Matan_1_semestr_Lektsii

промежутка. Тогда остаточный член формулы Тейлора можно представить в виде

Представление остаточного члена в виде (4.107) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано.

Доказательство. Согласно (4.98)

Rn(x) = f(x) ¡ Pn(x) = f(x) ¡ f(a) ¡ f0(a)(x ¡ a)¡

¡ f00(a)(x ¡ a)2 ¡ : : : ¡ f(n)(a)(x ¡ a)n: (4.108)

2! n!

Проверим, что Rn(x) удовлетворяет условиям леммы 4.1. Все слагаемые в правой части (4.108) дифференцируемы n раз (последний в точке a). Найдём значения Rn(x) и всех его производных до n-го порядка в точке a.

Rn(a) = 0;

Rn0 (x) = f0(x) ¡ f0(a) ¡ f00(a)(x ¡ a) ¡ : : : ¡ f(n)(a) (x ¡ a)n¡1;

(n ¡ 1)!

Rn0 (a) = 0;

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Rn(n¡1)(x) = f(n¡1)(x) ¡ f(n¡1)(a) ¡ f(n)(a)(x ¡ a);

R(n¡1)(a) = 0;

R(n)(a) = f(n)(a) ¡ f(n)(a) = 0:

Условия леммы выполнены, теорема доказана.

Теорема 4.21 Пусть функция f дифференцируема на открытом промежутке X n ¡ 1 раз и имеет производную порядка n в точке a этого промежутка. Тогда, если f(x) представлена в виде

f(x) = c0 + c1(x ¡ a) + c2(x ¡ a)2 + : : : + cn(x ¡ a)n + o((x ¡ a)n); (4.109)

то

Доказательство. По теореме 4.20 функция f может быть представлена по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Но тогда справедливо равенство

c0 + c1(x ¡ a) + c2(x ¡ a)2 + : : : + cn(x ¡ a)n + o((x ¡ a)n) =

= f(a) + f0(a)(x ¡a) + f00(a)(x ¡a)2 + : : : + f(n)(a)(x ¡a)n + o((x ¡a)n): 2! n!

Переходя в нём к пределу при x ! a, получим

c0 = f(a):

Отбрасывая одинаковые слагаемые и разделив на x ¡a, будем иметь:

c1 + c2(x ¡ a) + : : : + cn(x ¡ a)n¡1 + o((x ¡ a)n¡1) =

= f0(a) + f00(a)(x ¡ a) + : : : + f(n)(a)(x ¡ a)n¡1 + o((x ¡ a)n¡1); 2! n!

откуда после предельного перехода при x ! a найдём:

c1 = f0(a):

Продолжив описанный процесс, на последнем шаге получим равенство

из которого после предельного перехода следует, что

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что каким бы образом ни было получено представление функции f в виде (4.109), это представление, если только выполнены условия теоремы 4.20, разложением функции f по формуле Тейлора. Иначе говоря, представление функции в виде (4.109) единственно. Этим обстоятельством часто пользуются для разложения функций по формуле Тейлора. Примеры будут приведены позже.

Особенно просто выглядит формула Тейлора с центром в точке a = 0:

Rn(x) = o(xn) (x ! 0) (в форме Пеано):

Формулу (4.111) часто называют формулой Маклорена.

Выведем формулы Маклорена некоторых элементарных функций. 1) f(x) = ex.

Так как f(k)(x) = ex (k = 0; 1; 2; : : :), то f(k)(0) = 1 (k = 0; 1; 2; : : :),

Замечание 4.9 Номер остаточного члена в формуле Тейлора совпадает с номером последнего написанного члена. В (4.113) после слагаемого

(¡1)n x2n стоит слагаемое 0 ¢ x2n+1, имеющее номер 2n + 1, поэтому

(2n)!

и остаточный член имеет номер 2n + 1. Впрочем, если нет необходимости, то можно брать остаточный член с номером 2n.

3) f(x) = sin x.

Относительно формулы Маклорена функции sin x справедливо заме-

5) f(x) = (1 + x)p.

Имеем (см. (4.67)): f(k)(x) = p(p ¡ 1)(p ¡ 2) : : : (p ¡ k + 1)(1 + x)p¡k, f(0) = 1, f(k)(0) = p(p ¡ 1)(p ¡ 2) : : : (p ¡ k + 1) (k = 1; 2; : : : ; n). Поэтому

для любого n 2 N

(1 + x)p = 1 + px + p(p ¡ 1)x2 + p(p ¡ 1)(p ¡ 2)x3 + : : : + 2! 3!

