Matematika_2_semestr_RTF_1_

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

б) y sinx ln x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

698.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

						1
	1	1 x	2
61. а) lim				,	б) lim x ex		1 .
		x2
x 0					x

62. а) lim	x x	,	б) lim x5 lnx.

x 1 x2 x			x 0 0

63.

а)

lim

2 x 3

б)

lim

e x2

lnx.

x 7

64.

а)

lim

б)

lim

x2 lnx.

1 3x 1

x 0

x 0 0

а) lim

65.

б)

lim xctg πx.

x 11 3 x

x 0

66.

а)

lim

ex e x

б)

lim 1 cosx ctg x.

x 0 ln 1 x

x 0

67.

а)

lim

1 3x

2x 6

б)

lim cosx tg 5x.

x 5

x2 5x

68.

а)

lim

2x 1

б)

lim sin 2x 1 tg πx.

x 3

69. а) lim

x 0

70. а) lim

x 0

1 3x2	1		б) lim x	2	1
		,			ln		.
x2 x3
			x 0 0			x

1 3x 1 2x
		,	б) lim	x		tg x.
x2	x				2
			x

			2

71–80. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

71.

а)

y 2x2ex ,

б)

y 1

x 1

72. а)

y x2e x ,

б)

y x

x 1 2

73.

а)

y x 1 e3x 1, б)

x 4

74. а)

y x 4 e x , б)

x 1 2

1 x2

75.

а)

y x 3 e x,

б)

y 1

4x 1

76. а)

y x4e 2x2

, б) y 2

2x 1

x 2 2

y x 1 e2x ,

x 1

x2 4

77.

а)

б)

78. а) y xe

б)

x 1 2 1

x2 1

79.

а)

y x 5 ex ,

б) y

3x x2

80. а)

y xex 3,

б) y

1 x2

x 2

x2 1

81–90. Найти неопределённые интегралы.

81.

а)

dx,

б) xexdx,

в) sin5 xdx, г)

dx.

1 x8

3 x 3 2

x 3

xarcsinx

cos3 x

dx, в)

г)

x 1

82.

а)

dx, б)

dx,

dx.

x 3tg x 1

cos

1 x2

x 1

sinx

83.а)

84.а)

cos3x

dx,

б) x2e3xdx,

в) sin2 xcos2 x dx,

г)

dx.

4 sin3x

x 2

cosx

dx,

б) xsinxcosx dx,

в) sin2 xcos3 x dx,

г)

dx.

4 sin

85.

а)

sinx

dx,

3 2cosx

4 lnx

86.

а)

dx,

87.

а)

x arctg

dx,

1 x

88.

а)

sinx

dx,

cos

89.

а) esin2 x sin2x dx,

б) x2 sin4x dx,

б) xln2 x dx,

б) xln x2 1 dx,

б) xarcsin 1dx, x

б) arctgx dx,

в) cos5 x dx,

г)

1 2x

dx.

3 2

1 2x

в) sin4 x dx,

г)

4 x2

dx.

в) cos3 xdx,

г)

dx.

x 5

в) cos4 x dx,

г)

dx.

4 4 x3

в) sin2 xcos4 x dx, г) 1 31x 1dx.

ex ln 1 3ex dx, в)

90. а)

dx, б)

sin2 xcos5 x dx, г)

4 x2dx.

4 x2 5

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.


		dx					3		xdx						dx						lnxdx
91.		dx		. 92.	xe x2 dx.	93.			xdx			. 94.			dx			. 95.			lnxdx		.
91.		3		. 92.	xe x2 dx.	93.		x2 1			2	. 94.						. 95.					.
	2	xln	x		2			x2 1					0		x 1 3				1			x
		dx					0		dx				arctg x dx									dx
96.		dx	.	97.	x2e x3dx.	98.			dx	.		99.	arctg x dx			.	100.					dx		.
96.			.	97.	x2e x3dx.	98.			2	.		99.	2			.	100.			x		2		.
	2	xlnx			2		x		4		0			x 1					1	x		x 1

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101.

