестиционного проекта, который ха­

Как видим, последний ответ существенно отличается от пре­ дыдущего.

При сравнении формул (7.12) и (7.14) становится очевид­ ным, что расхождение в результатах оценки барьерной точки выпуска связано с тем, что

К

<*„;, (1 + О0 5 > ^

Иначе говоря, член ренты, погашающей капиталовложения, должен быть больше амортизационных отчислений. Равенство в приведенном соотношении будет наблюдаться только в слу­ чае, когда / = 0. В этом случае ап.0 = п.

При бухгалтерском подходе из поля зрения аналитика про­ падает выгода от возможного иного использования ресурсов. В связи с этим введем важное в современной экономике понятие

условной (вмененной) потери (opportunity costs), связанной с аль­ тернативными издержками в результате неиспользования воз­ можного альтернативного курса действий. Для иллюстрации приведем следующий пример. Пусть этим ресурсом для кон­ кретности является производственное здание. У владельца име­ ются две альтернативы его использования:

—осуществить некоторый производственный проект, преду­ сматривающий использование этого здания,

—продать здание (или сдать его в аренду).

Если владелец реализует проект, то он теряет вторую воз­ можность получения дохода. Таким образом, хотя при реализа­

165

ции проекта здание не приобретается, его стоимость должна включаться в инвестиционные издержки. Здесь уместно приве­ сти следующую иллюстрацию. Компания Локхид обратилась в 1971 г. в Конгресс США по поводу убыточности производства военных самолетов TriStar L—1011. Обращение аргументирова­ лось тем, что коммерческая привлекательность производства была определена с учетом барьерной точки выпуска в размере около 200 самолетов. Однако эта величина не учитывала ранее сделанных капиталовложений в сумме 1 млрд долл. С учетом указанных вмененных затрат барьерная точка повышается до 500 самолетов.

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (7.12)

Найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно ко­ торому современная стоимость доходов равна современной сто­ имости затрат. При расчете современных стоимостей полагаем, что выпуск и реализация продукции равномерно распределены

впределах года. В связи с этим без заметной потери точности

врасчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет. В терминах финансовой математики соответствующие по­ токи представляют собой постоянные годовые ренты с платежа­ ми в середине периодов (см. § 6.3). Пусть PV — оператор опре­ деления современной стоимости соответствующего потока пла­ тежей. Современная стоимость потока переменных и постоян­ ных затрат, в которые включены и амортизационные начисле­ ния, в этом случае составит:

PV(f+ d+ cQ) = (f+ d + cQ)v0,5 + ... +

(1)

+ (f+ d+ c 0 v ^ 5 = ( f + d + cQ)an;i (1 + O0’5,

где an;i — коэффициент приведения постоянной ренты, v — дисконтный множитель.

В свою очередь современная стоимость поступлений нахо­ дится как

PV{pQ) = pQv0'5 + pQvl's + ... + pQvл-0’5 =

= P Q a„;i(l + /)°’5-

166

Глава 8

РИСК И ДИВЕРСИФИКАЦИЯ

§8.1 Риск

В финансовом анализе производственных инвестиций мы неизбежно сталкиваемся с неопределенностью, неоднозначно­ стью показателей затрат и отдачи. В связи с этим возникает проблема измерения риска и его влияния на результаты инве­ стиций. Поскольку вопросы, связанные с измерением риска в экономической деятельности, рассмотрены в отечественной ли­ тературе явно недостаточно, остановимся на них более подроб­ но, чем, возможно, это необходимо для раскрытия основной те­ мы данной работы.

Широко распространенный термин “риск”, как известно, понимается неоднозначно. Его содержание определяется той конкретной задачей, где этот термин используется. Достаточно просто перечислить такие понятия как кредитный, валютный, инвестиционный, политический, технологический риски, риск ликвидности активов и т.д. Отметим, что даже самое общее оп­ ределение этого понятия не оставалось неизменным во време­ ни. Говоря о первом в экономике научном определении риска, обычно ссылаются на Ф. Найта (1921), который предложил раз­ личать риск и неопределенность. Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоис­ ключающим исходам с известным распределением их вероятно­ стей. Если же такое распределение неизвестно, то соответству­ ющая ситуация рассматривается как неопределенность. Как нам представляется, здесь речь идет, скорее, не об определении риска, а лишь о наличии информации, характеризующей риск.

В экономической практике, особенно финансовой, обычно не делают различия между риском и неопределенностью. Чаще всего под риском понимают некоторую возможную потерю, вы­ званную наступлением случайных неблагоприятных событий. В

некоторых областях экономической деятельности сложились

168

устойчивые традиции понимания и измерения риска. Наиболь­ шее внимание к измерению риска проявлено в страховании. Объяснять причину такого внимания нет необходимости. Изме­ ритель риска, как возможная потеря страховщика, был исполь­ зован еще в конце XVIII в. В других направлениях финансовой деятельности под риском также понимается некоторая потеря. Она может быть объективной, т.е. определяться внешними воз­ действиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако, часто риск, как возможная потеря, может быть связан с выбором того или иного решения, той или иной линии поведения. Заметим также, что в некоторых областях де­ ятельности риск понимается как вероятность наступления не­ которого неблагоприятного события. Чем выше эта вероят­ ность, тем больше риск. Такое понимание риска оправданно в тех случаях, когда событие может наступить или не наступить (банкротство, крушение и т.д.).

Когда невозможны непосредственные измерения размеров потерь или их вероятностей, риск можно квантифицировать с помощью ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т.д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях.

Естественной реакцией на наличие риска в финансовой де­ ятельности является стремление компенсировать его с помо­ щью так называемых рисковых премий (risk premium), которые представляют собой различного рода надбавки (к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т.д.), выступающие в виде “платы за риск”. Второй путь ослабления влияния риска заключается в управлении риском. Последнее осуществляется на основе различ­ ных приемов, например, с помощью заключения форвардных контрактов, покупки валютных или процентных опционов и т.д.

Одним из приемов сокращения риска, применяемым в инве­ стиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестиционной суммы меж­ ду несколькими объектами. Диверсификация — общепринятое средство сокращения любого вида риска. С увеличением числа элементов набора (портфеля) уменьшается общий размер рис­ ка. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление ри­ ском получает надежное основание, а последствия диверсифи­

169

кации поддаются анализу с привлечением методов математиче­ ской статистики.

Винвестиционном анализе и страховом деле риск часто из­ меряется с помощью таких стандартных статистических харак­ теристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания, в данном случае — колебания дохода. Чем они больше, тем выше рассе­ яние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, сте­ пень риска.

Напомним, что между дисперсией (D) и средним квадрати­ ческим отклонением (о) существует следующее соотношение:

о- 4Б.

Всвою очередь дисперсия относительно выборочной сред­ ней (х) находится как

где п — количество наблюдений, х — средняя случайной пере­ менной х.

Как известно, среднее квадратическое отклонение имеет то неоспоримое достоинство, что при близости наблюдаемого рас­ пределения (например, распределении дохода от инвестиций) к нормальному, что, строго говоря, должно быть статистически проверено, этот параметр может быть использован для опреде­ ления границ, в которых с заданной вероятностью следует ожи­ дать значение случайной переменной. Так, например, с вероят­ ностью 68% можно утверждать, что значение случайной пере­ менной х (в нашем случае доход) находится в границах х ± а, а с вероятностью 95% — в пределах х ± 2о и т.д. Сказанное ил­ люстрируется на рис. 8.1

Рис. 8.1

170