Абанин, Калиниченко. Целые функции
.pdf
132 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 29.2 (Полиа). Пусть f [1, +∞) и hf (ϕ) индикатор f
при порядке ρ = 1. Тогда при всех ϕ [0, 2π]
k |
|
f (−ϕ) = hf (ϕ) . |
(29.3) |
D |
C Справедливость теоремы вытекает из следствия теоремы 27.1 и следствия 3 теоремы 29.1 B
Таким образом, для целой функции f [1, +∞) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]
|
|
|
k |
|
f (−ϕ) = kEf (ϕ) = hf (ϕ) , |
||
|
D |
||||||
|
ϕ \ |
||||||
ãäå Ef = |
|
T |
ϕhf (ϕ), а поэтому |
D |
f = Ef . Последнее означает, что со- |
||
|
[0,2π] |
||||||
пряженная диаграмма Df функции f совпадает с пересечением полу-
плоскостей T hϕf (ϕ) = {t C : Re teiϕ 6 hf (ϕ)} (ϕ [0, 2π]). Теорему 29.2 можно переформулировать следующим образом.
Теорема Полиа. Индикаторная диаграмма произвольной целой функции экспоненциального типа является зеркальным отражением относительно вещественной оси ее сопряженной диаграммы.
Упражнение 19.
1. Пусть целая функция f имеет минимальный тип при порядке ρ = 1. Докажите, что ее индикатор (при порядке ρ = 1) тождественно равен нулю, то есть hf (ϕ) = 0, ϕ [0, 2π].
2.Пусть f [1, +∞) è hf (ϕ) индикатор f (при порядке ρ = 1). Докажите, что hf (ϕ) + hf (ϕ + π) > 0, ϕ [0, 2π].
3.Пусть Q замкнутое выпуклое множество и kQ(ϕ) его опорная функция. Докажите следующие утверждения:
1) если существует такое ϕ0 [0, 2π], ÷òî kQ(ϕ0)+kQ(ϕ0 +π) = 0, òî Q является отрезком (или точкой ), лежащей на прямой, перпендикулярной
ëó÷ó {z : arg z = ϕ0};
2) если найдутся такие две точки ϕj [0, 2π], ÷òî
kQ(ϕj) + kQ(ϕj + π) = 0 ïðè j = 1, 2 ,
òî Q точка пересечения прямых, перпендикулярных лучам
{z : arg z = ϕj} (j = 1, 2).
4. Пусть Q замкнутое выпуклое множество и kQ(ϕ) его опорная функция. Докажите, что следующие утверждения равносильны:
a) ϕj [0, 2π] : kQ(ϕj) + kQ(ϕj + π) = 0 (j = 1, 2); á) kQ(ϕ) + kQ(ϕ + π) = 0, ϕ [0, 2π];
â) Q точка.
29. ТЕОРЕМА ПОЛИА |
133 |
Xn
g(z) = Pk(z)eλkz, ãäå λk (k = 1, . . . , n) комлексные
k=1
полиномы. Обоснуйте, что сопряженная диаграмма Dg функции g имеет вид
Dg = conv{λ1, λ2, . . . , λn} ,
а ее индикаторная диаграмма Ig
Ig = conv{λ1, λ2, . . . , λn} .
7. Пусть f [1, +∞), Df сопряженная диаграмма f è kDf (ϕ) опорная функция Df . Докажите, что при любом ε > 0 è âñåõ r > 0
|f(reiϕ)| < A(ε)exp(kDf (ϕ) + ε)r , ϕ [0, 2π] ,
ãäå A(ε) некоторая постоянная.
8.Пусть f [1, +∞) è F функция, ассоцированная по Борелю
ñf. Докажите, что для функции f(m)(z) (m N) ассоциированная по
Борелю функция имеет вид
tmF (t) − tm−1f(0) − tm−2f0(0) − . . . − f(m)(0) .