а)

2xy 0,

б)

ytgx sin2x.

102.

а) 2x3y y 2x2 y2 ,

б) 2yy y2

y 2 .

103.

а)

y xy2

2xy,

б)

x x 1 .

x 1

104.

а)

xy y 2xy 0,

б)

xy 2y x3sinx.

105.

а)

б)

yy y 2 yy .

106.

а)

б)

y cosx y 1 sinx,

107.

а)

x y2 ,

б)

y y 1 y

108.

а)

xy y 4 0,

б)

xy y x2ex.

109.

а)

xy xy ex,

б)

x2y y 2.

110.

а)

б)

y sinx y 2 cosx,

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального

уравнения.

111.

y 4y 6x 1 8e 4x.

112.

y 4y 13y 26x 5 9e2x .

113.

y 5y 6y 12x 7 e2x .

114.

y 5y 6y 12x 4e 2x.

115.

y 2y 5y xe2x.

116.

y 4y x e 2x.

117.

y 6y 9y x 3 e3x.

118.

y 4y 12y 2x 8 3e2x.

119.

y 6y 9y 9x 10e 3x .

120.

y 2y y 2ex x2.

121–130. Исследовать сходимость числового ряда.

				4			5n	2							2n				1	n		1 n		4n 3						1 n
				4			5n								2n				1	. 123.
121.										. 122.																.	124.				.
121.			n 1 n 2							. 122.												3n2				.	124.			n3n	.
	n 2		n 1 n 2										n 1			n 5					n 1	3n2			1			n 1		n3n
				1 n									3n	4							1							1
													3n								1							1
125.					.		126.									.		127.					. 128. cos						.
125.					.		126.									.		127.					. 128. cos						.
	n 2 nlnn								n 1 n2 2 2											n 1	2n 1 2	1			n 1		n 3
												2	n 5
129.		n 3				.	130.				n		n 5				.
129.						.	130.										.
	n 1n3 2								n 1n2 n 4

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

x 1

x 2

131.

132.

. 133.

5 x 3

134.

n x 3

n 1n n 1

n 1

x 2

n 1

135.

3 n

136.

3 n

. 137.

138.

xn .

n 1 n 1

n 1

3n n 2

n 1

2n 1

139.

xn . 140.

3n 1

n 1

141–150. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

	1						1 2 ln 1 x2							1 2	xe xdx.
141. cos				x	dx.	142.							dx.	143.
141. cos				x	dx.	142.				x			dx.	143.
	0						0			x				0
	0						0							0
	1 2						1							1		x2
	1 2						1							1		3 dx.
145.		1 x2dx.				146.	sinx2dx.							147. e		3 dx.
	0						0							0
	1 2						1 2		1
149.			sinx dx.			150.						dx.
		x
								3
								3	1 x		2
	0						0		1 x

144. cosx2dx.

12sinx2

148. dx.

0 x2

151–160. Найти точки экстремума функции z f x, y .


151.	z y	x	y2 x 6y.		152.	z 2x3 xy2 3x2 2y2.
153.	z x2	y2 2y 1.			154.	z x y2 6 x y .
155.	z x3 3y			2 12x 6y 7.	156.	z x3 3xy2 15x 12y.
157.	z x2	xy		y2 2x y.	158.	z x2 xy y2 9x 6y 20.

159. z x2 xy y2 2x y.

160. z 2x3 xy2 5x2 y2.

161–170. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции z f (x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж

области D.

