МЕТОДИЧКА ПО СОПРОМАТУ
.pdf
изгибающих моментов от каждой нагрузки. Эти эпюры имеют вид прямоугольников, прямолинейных и параболических треугольников, для которых значения площадей и центров тяжестей известны.
Другой способ перемножения криволинейных эпюр представлен в приложении A.
Рассмотрим применение способа Верещагина на примерах.
Пример 2
Рисунок 8
Для рамы определить горизонтальное, вертикальное перемещение и угол поворота сечения C . Жесткость поперечного сечения ( EJx )
постоянна для всех участков.
Для определения перемещений строим эпюры изгибающих моментов MF от заданной нагрузки (рисунок 9), от единичной горизон-
тальной силы M1, от единичной вертикальной силы M2 и от единич-
ного момента M3 (рисунок 10).
Рисунок 9 |
Рисунок 10 |
31
Для определения горизонтального перемещения сечения C перемножаем эпюры MF и M1. Удобнее взять площадь ( ) на эпюре
M1 , а ординату yc на эпюре MF .
горc |
|
1 |
|
1 |
h h |
q a2 |
|
q a2 h2 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
E Jx 2 |
2 |
|
4 E Jx |
||||
Знак «минус» показывает, что перемещение произойдет не влево (как приложена единичная сила), а вправо.
Для определения вертикального перемещения сечения C перемножаем эпюры MF и M2 . При перемножении эпюр на ригеле пло-
щадь ( ) берем на эпюре MF (т.к. она криволинейна), а ординату под центром тяжести ( yc ) на эпюре M2 . При перемножении эпюр на стойке безразлично, где брать площадь или ординату.
вер |
1 |
|
1 |
|
q a2 |
3 |
|
q a2 |
|
|
1 |
q a |
4 |
|
q a3 h |
|||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
h a |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
E Jx |
|
3 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
E Jx |
|
|
|
|||||||||||
Знак «плюс» говорит о том, что сечение c переместится вертикально вниз (по направлению приложенной единичной силы).
Для определения угла поворота сечения c перемножаем эпюры
MF и M3 . Берем площадь на эпюре MF и ординату на эпюре M3 .
|
|
1 |
|
|
1 |
|
q a |
2 |
|
q a |
2 |
|
|
1 |
|
q a |
3 |
|
q a |
2 |
h |
|
|
|
|
|
|
a 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
h 1 |
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
. |
|||
|
|
E Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
E Jx |
|
|
|
|
|||||||
Знак «плюс» говорит о том, что сечение c поворачивается по ходу часовой стрелки, т.е. в направлении приложенного единичного момента.
32
Пример 3
Рисунок 11
Для заданной рамы (рисунок 11) определить горизонтальное перемещение сечения B и угловое перемещение сечения A .
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичных нагрузок. Для построения эпюр необходимо знание опорных реакций. Поэтому для каждого режима нагружения необходимо их определение.
Для режима нагружения заданной внешней нагрузкой
M |
|
|
q l |
2 |
R 2 l 0; |
R |
q l |
|||||
A |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
2 |
|
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
B |
B |
|
|
|||||
MB q l |
3 |
l RB 2 l 0 ; |
RA |
3 q l |
. |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||
На верхнем ригеле расслоим эпюру (построим ее отдельно от RA и равномерно распределенной нагрузки) (рисунок 12).
33
Рисунок 12
Для режима нагружения единичной горизонтальной силой в точке В (рисунок 13).
|
|
|
X HA 1 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
HA 1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
MA RB 2 |
l |
1 l 0; |
|
|
|
|
|
|
RB 0,5; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Y RA RB |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RA 0,5. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 13.
Перемножая единичную эпюру M1 (рисунок 13) и грузовую MF (рисунок 12), получим горизонтальное перемещение точки B .
34
гор |
|
1 |
|
1 q l2 |
|
3 l |
|
1 3 |
2 |
2 l |
|
1 l |
|
q l2 |
1 l |
|
q l2 |
1 l |
|
2 |
q l2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
E J |
|
3 2 |
|
4 2 |
|
2 4 |
|
3 2 |
|
2 2 |
|
4 2 2 |
|
4 2 2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
q l4 . 48E Jx
Для режима нагружения единичным моментом в точке А (рису-
нок 14).
M |
|
1 R |
2 l 0 ; |
R |
|
|
1 |
; |
||
|
|
|
||||||||
|
A |
|
|
B |
|
B |
|
2l |
||
Y R |
|
R |
0; |
R |
|
|
1 |
; |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
A |
B |
|
|
A |
|
2l |
|
X HA 0 ; |
|
HA 0. |
||||||||
Рисунок 14
Угол поворота сечения А будет равен
|
1 1 |
|
3 |
|
2 |
1 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
ql2 1 1 |
|
1 |
|
|
ql2 |
1 |
|
1 ql2 |
2 1 |
15ql3 |
. |
|||||||||||||||||
A |
|
|
|
l |
|
ql |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48EJ |
|
|||||||||||||||||||||
|
E J |
2 4 |
|
|
3 2 |
|
2 3 |
|
2 4 2 |
|
2 |
|
4 2 |
|
2 4 3 2 |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Пример 4
Рисунок 15
Определить вертикальное перемещение точки А (рисунок 15) заданного ломаного бруса. Поперечное сечение представляет собой прямоугольное сечение размером b на h.