+ p(p ¡ 1)(p ¡ 2) : : : (p ¡ n + 1)xn + Rn(x): (4.116) n!

Замечание 4.10 Если p натуральное число, то при n = p формула (4.116) совпадает с формулой бинома Ньютона (в этом случае Rn(x) = 0).

Замечание 4.11 Если в (4.116) положить p = ¡1 и заменить x на

Маклорена всех функций записываем в соответствующем виде.

Пример 4.28 Разложить по формуле Маклорена функцию

1

f(x) = 1 + x + x2 :

Решение. Умножим числитель и знаменатель на 1¡x, представим дробь

в виде произведения и воспользуемся формулой (4.117), подставив в неё

x3 вместо x.

=(1 ¡ x) ¡1 + x3 + x6 + : : : + x3n + o(x3n+2)¢ =

=1 ¡ x + x3 ¡ x4 + x6 ¡ x7 + : : : + x3n ¡ x3n+1 + o(x3n+2) ¡ xo(x3n+2):

Так как xo(x3n+2) = o(x3n+3) = o(x3n+2) и o(x3n+2)+o(x3n+2) = o(x3n+2),

то окончательно

f(x) = 1 ¡ x + x3 ¡ x4 + x6 ¡ x7 + : : : + x3n ¡ x3n+1 + o(x3n+2):

Пример 4.29 Найти первые четыре слагаемых разложения по формуле Маклорена функции f(x) = tg x.

Решение. Функция tg x нечётная, следовательно, все её производные чётного порядка тоже нечётные функции (проверьте!), а значение нечётной функции в нуле равно нулю, поэтому искомое представление функции tg x по формуле Маклорена имеет вид

tg x = c1x + c3x3 + c5x5 + c7x7 + o(x8):

Так как tg x = cossin xx, а разложения этих функций по формуле Маклорена известны, то получаем равенство

Раскроем в левой части скобки и приведём подобные, помня при этом, что все слагаемые со степенями x, б´ольшими седьмой, входят в o(x7). После этого, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x

Среди многочисленных приложений формулы Тейлора самыми простыми и часто встречающимися являются вычисление значений функций

и нахождение пределов. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.30 Вычислить число e с точностью до 10¡4.

Решение. Возьмём формулу Маклорена функции ex (см. (4.112)) и

Rn(1) = (n + 1)! < (n + 1)! ;

и подберём минимальное значение n, при котором остаточный член будет

меньше заданной точности вычисления 10¡4.

Методом подбора находим, что при n = 6 7!3 ¼ 0; 0006 > 10¡4, а при n = 7 8!3 ¼ 0; 000074 < 10¡4, поэтому для вычисления числа e с заданной точностью достаточно взять n = 7. Проведя вычисления, получим

e ¼ 2 + 12 + 16 + 241 + 1201 + 7201 + 50401 ¼

¼ 2 + 0; 5 + 0; 16667 + 0; 04167 + 0; 00833 + 0; 00139 + 0; 00020 =

= 2; 71826 ¼ 2; 7183:

Для сравнения приведём значение числа e с б´ольшим количеством

Решение. Написанная приближённая формула получается из формулы Маклорена функции cos x (см. (4.113)) при n = 2 отбрасыванием остаточного члена, поэтому её погрешность величина остаточного члена. Выпишем остаточный член в форме Лагранжа и оценим его.

превышающих по абсолютной величине тридцати градусов, по приближённой формуле 4.122 даёт четыре верных знака после запятой!

Пример 4.32 Вычислить lim tg x ¡ sin x.

x!0 x3

Решение. Разложим tg x и sin x по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано до члена с x3, используя формулы (4.114), (4.121).

tg x ¡ sin x = x + 13x3 + o(x3) ¡ (x ¡ 16x3 + o(x3)) = 12x3 + o(x3):

Тогда

Решение. Как и в предыдущем примере имеем неопределённость

µ ¶

вида 00 . Разложим числитель и знаменатель по формуле Маклорена. Но если в предыдущем примере было ясно, до какой степени вести разложение, то здесь этого сразу не видно. Методом проб устанавливаем, что в знаменателе первая отличная от нуля степень четвёртая. До неё и будем вести разложение. Начнём со знаменателя.