161.	z x2 3y2 x y,		D:	x 1, y 1, x y 1.
162.	z 5x2 3xy y2 4,		D:	x 1, y 1, x y 1.
163.	z x2 2xy 2y2,		D:	1 x 1,	0	y 2.
164.	z x2 xy,		D:	1 x 1,	0	y 3.
165.	z x2 2xy y2 4x,		D:	x 0, y 0, x y 2 0.
166.	z x2	xy 2,	D:	4x2 4 y 0.
167.	z x2	9xy 2y2 27,	D:	0 x 3, 0 y 3.
168.	z x2	2y2 1,	D:	x 1, y 1, x y 1.
169.	z 3 2x2 xy y2,		D:	1 x 1,	0	y 2.
170.	z 10 x2 2xy,		D:	0 y 4 x2 .
171–180. Даны функция z f (x,y),				точка A x0, y0 и вектор а. Найти: 1)

наибольшую скорость возрастания функции в точке А; 2) скорость изменения функции в точке А по направлению вектора а.

171.	z ln x2 3y2 ,				А(1, 1),	а	3i 2 j.
172.	z ln 5x2	4y2 ,			А(1, 1),	а	2i j.
173.	z 5x2 6xy,				А(2, 1),	а	i 2j.
174.	z 3x2y2 5xy2,				А(1, 1),	а	2i j.
175.	z 3x4 2x2y3,				А(-1, 2),	а	4i 3j.
176.	z ln 3x2	4y2 ,			А(1, 3),	а 2i j.
	x2
177.	z arcsin			,	А(1, 2),	а 5i 12j.
177.	z arcsin			,	А(1, 2),	а 5i 12j.
			y
			y
178.	z arctg xy2 ,				А(2, 3),	а 4i 3j.

179.

z x2 xy y2 ,

А(1, 1),

2i j.

180.

z 2x2

3xy y2,

А(2, 1),

а 3i 4j.

181–190. Задана пластина неравенствами в декартовой

системе

координат и

γ γ x, y

– плотностью материала, из которого изготовлена пластина. Найти массу

пластины.

181.

x2 y

2 4,x y 2;

γ xy.

182. x2 y2

1, x2 y2

γ x2y2.

183.

2y;

184. x2 y2

2x, x2

y2 4;

x2 y2

185.

2 4x;

γ x.

186.

x2 y2

4, x

;

γ y2 .

x2 y2

187.

9, 0 x y, γ y x. 188.

4y;

x2 y2 .

189.

16; γ

190.

x2 y2

γ x2 3y2.

25 x2 y2

191–200. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на координатную плоскость ХОУ.

191.	z 0,	z x, y 4,	x	25 y2	.	192. z 0, z 9 y2,				x2 y2=9.
193.	z 0,	z 4 x y,	x2 y2 4.			194. z 0,	z y2,	x2		y2 9.
195.	z 0,	x 1 y2, x y2,		z 2y2	1.	196. z 0,	z 1 x2,			y 0, y 3 x.
197.	z 0,	z x2 y2,	x2 y2 4.		198. z 0, 4z y2,			2x y 0,			x y 9.
199.	z 0,	z y 2, x2	y2	4.		200. z 0,	z 4		,	x 0,	x y 4.
								y

201–210. Найти поток векторного поля a через верхнюю сторону (в положительном направлении оси OZ) части плоскости Р, отсекаемой координатными плоскостями.

201.	a x z i ,	Р : x y z 2 0.
202.	a x y 2z j,	Р : 2x y 2z 2 0.
203.	a x y z k,	Р : 2x y z 4 0.

204.a x 2y z i , Р : x 2y 2z 4 0.

205.a 3x 2y 3z j, Р : 2x 3y 2z 6 0.

206.a 2x 2y 3z k, Р : 3x 2y 3z 6 0.

207.	a x y z i ,	Р : x 2y z 6 0.
208.	a 3x 4y 8z j,	Р : x y 2z 4 0.
209.	a 5x 2y 6z k,	Р : x y 3z 3 0.
210.	a x 3y 6z k,	Р : x y 2z 4 0.

