Electrodynamics_slides
.pdf
1. Уравнения Максвелла Закон сохранения импульса
|
1 |
|
H |
E |
|
1 |
j,H |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
E, |
|
|
|
|
,H |
|
|
|
|
E |
|
||||||
|
4 c |
|
|
|
c |
|
|||||||||||||||
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
H,rot H H div H E, rot E EdivE 0 |
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
H,rot H H div H ei |
|
2 |
ij |
|
|
||||||||||||||
|
|
j |
2 |
H |
Hi H j |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E,rot E EdivE H,rot H H div H |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
E2 H 2 ij |
Ei Ej |
Hi H j |
|
j ij |
||||||||||
ei j |
|
4 ei |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тензор плотности потока импульса (так называемый тензор напряжений):
|
|
1 |
|
1 |
E |
2 |
|
2 |
ij |
|
|
|
ij |
|
|
|
2 |
|
H |
|
Ei Ej |
Hi |
H j |
||
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Уравнения Максвелла Закон сохранения импульса
1 |
H |
E |
|
|
1 |
j,H E |
||||||||
|
|
|
E, |
|
|
|
|
|
,H |
|
|
|||
4 c |
|
|
|
c |
||||||||||
|
t |
t |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
H,rot H H div H E, rot E EdivE 0 |
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
pi |
idV j ijdV 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dt |
V |
|
V |
|
|
||||
πi – плотность импульса частиц
d |
|
|
|
|
|
|
i |
i dV |
j ij dV 0 |
|
||||
dt V |
|
V |
||
t i i j ij 0
d |
|
|
|
|
|
|
i |
i dV |
ij dS j 0 |
|
||||
dt V |
|
S |
||
2. Потенциалы электромагнитного поля
Скалярный и векторный потенциалы:
E r grad r |
|
H rot A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div H r 0
|
|
H rot A |
|
|
|
div rot a 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
H |
|
|
rot grad f r 0 |
|
rot E 0 |
|
|
rot E |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 A |
|
|
c |
t |
|
|
|
|
1 A |
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
grad |
|
|
|||||||||
|
rot E c |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
t |
c |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
E grad 1c At
2. Потенциалы электромагнитного поля Калибровочные преобразования потенциалов
r, t r, t 1 r, t c t
A r, t A r, t grad r, t
|
|
|
1 |
A |
E |
grad |
c |
t |
|
grad |
1 |
A |
E |
|
|
|
c |
t |
|
grad |
1 grad |
|
|
1 A |
|
1 |
|
grad |
t |
c t |
|
||||||
|
c |
|
|
c t |
||||
H rot A rot A rot grad r, t rot A H
Так как в уравнения Максвелла входят только напряженности электрического и магнитного полей, система уравнений Максвелла инвариантна относительно калибровочных преобразований
2. Потенциалы электромагнитного поля Четырехмерные векторы
Четырехмерный радиус-вектор:
x : |
0, 1, 2, 3 , |
x0 ct, |
x1 x, |
x2 y, |
x3 z |
Интервал между двумя бесконечно близкими точками (событиями) в пространстве-времени:
ds2 c2dt2 dx2 dy2 dz2
Квадрат четырехмерного радиус-вектора:
c2t2 x2 y2 z2
Контравариантные (с индексами сверху) и ковариантные (с
индексами снизу) компоненты :
x : |
x x0 |
ct, |
x x1 |
x, |
x x2 |
y, |
x x3 |
z |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
x x |
def |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x c2t2 x2 y2 z2 |
|
|
|||||
0
2. Потенциалы электромагнитного поля Четырехмерные векторы
Для произвольного 4-вектора:
A , A : |
A A0 |
, |
A A1, |
A A2 , |
|
A A3 |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
A A0 , A , |
A A0 , |
A |
|
|
|
|
|
|||||||
Скалярное произведение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A B g |
|
A B |
A0 B0 A1B1 A2 B2 A3B3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метрический тензор: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 0 0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
0 0 |
||||||
|
0 |
1 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 0 |
|
||
g |
|
|
|
|
|
g |
|
|
||||||||
|
0 |
0 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 0 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 1 |
||||
A g A |
|
|
|
A |
g A |
|
|
g g |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Потенциалы электромагнитного поля Вектор-потенциал и тензор электромагнитного поля
Вектор-потенциал:
A , A , |
A , A |
|
|
|||||||||
Тензор электромагнитного поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
def |
A |
|
A |
|
|
|
F |
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Ex |
Ey |
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F F |
|
|
|
F |
|
|
Ex |
|
0 |
|
Hz |
H y |
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
Hz |
0 |
Hx |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ez |
|
H y |
Hx |
00 |
|
2. Потенциалы электромагнитного поля Тензор электромагнитного поля
A , A
|
|
0 |
|
|
Ex |
F |
|
|
|
|
Ey |
|
|
|
|
|
Ez |
|
|
E |
E |
E |
|
x |
y |
z |
|
0 |
Hz |
H y |
|
Hz |
0 |
Hx |
|
H y |
Hx |
0 |
|
|
E grad 1 A
c t
H rot A
|
|
|
|
|
def A |
|
A |
|
F |
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F A A |
1 |
|
|
Ax |
|
|
|
E |
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
01 |
0 1 |
1 |
|
0 |
|
|
c |
t |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F A A |
|
|
1 Ay |
|
|
E |
y |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
02 |
0 2 |
2 |
0 |
|
|
c |
|
t |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
F A |
|
3 |
A 1 Az |
E |
z |
|
||||||||||||||||||||||
03 |
0 3 |
|
|
0 |
|
|
c |
|
t |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
F A |
|
A |
Ay |
|
|
A |
H |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
z |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12 |
1 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F A A |
Az |
|
|
Ax |
H |
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13 |
1 3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F23 2 A3 3 A2 Az Ay Hx y z
2. Потенциалы электромагнитного поля Тензор электромагнитного поля
|
|
0 |
Ex |
Ey |
Ez |
|
|
|
|
1 0 |
0 |
0 |
||
|
|
Ex |
0 |
Hz |
H y |
|
|
|
|
|
0 |
1 0 |
0 |
|
F |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
Hz |
0 |
Hx |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ez |
H y |
Hx |
0 |
|
|
|
|
0 0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
F g g F g F g
|
|
|
0 |
Ex |
Ey |
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
Ex |
0 |
Hz |
H y |
|
|
Ey |
Hz |
0 |
Hx |
|
||
|
|
|
|
H y |
Hx |
0 |
|
|
|
|
Ez |
|
|||
2. Потенциалы электромагнитного поля Принцип наименьшего действия
Четырехмерная формулировка позволяет получить уравнения электромагнитного поля из принципа наименьшего действия и проанализировать их структуру, рассматривая в качестве полевых переменных не напряженности, а потенциалы поля, которые выполняют роль обобщенных координат.
Принцип наименьшего действия в механике:
Функция Лагранжа:
|
|
q t , q |
t , t |
|
|
q t |
|
|
q |
|
|
|
|
|
, |
|
qa t , |
|
qa t |
q t |
q |
, q t |
2 |
q |
1 |
1 |
|
2 |
|
t |
|
Интеграл действия: |
S 2 |
q t , q t , t dt |
|
t1 |
|