1. Построим эпюры изгибающих и крутящих моментов MF от заданной нагрузки (рисунок16).
Рисунок 16
2. Освобождаем систему от внешних усилий, прикладываем в точке А вертикальную единичную силу F . Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов от данной силы (рисунок 17).
36
Рисунок 17
Так как в формулу (3.2) для определения перемещений входят моменты инерции, то целесообразно для каждого слагаемого написать их выражения.
Jx |
|
bh3 |
; |
Jy |
|
hb3 |
; |
Jk hb3 , |
|
|
|||||||
|
12 |
|
|
12 |
|
|
||
где – коэффициент, зависящий от соотношения h и b.
3. Определяем перемещение, перемножая эпюры MF и M1 по формуле Верещагина (3.3).
|
|
|
1 |
|
1 ql2 |
|
|
3 |
|
|
|
ql2 1 |
|
2 |
|
|
l |
|
|
|
ql2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
ql2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
l |
2ql |
|
|
l |
|
|
|
l ql |
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
2 6 |
|
2 |
|
3 |
2 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
EJx 3 2 4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ql2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
55ql4 |
|
|
ql |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l l ql |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
GJk |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
48EJx |
|
GJk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Принимая во внимание, что G |
|
E |
, Jk |
|
12 |
Jx , |
|||||||||
2(1 ) |
k2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где k |
h |
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ql4 |
55 |
|
|
k2 (1 ) |
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
EJx |
48 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ПЛОСКИХ
КРИВЫХ СТЕРЖНЯХ БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ
В стержнях большой кривизны все эпюры, как от заданных нагрузок, так и от единичных нагрузок нелинейны, поэтому правило Верещагина неприменимо.
В этом случае перемещения определяются путем аналитического вычисления интеграла Мора.
MF M1 ds .
EJ
Для определения искомых перемещений в кривом брусе следует.
1.Найти опорные реакции при действии заданной нагрузки.
2.Составить уравнения изгибающего момента на участках бруса
от заданной нагрузки (MF ).
3.По направлению искомого перемещения приложить в заданном сечении единичную нагрузку (единичную силу, или единичный момент).
4.Найти опорные реакции при нагружения единичными нагруз-
ками.
5.Составить уравнения изгибающего момента на участках бруса от единичных нагрузок (М1, М2 и т.д.);
6.По формуле Мора найти перемещения.
Рисунок 18
38
Пример 5
Определить горизонтальное перемещение и угол поворота сечения А (рисунок 18) бруса большой кривизны, a=2м.
Определяем опорные реакции от заданной нагрузки.
MB RAa M Fhcos 30 Fh1 sin 30 0, где h a asin 60 3,73 м; h1 acos 60 1 м;
RA |
M Fhcos30 Fh1 sin30 |
|
4 3,73 0,866 1 1 0,5 |
3,865 |
kH ; |
||
|
|
|
|
||||
a2
X HB F cos30 0;
HB Fcos30 0,866 kH ;
Y RB RA F sin30 0;
RB RA F sin30 4,365 kH .
Проверка
MA M Fcos(30)(h a) Fsin(30)(а h1) RBa 0
.
Выражение изгибающего момента от заданной нагрузки в произвольном сечении первого участка кривого бруса имеет вид:
MF 1 RA (a acos 1) 3,865a(1 cos 1) ; 0 1 120,
на втором участке
MF 2 RBasin 2 HB (a acos 2 ) 8,73sin 2 1,732cos 2 1,732
;
0 2 150.
Для определения горизонтального перемещения приложим в сечении А (рисунок 19) горизонтально направленную единичную силу.
39
Рисунок 19
Выражение изгибающего момента имеет вид:
– для первого участка
M1 1 1asin 1 R'A (a acos 1 ) 2(sin 1 cos 1 1);
– для второго участка
M1 2 R'B asin 2 H'B (a acos 2 ) 2(sin 2 cos 2 1),
где R'A R'B 1, H'B 1 – опорные реакции.
По формуле Мора вычислим горизонтальное перемещение.
горA
Получаем
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
MF |
M1 ad 1 |
||
|
|||||
EJ |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
гор |
|
216,8 |
. |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
EJ |
|
5 |
|
|
6 |
|
. |
MF 2 M1 2ad 2 |
||
0 |
|
|
|
|
|
Определяем угол поворота сечения А. Следуя общей методике определния перемещений по формуле Мора, приложим в сечении А единичный момент (рисунок 19). Составим выражение изгибающего момента:
– для первого участка
M2 1 1 R''A (a acos 1) 1 0,5 2(1 cos 1) cos 1;
40