211–220. Найти поток векторного поля a: а) через внешнюю сторону замкнутой поверхности σ, образованной поверхностью S и плоскостью Р; б) через верхнюю сторону (в положительном направлении оси OZ) части плоскости Р, вырезаемой поверхностью S; в) через внешнюю сторону части поверхности S, отсекаемой плоскостью Р.

211.

a yi x j k ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 4.

212.

a xzi yz j z2 1 k ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 4.

213.

a y2xi yx2 j k ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 5.

214.

a x y i y x j z 2 k ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 2.

215.

a xi y j z 2 k ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 1.

216.

a x z i y z j z x y k ,

S: x2 y2

4 z 0 ,

Р: z 0.

217.

a x z i y j z x k ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 0.

218.

a x y i x y j zk ,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 0.

219.

a x y i x y j zk,

S: x2 y2

z 0 ,

Р: z 0.

220.

a xi y z j z y k ,

S: x2 y2 z2 9

z 0 ,

Р: z 0.

221–230. Найти

работу силы F M

при перемещении

материальной

точки

M x, y вдоль линии L от точки А к точке В.

221.

F M x2

2y i y2

2x j ,

L: отрезок АВ,

A 4,

0 ,

B 0,

2 .

222.

F M x2

2y i y2

2x j,

L: отрезок АВ,

A 4,

0 ,

B 0,

2 .

223.

F M x2

2y i y2

2x j,

L: y 2

x2 , A 4,

0 ,

B 0,

2 .

F M x2

2y i y2

2x j ,

224.

L: x2 y2 4

y 0 ,

A 2, 0 ,

B 2,

0 .

225.

F M x3i y3 j, L: x2 y2 4

x 0, y 0 ,

A 2, 0 , B 0, 2 .

226.	F M x y i x y j, L:	y x2, A 1,	1 ,	B 1,	1 .
227.	F M 2xy y i x2 x j,	L: x2 y2 9	y 0 ,		A 3, 0 ,		B 3,	0 .
228.	F M yi x j, L: x2 y2 1	y 0 , A 1, 0 ,		B 1, 0 .
229.	F M 2xyi 2y j, L: x2 y2	1 x 0, y 0 ,		A 1,	0 ,	B 0,	1 .
230.	F M xy y2 i x j, L: y 2x2, A 0, 0 ,		B 1, 2 .
231–240. Проверить, является ли		векторное поле		F M		потенциальным и

соленоидальным. В случае потенциальности поля F M найти его потенциал.

231.F M 6x 7yz i 6y 7xz j 6z 7xy k .

232.F M 8x 5yz i 8y 5xz j 8z 5xy k.

233.F M 10x 3yz i 10y 3xz j 10z 3xy k .

234.F M 12x yz i 12y xz j 12z xy k.

235.F M 4x 7yz i 4y 7xz j 4z 7xy k .

236.F M x 2yz i y 2xz j z 2xy k .

237.F M 5x 4yz i 5y 4xz j 5z 4xy k .

238.F M 7x 2yz i 7y 2xz j 7z 2xy k .

239.F M 3x yz i 3y xz j 3z xy k .

240.F M 9x 5yz i 9y 5xz j 9z 5xy k.

241–250.

241.Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что а) только один из стрелков попал в мишень; б) только два стрелка попали в мишень; в) все три стрелка попали в мишень.

242.В лотерее разыгрываются 10 билетов, из которых 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых билетов все оказались выигрышными.

243.В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой урне

–5 белых, 11 чёрных и 8 красных шаров, во второй – соответственно 10, 8 и 6. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета.

244. В коробке 5 изделий, из которых 3 бракованные. Наудачу извлекаются

2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одно бракованное изделие.

245.Студент знает ответы на 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент, взявший экзаменационный билет ответит: а)на все три вопроса; б) на два вопроса из трёх; в) только на один вопрос экзаменационного билета.

246.Для производственной практики 20 студентам предоставлено 15 мест в Екатеринбурге и 5 – в Челябинске. Найти вероятность того, что два определённых студента попадут на практику в один город.

247.Два стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,8. Найти вероятность того, что а) мишень поражена; б) мишень поражена только одним из стрелков; в) мишень поражена дважды.

248.Экспедиция отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое отделение равна 0,9. Найти вероятность того, что а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) только одно почтовое отделение получит газеты вовремя; в) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.

249.На 12 человек выделили путёвки в 4 дома отдыха: 3 путёвки в первый дом отдыха, 3 – во второй, 2 – в третий и 4 – в четвёртый. Найти вероятность того, что 3 определённых человека поедут в один дом отдыха.

250.Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0, 95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

251–260. Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что событие А наступит к раз в n испытаниях.

251. а)	p 0,8,	k 3,	n 5;	б)	p 0,01,	k 10,	n 200.
252. а)	p 0,6,	k 2,	n 6;	б)	p 0,5,	k 10,	n 300.
253. а)	p 0,7,	k 2,	n 3;	б)	p 0,7,	k 20,	n 100.
254. а)	p 0,9,	k 1,	n 3;	б)	p 0,02,	k 5,	n 200.
255. а)	p 0,6,	k 3,	n 4;	б)	p 0,01,	k 4,	n 300.
256. а)	p 0,7,	k 3,	n 7;	б)	p 0,2,	k 20,	n 400.
257. а)	p 0,7,	k 4,	n 5;	б)	p 0,3,	k 50,	n 500.
258. а)	p 0,6,	k 2,	n 3;	б)	p 0,005, k 9,		n 400.

259. а)	p 0,8,	k 2,	n 5;	б)	p 0,005,	k 3,	n 200.
260. а)	p 0,8,	k 2,	n 6;	б)	p 0,65,	k 30,	n 100.

261–270. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределённой случайной величины Х. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания её на отрезок α, β .

261.	a 9, σ 5, α 5, β 14.	262. a 4,		σ 5, α 2, β 11.
263.	a 10, σ 4, α 2, β 13.	264.	a 5,	σ 1, α 1, β 12.
265.	a 2, σ 4, α 6, β 10.	266. a 6,		σ 3, α 2, β 11.
267.	a 2, σ 5, α 4, β 9.	268. a 7,		σ 2, α 3, β 10.
269.	a 3, σ 2, α 3, β 10.	270.	a 8,	σ 1, α 4, β 9.

271–280. Из генеральной совокупности, распределённой по нормальному закону, взята выборка. Найти: а) выборочную среднюю xв ; б) выборочное среднее квадратическое отклонение σв ; в) с надёжностью γ 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания а генеральной совокупности при известной дисперсии σ2 .

271.

xi	10,6	15,6	20,6	25,6	30,6	35,6	40,6
ni	8	10	60	12	5	3	2
272.
xi	100	110	120	130	140	150	160
ni	4	6	10	40	20	12	8
273.
xi	130	140	150	160	170	180	190
ni	5	10	30	25	15	10	5
274.
xi	26	32	38	44	50	56	62
ni	5	15	40	25	8	4	3
275.
xi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4
ni	5	15	40	25	8	4	3

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.20151.02 Mб10Matan.pdf
#
23.04.20191.37 Mб5matan_AAAAAA.doc
#
23.02.20151.37 Mб19MatAn_practice.pdf
#
23.02.20151.84 Mб16MatAn_thory.pdf
#
23.02.20151.78 Mб25Matan__teoria.pdf
#
23.02.2015698.48 Кб12Matematika_2_semestr_RTF_1_.pdf
#
22.02.201557.34 Кб16matematika_for_all.doc
#
13.03.2016495.31 Кб28matem_statistika[1].docx
#
22.02.2015169.99 Кб36Materialy_SK_Myshlenie_i_rech.docx
#
22.02.2015281.61 Кб108Material_dlya_podgotovki_po_1_semestru.docx
#
23.02.20153.8 Mб52mathcad_book.pdf